学易金卷：高二数学下学期第三次月考02（上海专用，沪教版选择性必修第一册全部+选二导数及其应用、计数原理）

**基本信息** 以拱宸桥文化情境、“曼哈顿距离”新定义及“果圆”综合问题为载体，考查直线方程、立体几何、函数导数等知识，体现几何直观、创新意识与模型意识，适配高二选择性必修内容的阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|直线方程、排列组合、二项式定理、导数、双曲线|第12题结合拱宸桥半圆结构，融合圆与抛物线知识，渗透文化传承| |选择题|4/18|数列、函数图像、正四面体、新定义|第16题引入“曼哈顿距离”，考查创新应用与逻辑推理| |解答题|5/78|立体几何、圆与直线、函数单调性、数列、椭圆|第21题“果圆”综合题，整合椭圆性质与面积计算，强化模型意识与空间观念|

■■■口 ■■■ 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 烂 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 3. 阳 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15- 16题每题5分) I3[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分) 17.(14分) ≥D B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 小 B2 A,主 B 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修一~选择性必修二第5章、第6章。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．经过点且斜率为1的直线方程为___________. 2．将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法. 3．在的二项展开式中，项的系数为_____. 4．已知函数的导函数为，若，则__________. 5．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 6．双曲线的渐近线方程为________ 7．已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 8．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 9．数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 _____ 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 11．已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 12．拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 14．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题14分）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 19．（本题14分）已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 20．（本题18分）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 21．（本题18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修一~选择性必修二第5章、第6章。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．经过点且斜率为1的直线方程为___________. 2．将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法. 3．在的二项展开式中，项的系数为_____. 4．已知函数的导函数为，若，则__________. 5．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 6．双曲线的渐近线方程为________ 7．已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 8．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 9．数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 _____ 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 11．已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 12．拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 14．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题14分）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 19．（本题14分）已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 20．（本题18分）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 21．（本题18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 参考答案 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1. 2. 12 3. 40 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 B B D A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.   ....................................................7分 （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.   ....................................................14分 18．（本题14分）（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即........................................3分 （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交.....................................................7分 （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为.....................................................14分 19．（本题14分）（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：.........................................3分 （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增..........................................7分 （3）由（2）可知，当时， 的最小值..........................................8分 要证， 只需证 只需证 设 则，.........................................10分 令得.........................................11分 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以得证， 即得证..........................................14分 20．（本题18分）（1）因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 对于，且， 所以是等比数列.....................................................5分 （2）由（1）可知：， 可得， 令，解得， 所以满足的的最小值为13.....................................................10分 （3）由（1）可知：， 则，可知数列为等差数列， 设数列的前n项和为，则， 令，解得， 当时，，则； 当时，，则 ； 综上所述：.....................................................18分 21．（本题18分）（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.....................................................3分 （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为....................................................10分 （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.....................................................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学第三次月考卷 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： : : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版选择性必修一选择性必修二第5章、第6章。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.经过点(1,2)且斜率为1的直线方程为 2.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有 种不同排法. : 不 尽 3.在(2x+1)的二项展开式中，x2项的系数为 : 4.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=2x+3f'(0)e,则f'(2)= : : 5.曲线x2+y-y-3=0与直线y=x交于A、B两点，则线段AB的长度为 : ○ 6双曲线普少广=1的商近线方程为 7.已知向量a=(0,2,0),b=(1,-1,0),则ā在6方向上的投影向量坐标为 : 8.己知直线1的一个方向向量为=(1，-1,1)，平面a的一个法向量为b=(1,0,-1),则直线1与平面a所成 : 的角的大小为 : : 9.数列a}小}均为等差数列，其前n项和分别为5，…产-2n,则云 S2=3n+1 10.已知鞘圆C:二+号-1的左、右焦点分别为R、B,P是C上在第二象限内的一点，且PR-PR卡2， 1612 : 则直线PF的斜率为 : 11.已知四棱柱ABCD-AB,CD底面ABCD为平行四边形，AA=3,BD=4且AB·BC-AD·DC=5,求 : 异面直线AA与BD的夹角 . : 试题第1页（共4页） : : : 可学科网·学易金卷侧好：限景是鲁普 D B D 12.拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形.其左 侧两洞的结构简图如图②，若半圆O与O,相切于点F,过O,O2的直线与两个半圆从左到右分别交于点A, F,B,直线1与半圆O,O2相切，点O位于直线1上且OF⊥1.若以F为焦点的抛物线过A,O,B三 点，且△OAF与aOBF的面积之比为1：2，则直线I与直线AB夹角的正切值为 A O F 02 B 图① 图② 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.在数列a}中，a=子，a=a-1a≥2列，则a心=（) 1 A.4 B. c. D.5 14.己知函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中A(x,f(x),B(x2,f(x2),C(x,f(x)》为图上三个 不同的点，则下列结论正确的是() 0 B A.f'(x)>f'(x)>f'(x) B.f'(x)>f'(x)>f'(x) C.f'(x)>f'(x)>f'(x2) D.f'(x)>f'(x)>f'(x) 试题第2页（共4页） 学科网·学易金卷做概：然限美是鲁器 15.如图，在边长为2的正四面体P-ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是() P N B A.PA.BC=4 B.PA.AB=2 C.N-}PB+号ac+号 D.丽-丽+Pc-P 3 16.在平面直角坐标系中，若M(x,y),N(x2,y2),则称“d=x-x2+y-y2”是M、N两点的 “曼哈顿距离”.若动点E到两定点F(0,-c),F,(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c), 则称点E的轨迹是“曼哈顿椭圆”若点P是该“曼哈顿椭圆”上一点，关于命题： ①△PFE,面积的最大值是c(a-c):②该“曼哈顿椭圆”的周长是4√2a+(1-√2)c, 下列说法正确的是() A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题 C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题14分)如图所示四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的 中点 (1)证明：MN/面PAB; (2)若PA=PB=√5，平面PAB⊥平面ABCD,求平面NAM与平面DAM夹角的余弦值 18.(本题14分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)-25及直线1：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R). (1)求过点(4,6)的圆的切线方程： (2)找出不论m取什么实数时直线1恒经过的点，并证明：直线1与圆C恒相交； 试题第3页（共4页） (3)求直线1被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 19.(本题14分)已知函数f(x)=a(e+a-x. : (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图像在点(0，f(O)处的切线方程： (2)讨论函数y=f(x)的单调性： 3 (3)证明：当a>0时，f(x)>2lna+ 2 . 20.(本题18分)己知数列{an}为等差数列，首项a1=1,公差d=2. 张 (1)若bn=3,证明：{bn}是等比数列： (2)若Cn= 1,设数列的前项和为S,求满足5>子的n的最小值。 anan 25 : (3)若dn=12-an,求数列{dn}的前n项和Tn: 怒 游 粽 21.（(本短18分)勿图，已知半椎圆r号+号-：20)与半指圆r,:×+号≤0组城的自线称为医 ●： : : 圆”.“果圆”与x轴、y轴的交点分别为A、A,、B、B2. O YA B2 : : A2 A, 的 B .:: : (1)写出半椭圆T,所在椭圆的离心率，并计算四边形AB,A,B2的面积： o (2)设平行于A,B2的直线1交于M、N两点.若A,B2=MN,求直线I的方程： (3)若封闭曲线在“果圆的内部（含边界)，则可用曲线厂拟合“果圆”，将曲线厂与“果圆”面积的比值记为 “拟合系数”，其中0<≤1.问是否存在圆心在x轴上的圆C,使得圆C的拟合系数比四边形ABA,B2的 拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆C的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由. 试题第4页（共4页） : .:画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版选择性必修一选择性必修二第5章、第6章。 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.经过点(1,2)且斜率为1的直线方程为 2.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有 种不同排法。 3.在(2x+1)的二项展开式中，x2项的系数为· 4.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=2x+3f'(0)e,则f'(2)= 5.曲线x2+xy-y-3=0与直线y=x交于A、B两点，则线段AB的长度为 6.双曲线-y=1的渐近线方程为 7.己知向量a=(0,2,0),b=(1,-1,0),则ā在b方向上的投影向量坐标为 8.已知直线l的一个方向向量为a=(1,-1,1),平面α的一个法向量为b=(1,0,-1),则直线1与平面a所成的 角的大小为 Q。数列a,均为等差数列，其前n项和分别为S7≥=，则冬→ 10.己知椭圆C: ￡+上=1的左、右焦点分别为R、E,P是C上在第二象限内的一点，且P5-|P上2， 1612 则直线PF的斜率为 11.已知四棱柱ABCD-AB,CD,底面ABCD为平行四边形，AA,=3,BD=4且AB·BC-AD·DC=5,求异 面直线AA与BD的夹角 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B 12.拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形.其左 侧两洞的结构简图如图②，若半圆O与O,相切于点F,过O,O2的直线与两个半圆从左到右分别交于点A, F,B,直线1与半圆O,O,相切，点O位于直线1上且OF⊥1.若以F为焦点的抛物线过A,O,B三点， 且△OAF与△OBF的面积之比为1：2，则直线I与直线AB夹角的正切值为 A 01F O B 图① 图② 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.在数列{a}中，a=-4’aa=a-1(之2)，则a=（）. c D.5 14.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中A(x,f(x),B(x2,f(x,),C(x,f(x)为图上三个不 同的点，则下列结论正确的是（) B A.'(x)>f'(x2)>'(x) B.f'(x)>f(x2)>f'(x) C.f'(x3)>f'(x)>f'(x2) D.f'(x)>f'(x)>f'(2) 15.如图，在边长为2的正四面体P-ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是() 216 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C A.PA.BC=4 B.PA.AB=2 C.PN=IPB+IBC+BA D.m-P丽+P护 16.在平面直角坐标系中，若M(x,y),N(x2,y2),则称“d=x-x+y-2”是M、N两点的“曼 哈顿距离”.若动点E到两定点E(0,-c),F(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c),则 称点E的轨迹是“曼哈顿椭圆”若点P是该“曼哈顿椭圆”上一点，关于命题： ①△PFF,面积的最大值是c(a-c):②该“曼哈顿椭圆”的周长是4√2a+(1-√2)c, 下列说法正确的是() A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题 C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题14分)如图所示四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的 中点. (1)证明：MN/面PAB: (2)若PA=PB=√5，平面PAB⊥平面ABCD,求平面NAM与平面DAM夹角的余弦值. 316 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题14分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)=25及直线1：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R). (1)求过点(4,6)的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线1恒经过的点，并证明：直线1与圆C恒相交； (3)求直线1被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 19.(本题14分)已知函数f(x)=a(e+a-x. (I)当a=1时，求函数y=f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论函数y=f(x)的单调性； (3)证明：当a>0时，f)>2na+名 416 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(本题18分)己知数列{an}为等差数列，首项a=1,公差d=2. (1)若bn=3H,证明：{bn}是等比数列： (2)若Cn= 石设数列}的前项和为5，求满远5>号的的最小值。 aran (3)若dn=12-an,求数列{dn}的前n项和Tn: 516 ©学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2L.(本题18分)如图，已知半椭圆工+，20)与半椭圆T+=x≤0)组成的曲线称为见 3 圆”.“果圆与x轴、y轴的交点分别为A、A、B、B2. 珠 B2 A2 0 A,主 B (1)写出半椭圆T所在椭圆的离心率，并计算四边形A,B,A,B2的面积： (2)设平行于A,B2的直线1交T,于M、N两点.若A,B2=MN,求直线I的方程： (3)若封闭曲线厂在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线厂拟合“果圆”，将曲线厂与“果圆面积的比值记为“拟 合系数，”，其中0<≤1.问是否存在圆心在x轴上的圆C,使得圆C的拟合系数比四边形AB,A,B,的拟合 系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆C的圆心坐标和半径：若不存在，请说明理由. 6/6 2025-2026学年高二数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修一~选择性必修二第5章、第6章。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．经过点且斜率为1的直线方程为___________. 【答案】 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 2．将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法. 【答案】12 【详解】先将甲乙看成一个整体，共有种不同排法， 再与剩余学生排列，共有种不同排法， 所以共有种不同排法. 故答案为：12. 3．在的二项展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【详解】对有， 令，则，有， 即项的系数为. 故答案为：. 4．已知函数的导函数为，若，则__________. 【答案】 【详解】解：因为， 所以，则 ， 解得 ，所以 ， 所以 ， 故答案为： 5．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 【答案】 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 6．双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【详解】 故答案为：. 7．已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 8．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 【答案】0/ 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 9．数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 _____ 【答案】 【详解】由等差数列的性质可得：， 故答案为： 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】/ 【详解】如图所示，根据椭圆的定义可知，①， 由题意知②， 联立①②方程组可解得. 而，所以，即为直角三角形，. 由于在第二象限，所以点的坐标为. 因为，所以直线的斜率为. 故答案为：. 11．已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 【答案】 【详解】如图，因为，又， 所以，又， 所以，即， 所以，化简得， 所以，所以. 所以异面直线与的夹角为. 故答案为：. 12．拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【答案】 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 14．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 16．在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】设，则两点的“曼哈顿距离”，两点的“曼哈顿距离”， 则， 易得“曼哈顿”椭圆关于坐标原点及对称轴对称， 研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹， ， 作曲线， 根据对称性可作出如图“曼哈顿圆”， 则，，， 对于①，当点与重合时面积最大为，故①是真命题， 对于②，， 所以该“曼哈顿椭圆”周长为，故②是真命题. 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.   ....................................................7分 （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.   ....................................................14分 18．（本题14分）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即........................................3分 （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交.....................................................7分 （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为.....................................................14分 19．（本题14分）已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1). (2)见解析. (3)见解析. 【详解】（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设 则， 令得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以得证， 即得证. 20．（本题18分）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见详解 (2)13 (3) 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 对于，且， 所以是等比数列.....................................................5分 （2）由（1）可知：， 可得， 令，解得， 所以满足的的最小值为13.....................................................10分 （3）由（1）可知：， 则，可知数列为等差数列， 设数列的前n项和为，则， 令，解得， 当时，，则； 当时，，则 ； 综上所述：.....................................................18分 21．（本题18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，圆心为，半径为 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.....................................................3分 （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为....................................................10分 （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.....................................................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $