专题07 一元一次不等式（组）的求解与应用【期末复习重难点专题培优十八大题型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式（组）的求解与应用，通过11类重点题型+7类难点题型+真题演练的递进设计，系统提炼解题方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|11题型（含解集、整数解、数轴表示等）|解集求解步骤、实际问题建模法|从不等式概念到组的求解，再到经济/分配等应用，形成基础到实践的递进| |难点题型|7题型（含参数问题、几何应用等）|参数分类讨论、最值分析策略|深化核心概念，结合几何/行程等跨情境问题，培养推理能力| |真题演练|2模块（基础+拔尖）|分层突破技巧|对接中考命题趋势，通过真题强化模型意识与应用能力|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 一元一次不等式（组）的求解与应用『期末复习重难点专题培优』 【十一个重点题型+七个难点题型+期末真题实战演练 共74题】 重点题型 分类讲练 2 题型一 求一元一次不等式的解集 2 题型二 求一元一次不等式的整数解 3 题型三 在数轴上表示不等式的解集 6 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 8 题型五 求不等式组的解集 11 题型六 求一元一次不等式组的整数解 14 题型七 不等式组和方程组结合的问题 19 题型八 列一元一次不等式组 21 题型九 不等式组的经济问题 23 题型十 不等式组的分配问题 27 题型十一 不等式组的阶梯收费问题 30 难点题型 题型讲练 35 题型一 求一元一次不等式解的最值 35 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 36 题型三 由一元一次不等式组的解集求参数 42 题型四 由不等式组解集的情况求参数 45 题型五 不等式组的行程问题 47 题型六 不等式组的方案选择问题 51 题型七 —元一次不等式组的其他应用 55 优选真题 实战演练 58 【基础夯实 能力提升】 58 【拓展拔尖 冲刺满分】 65 题型一 求一元一次不等式的解集 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由得：，再把代入即可求出的值； （2）由得：，结合可得，再解不等式即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 得：， 又， 所以， 解得； （2）解：得：， 又， 所以，解得， 则的最小整数值为． 【精练1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 【答案】③④⑤ 【思路引导】先求解方程组，用k表示的x与y，即，再逐一判断各结论即可． 【规范解答】解： 得 ，得 将代入①，得 即方程组的解为， ①当时，，，则 ，故①错误； ②若，互为相反数，则，而 ，故②错误； ③若，则 ，整理得，解得，故③正确； ④若，则 ，移项得 ，系数化为1,得，故④正确； ⑤ ，无论k取何值，的值恒为1，始终不变，故⑤正确． 故答案为③④⑤ 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 【答案】 【思路引导】根据新运算的定义，将所求新运算转化为常规的一元一次不等式，再求解一元一次不等式的解集即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴ ∴ ∴． 题型二 求一元一次不等式的整数解 【精讲】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）按要求解题： (1)计算：． (2)求下列各式中的值： ①；②． (3)求不等式的非负整数解． 【答案】(1) (2)①；② (3)非负整数解为0，1，2，3，4 【思路引导】（1）先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可； （2）①利用平方根解方程的步骤，逐步计算求解即可； ②利用立方根解方程的步骤，逐步计算求解即可； （3）不等式去括号，移项及合并，把x系数化为1，再求出非负整数解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：①， ∴； ②， ， ∴． （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ∴它的非负整数解为：0，1，2，3，4． 【精练1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）“海上花园，琴岛明珠”，鼓浪屿以其独特的文化和历史景观吸引着各地游客．某校组织师生共300人计划开展鼓浪屿研学活动．学校打算向运输公司租用A型和B型客车接送师生往返．已知： 若租用A型车4辆，B型车5辆，则空余10个座位； 若租用A型车5辆，B型车3辆，则还有10人没有座位． (1)求A、B两种车型各有多少个座位？ (2)若要求租用的每辆客车都坐满，并且每种型号的车至少租1辆，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 【答案】(1) A型车有40个座位，B型车有30个座位； (2) 共有2种租车方案，分别为：方案一：租用A型车3辆，B型车6辆；方案二：租用A型车6辆，B型车2辆． 【思路引导】(1)首先，设A型车每辆有x个座位，B型车每辆有y个座位，然后，根据若租用A型车4辆，B型车5辆，则空余10个座位；若租用A型车5辆，B型车3辆，则还有10人没有座位，列方程组，解方程组即可； (2)首先，设租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，列方程并化简得 ，再由每种型号的车至少租1辆，且m、n为正整数， 得， 进而得， 可得，可得m只能为3或6，最后，将m值分别代入求解即可． 【规范解答】（1）解：设A型车每辆有x个座位，B型车每辆有y个座位， 根据题意，得， 解得． 答：A型车每辆有40个座位，B型车每辆有30个座位； （2）解：设租用A型车m辆，B型车n辆， 根据题意，得， 化简，得， ∵每种型号的车至少租1辆，且m、n为正整数， ∴， 由， 可得， 又∵m为正整数且能被3整除， ∴m只能为3或6， 当时，， 当时，． 答：共有2种租车方案，方案一：租用A型车3辆，B型车6辆；方案二：租用A型车6辆，B型车2辆． 【精练2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】（1）将代入即可求解； （2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可． 【规范解答】（1）解：将代入 有， ； （2）解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 解得： ， 解得：， ∵为正整数， ． 题型三 在数轴上表示不等式的解集 【精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 【答案】A 【思路引导】先根据数轴确定不等式的解集，然后结合各选项即可解答． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴有最小整数解为0． 【精练1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)不等式的性质2 (2)二；去括号后括号中第二项没变号 (3)，数轴表示见解析 【思路引导】（1）根据不等式的性质分析即可； （2）根据小明的解题步骤逐步分析即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：第一步不等式的两边同时乘以6，依据是不等式的性质2； （2）解：小明第二步出现错误，这一步错误的原因是去括号后括号中第二项没变号； （3）解：， 不等式两边同乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， y系数化成1，得， 在数轴上表示不等式的解集如下： 【精练2】（25-26七年级下·河南周口·期中）下面是小亮解不等式的过程，请认真阅读并完成任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)解题过程中，第______步出现了错误，错误的原因是______． (2)直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】(1)五；不等式两边都除以，不等号的方向没有改变 (2)，数轴见解析 【思路引导】（1）观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； （2）写出不等式正确解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：以上求解过程中，从第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边除以，不等号的方向没有改变． （2）解：该不等式的正确解集是：； 不等式的解集在数轴上表示如图： 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 【精讲】（25-26七年级下·河南新乡·期中）某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】B 【思路引导】设小明一行的人数为x，分别表示出两种方案的购票总费用，根据“方案一比方案二省钱”列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果，用到一元一次不等式的解法． 【规范解答】解：设小明一行人共有人，为正整数， 根据题意，方案一的总费用为，方案二的总费用为， ∵方案一比方案二省钱，且， ∴ ， 两边同除以得，， 展开得，， 移项合并得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为，即小明一行人的人数最多为7人． 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【答案】(1)A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元 (2)该经销商共有三种购车方案： 方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆； 方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆； 方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆 【思路引导】（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆，根据“公司投入的购车资金不超过340万元”、“要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，分别列出一元一次不等式，求出的取值范围，即可得购车方案． 【规范解答】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元， 根据题意得， 解得， 答：A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元； （2）解：设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆， ∵公司投入的购车资金不超过340万元， ∴， 解得， ∵要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元， ∴， 解得， ∴， ∵m为正整数， ∴或7或8， ∴该经销商共有三种购车方案： 方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆； 方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆； 方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆． 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）某文体用品店销售、两种规格的跳绳，跳绳的进价为每根元，跳绳的进价为每根元．下表中是该文体用品店近两周这两种跳绳的销售情况．（进价保持不变） 销售时段 周销售数量 周销售总额 第一周 根跳绳 根跳绳 元 第二周 根跳绳 根跳绳 元 (1)若这两周售价保持不变，求这两种规格跳绳的售价分别为每根多少元？ (2)第三周，该店决定恰好用元购进、两种跳绳，跳绳按售价打九折进行促销，而跳绳则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完，求第三周最多进跳绳多少根？ 【答案】(1)跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元 (2)第三周最多进跳绳根 【思路引导】（1）设跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元，根据两周的销售总额列出方程组，解之即可； （2）设购进种跳绳根，种跳绳根，根据进货总价元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为元列出不等式，代入求出最大整数解即可． 【规范解答】（1）解：设跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元， 根据题意得， 解得， 答：跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元； （2）解：设购进种跳绳根，种跳绳根， 由题意可得， 整理得， 第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完， ， 即， 解得， 又 、为正整数， 为的倍数， 最大为， 第三周最多进跳绳根． 题型五 求不等式组的解集 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． (1)________，________； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； (3)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)2，1 (2)1，2 (3) 【思路引导】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为正整数即可求解； （3）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【规范解答】（1）解：，， 解得：， 故答案为：2，1； （2）解：依题意， ①＋②化简得． ∵， 即 解得． 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． （3）解：依题意得， 解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【精练1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围． 【答案】． 【思路引导】先解方程组，再根据满足为非正数，为负数，列出不等式组，然后解不等式组即可． 【规范解答】解：， 由，解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴． 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）使方程和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法：①方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”；②若与有正整数“同频解”，则；③是与的“同频解”，则；④存在整数、使得方程的所有解均是其与的“同频解”．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】先根据方程用含的式子表示，再求不等式或不等式组的解，最后结合定义解答即可． 【规范解答】解：① ， 可转化为， 解得， 方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”为，故①正确； ②由得， 将代入得， 解得， 此时整数解为，则， 即与有正整数“同频解”，则，故②正确； ③由得， 将代入得， 解得， ，即， 是与的“同频解”， ，， ，故③正确； ④由得， 将代入，得， 整理得， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ， 解得， 则不等式为，即， 解得， 若取，，则不等式为，恒成立， 方程的所有解都满足不等式，故④正确； 综上可得正确的共有个． 题型六 求一元一次不等式组的整数解 【精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” (1)已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，是 (2) (3)或 【思路引导】（1）求得不等式的整数解，确定其最大整数解即可；已知关于的不等式根据定义判定求解即可； （2）先求出不等式组的解集，确定的“麦斯值”；求出不等式组的解集，根据不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，建立不等式求的取值范围即可； （3）先求出各个不等式或不等式组的解集，确定不等式或不等式组的“麦斯值”， 根据不等式（组）中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，建立新不等式组求解即可； 【规范解答】（1）解：不等式，解得，故不等式的“麦斯值”为2，它被不等式组 “麦斯覆盖”，故答案为：是． （2）解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 不等式组的“麦斯值”为和4， ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”， 故 解不等式①，得，解不等式②，得， 故的取值范围为； （3）解：，解得，故不等式的最小整数解为， 故不等式的“麦斯值”为1； ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，其整数解为3,4，故不等式的麦斯值”为3和4； ∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 不等式有解集满足的条件是， ∴不等式组的解集为， 当被不等式组“麦斯覆盖”时，根据题意，得， 被不等式组“麦斯覆盖”时，， 不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 被不等式组“麦斯覆盖”时，，不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 综上所述，的取值范围为：或 ． 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 请结合题意，完成本题的解答． 解：解不等式①，得_________． 解不等式②，得___________． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： 所以，不等式组的解集为_____________． 它的所有整数解为____________． 【答案】见详解 【规范解答】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集： 所以，不等式组的解集为． 它的所有整数解为0，1． 【精练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【思路引导】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【规范解答】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 题型七 不等式组和方程组结合的问题 【精讲】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）①②得，即，根据，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）解二元一次方程组得出，根据x，y都是负数，列出不等式组，求不等式组的解集，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 由①②得，所以， 因为，所以，解得； （2）解：， 解得， 因为x，y都是负数， 所以， 解得． 【精练1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 【答案】(1)2 (2) (3)3 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的应用、由二元一次方程组的解的符号求参数范围、绝对值的化简，解题的关键是先解方程组，用参数的代数式表示、，再结合条件列方程或不等式求解； （1）先解方程组，用含的代数式表示、，再代入列方程求的值； （2）先解方程组，再根据，列不等式组，求解的取值范围； （3）解题核心是根据（2）中得到的的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号化简． 【规范解答】（1）解： ， 得， 解得， 把代入①得， 方程组的解为， 把代入得， 解得； （2）该方程组的解满足为正数，为负数， ，解得； （3）， ． 【精练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】(1)集外点 (2) 【思路引导】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【规范解答】（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 题型八 列一元一次不等式组 【精讲】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【规范解答】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 【精练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【规范解答】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 【精练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 【答案】(1)① (2)数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗 【思路引导】（1）设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，列不等式组即可求解. （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，得： ， 解得， 又 为奇数， 共个. ①是正确的,②③是错误的. 答：说法正确的是①. （2）解：设数量少的群里有条狗， 则其余三个群里各有条狗． 由题意，得， 解得，则， 答：数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 题型九 不等式组的经济问题 【精讲】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【思路引导】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【规范解答】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 【精练1】（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【思路引导】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 【精练2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【思路引导】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 题型十 不等式组的分配问题 【精讲】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【思路引导】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【规范解答】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【精练1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【精练2】（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【规范解答】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 题型十一 不等式组的阶梯收费问题 【精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【思路引导】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【精练1】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【精练2】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【思路引导】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【规范解答】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型一 求一元一次不等式解的最值 【精讲】（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【思路引导】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 【精练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【规范解答】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【精练2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【规范解答】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 【精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【思路引导】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 【精练1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【思路引导】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 【精练2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用． （1），根据绝对值与平方数的非负性求解、； （2），过点作轴，设，根据，先求出点坐标，再根据三角形面积公式列出不等式求解； （3），先说明是的中点，进而利用面积关系得出，根据得出，根据，得出，即可求解． 【规范解答】（1）因为，又因为，， 所以， 两式相加得， 解得， 把代入，得， 解得． （2）如图，过点作轴，设 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： ∴． ∵点在轴上， ∴， ∵， ∴， ，即或， 解得或． （3）∵ ∴是的中点， ∴ ∴，则 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接，如图， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 题型三 由一元一次不等式组的解集求参数 【精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查的是一元一次不等式组的解法，关键在于先分别解出两个不等式，再根据解集的不同情况（给定解集、无解、整数解个数、有解）反推参数的取值或范围．先解出不等式组的解集为，再结合不同条件逐一分析参数的取值，进而判断各个结论的正确性． 【规范解答】解： 解不等式①，得： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 解不等式②，得： 移项，得， 系数化为，得， 因此不等式组的解集为； ①若解集为，则， 解得，故①正确； ②当时，， 此时不等式组为，不存在满足条件的，不等式组无解，故②正确； ③若不等式组的整数解仅有个，因为，所以整数解为， 因此可得， 不等式三边同乘，得， 三边同加，得，与给出的不符，故③错误； ④若不等式组有解，则需满足， 解得，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故答案为①②④． 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【思路引导】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【规范解答】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 【精练2】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可； （2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解； （3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：解不等式 ，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”； 不等式 与有公共整数解2，是的“云不等式”； 解不等式 ，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式不是的“云不等式”， ∴与没有公共整数解， 分两种情况： 当与没有公共解时， 可得， 解得； 当与有公共解，但公共解里没有整数时， 则 ，（为任意一整数） 则 即， 解得：， ∵为整数， ∴不存在，使得，即此种情况不成立； 综上可得，的取值范围为； （3）解：当时，即时，不等式即的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”， ∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1， ∴． 题型四 由不等式组解集的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 【答案】或 【思路引导】先求出不等式组的解集，再根据解集情况即可求出的取值范围． 【规范解答】解：解得， ∴， ∵所有整数解的和是，，， ∴当整数解为时，可得；当整数解为时，可得． 故的取值范围是或． 【精练1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【规范解答】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 【精练2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【思路引导】解方程组可得，由方程组的解为整数得或或，即得，，，，，，解不等式组得，由不等式组有且只有个整数解得到，即得到，进而即可求解． 【规范解答】解：， 由②，得， 把③代入①，得， ∴， ∵方程组的解为整数， ∴或或， ∴，，，，，， ， 解不等式④，得， 解不等式⑤，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∵，，，，，， ∴满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为． 题型五 不等式组的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【规范解答】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【精练1】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【规范解答】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【精练2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【思路引导】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型六 不等式组的方案选择问题 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【思路引导】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【规范解答】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 【精练1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【答案】(1)② (2)A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价50元 (3)见解析 【思路引导】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析x与的含义，结合选项判断被覆 盖的条件； （2）设A、B两种品牌足球的单价分别为x元、y元，根据“A品牌单价比B品牌高30元”和“购买25个A 、50个B共花费4500元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价； （3）设购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球个，根据“总费用不超过2750元”和“A品牌数 量不少于23个”列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数确定所有购买方案，再分 别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【规范解答】（1）解：设A种品牌足球的单价为元/个，从列出一元一次方程可知B种品牌足球的单价为元/个，说明A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个．故选②． （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 由题意得， 解得． 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元． （3）解：设购买A种品牌足球m个，B种品牌足球个， 由题意得， 解得． 又， 且m为正整数． ，24，25，共三种购买方案， 方案一：购A种品牌足球23个，B种品牌足球27个； 方案二：购A种品牌足球24个，B种品牌足球26个； 方案三：购A种品牌足球25个，B种品牌足球25个． 【精练2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长，宽． 素材2 1.制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼装成无盖长方体盒身，盒身底面长，宽． 2.制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身＋1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 (1)任务（1）求出盒身的高度． (2)任务（2）若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． (3)任务（3）在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】(1)盒身的高度为 (2)共有3种方案如下：①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖；②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖；③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖 (3)67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元 【思路引导】（1）设盒身高度，根据卡纸长为，盒身底面长为，列出方程即可求解； （2）设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，由题意列出不等式组即可求解； （3）设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，利润为w元，由题意列出w与x的关系式即可求解． 【规范解答】（1）解：设盒身高度， 依题意得：， ∴， ∵卡纸宽为，则，符合题意． 答：盒身的高度为． （2）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖， 依题意得：， 解得， ∴x的整数解有：67，68，69， ∴共有3种方案如下： ①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖； ②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖； ③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖． （3）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，利润为w元， 则， ∵x的值有：67，68，69， 当x＝67时，利润为：－29×67＋2700＝757； 当x＝68时，利润为：－29×68＋2700＝728； 当x＝69时，利润为：－29×69＋2700＝699； ∴当x＝67时， 即67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元． 答：67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元． 题型七 —元一次不等式组的其他应用 【精讲】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【规范解答】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 【精练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【思路引导】（1）①由“互异数”的定义可得； ②根据定义计算可得； （2）根据，结合题意，列出二元一次方程组，即可求x和y的值，进而求得的值； （3）根据“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，分类讨论f，根据满足的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围． 【规范解答】（1）解：①∵如果一个两位数的十位数字为，个位数字为，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”， ∴，，中，“互异数”为， ② （2）解：，且， ， ， ， 联立 解得， 故， ； （3）当时，，此时为不是互异数； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 满足的互异数有且仅有个， ． 【精练2】为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套． 【答案】835 【思路引导】设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据钢笔和笔记本的总数列出三元一次方程组，用表示和，再根据，的取值范围列出关于的不等式组，得到的取值范围，结合，为正整数确定的取值，进而求出，的值，最后计算尺规套装的总套数． 【规范解答】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意得， ，得，解得， 将代入②，得， 化简得，解得， 由题意得，，且，，都为正整数，因此， 解不等式组得 ，因为，为整数，所以同时是和的公倍数，在取值范围内的正整数只有， 将代入得，，均满足条件， 因此尺规套装的总套数为：． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先求出不等式组的解集，再判断数轴即可． 【规范解答】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先解一元一次不等式求出 的取值范围，再根据不等式解集在数轴上的表示方法“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”进行判断即可． 【规范解答】解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 该不等式的解集在数轴上表示为： 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据性质逐一判断选项即可，注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 【规范解答】解：A．∵，∴不等式两边同时加5，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． B．∵，∴不等式两边同时减1，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． C．∵，∴不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． D．∵，∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，原变形不正确，符合题意． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 【答案】21 【思路引导】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【规范解答】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据所有整数解的和为34确定整数解的范围，进而得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【规范解答】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 若不等式组有整数解，需满足 ，即 已知所有整数解的和为，计算得， 若包含整数，和为 ，因此不等式组的整数解为 ∴ 解得 6．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【思路引导】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【规范解答】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 7．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）按要求解答 (1)解二元一次方程组： (2)解二元一次方程组： (3)解不等式并把解集在数轴上表示出来：； (4)解不等式并把解集在数轴上表示出来： 【答案】(1) (2) (3)，数轴表示见解析 (4)，数轴表示见解析 【规范解答】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （3）解： ， 数轴表示如下： （4）解： ， 数轴表示如下： 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【思路引导】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【规范解答】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 9．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【答案】(1)无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元 (2)； (3)当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算 【思路引导】（1）设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元，根据“购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元；购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元”，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方案，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元， 由题意，得：， 解得． 答：无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元． （2）解：选择方案一购买，共需元； 选择方案二购买，共需元． （3）解：由题意，得， 解得：， 又因为，且为整数，所以（为整数）． 答：当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【答案】(1)甲种书柜单价元，乙种书柜单价元 (2)个 【思路引导】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲种书柜单价x元，乙种书柜单价y元， ， 解得 ， 答：甲种书柜单价元，乙种书柜单价元； （2）解：设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜（）个， ， ． 答：最多可以购买甲种书柜个． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先解，可得，，结合题目条件，可得，解不等式求解即可． 【规范解答】解： 的解都能使的一元一次不等式成立， ，即， 解得，， 的解都满足， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据新定义运算可得不等式组为，分别求出每个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集在数轴上表示如图： ． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题是真命题的有（   ）． ①若，则；②实数与数轴上的点是一一对应的；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑥一个数的立方根有两个，它们互为相反数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】根据不等式的性质、实数的性质及垂线的性质逐一判断每个命题的真假，统计真命题的个数，从而选出正确选项． 【规范解答】解：①当时，，不满足，故①为假命题． ②实数与数轴上的点是一一对应的，故②为真命题． ③当点在已知直线上时，不存在与已知直线平行的直线，故③为假命题． ④未限定在同一平面内，空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直，故④为假命题． ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，故⑤为假命题． ⑥一个数的立方根只有1个，故⑥为假命题． 综上，真命题共1个． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知关于、的方程组，解满足不等式，则__________． 【答案】 【思路引导】先得出方程组的解为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【答案】19 【思路引导】设出答对题目的数量，根据得分不低于及格分列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【规范解答】解：设飞飞答对道题，则不答或答错的题数为道，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最小值为， 故她至少要答对19道题． 6．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【规范解答】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 7．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】，解集见解析 【思路引导】分别求出两个不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【规范解答】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组且． (1)求a的取值范围； (2)若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先利用加减消元法解方程组，得到用含的代数式表示的，计算得到的表达式，代入已知的不等式，即可求解得到的取值范围； （2）根据已知等式，用表示，再结合（1）得到的的取值范围，利用不等式的性质即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解： 得 解得 把代入①得 ∴ 由已知 ， 代入得 解得； （2）解： 由（1）得 ∴不等式三边同乘，得 三边同时加1，得 即． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【思路引导】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）根据题意，方程的解应满足不等式组的解集，从而建立关于的不等式，再求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为三种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可，③当时，不等式无解，不符合题意． 【规范解答】（1）解：解不等式组，得， ①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， ④解方程得：， ∴②④是不等式组的“友好方程”， （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， ③当时，不等式无解，不符合题意； 所以m的取值范围是． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【思路引导】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解： ， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 一元一次不等式（组）的求解与应用『期末复习重难点专题培优』 【十一个重点题型+七个难点题型+期末真题实战演练 共74题】 重点题型 分类讲练 2 题型一 求一元一次不等式的解集 2 题型二 求一元一次不等式的整数解 2 题型三 在数轴上表示不等式的解集 3 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 5 题型五 求不等式组的解集 6 题型六 求一元一次不等式组的整数解 6 题型七 不等式组和方程组结合的问题 8 题型八 列一元一次不等式组 9 题型九 不等式组的经济问题 10 题型十 不等式组的分配问题 11 题型十一 不等式组的阶梯收费问题 13 难点攻克 题型讲练 15 题型一 求一元一次不等式解的最值 15 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 15 题型三 由一元一次不等式组的解集求参数 17 题型四 由不等式组解集的情况求参数 18 题型五 不等式组的行程问题 18 题型六 不等式组的方案选择问题 19 题型七 —元一次不等式组的其他应用 22 优选真题 实战演练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【拓展拔尖 冲刺满分】 25 题型一 求一元一次不等式的解集 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 【精练1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 题型二 求一元一次不等式的整数解 【精讲】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）按要求解题： (1)计算：． (2)求下列各式中的值： ①；②． (3)求不等式的非负整数解． 【精练1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）“海上花园，琴岛明珠”，鼓浪屿以其独特的文化和历史景观吸引着各地游客．某校组织师生共300人计划开展鼓浪屿研学活动．学校打算向运输公司租用A型和B型客车接送师生往返．已知： 若租用A型车4辆，B型车5辆，则空余10个座位； 若租用A型车5辆，B型车3辆，则还有10人没有座位． (1)求A、B两种车型各有多少个座位？ (2)若要求租用的每辆客车都坐满，并且每种型号的车至少租1辆，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 【精练2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 题型三 在数轴上表示不等式的解集 【精讲】．（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 【精练1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 【精练2】（25-26七年级下·河南周口·期中）下面是小亮解不等式的过程，请认真阅读并完成任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)解题过程中，第______步出现了错误，错误的原因是______． (2)直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 【精讲】（25-26七年级下·河南新乡·期中）某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）某文体用品店销售、两种规格的跳绳，跳绳的进价为每根元，跳绳的进价为每根元．下表中是该文体用品店近两周这两种跳绳的销售情况．（进价保持不变） 销售时段 周销售数量 周销售总额 第一周 根跳绳 根跳绳 元 第二周 根跳绳 根跳绳 元 (1)若这两周售价保持不变，求这两种规格跳绳的售价分别为每根多少元？ (2)第三周，该店决定恰好用元购进、两种跳绳，跳绳按售价打九折进行促销，而跳绳则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完，求第三周最多进跳绳多少根？ 题型五 求不等式组的解集 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． (1)________，________； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； (3)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【精练1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围． 【精练2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）使方程和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法：①方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”；②若与有正整数“同频解”，则；③是与的“同频解”，则；④存在整数、使得方程的所有解均是其与的“同频解”．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六 求一元一次不等式组的整数解 【精讲】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” (1)已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 请结合题意，完成本题的解答． 解：解不等式①，得_________． 解不等式②，得___________． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： 所以，不等式组的解集为_____________． 它的所有整数解为____________． 【精练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 题型七 不等式组和方程组结合的问题 【精讲】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【精练1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 【精练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 题型八 列一元一次不等式组 【精讲】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 题型九 不等式组的经济问题 【精讲】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【精练1】（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【精练2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 题型十 不等式组的分配问题 【精讲】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【精练1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【精练2】（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 题型十一 不等式组的阶梯收费问题 【精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【精练1】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【精练2】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型一 求一元一次不等式解的最值 【精讲】（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【精练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【精练2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 【精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【精练1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【精练2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 题型三 由一元一次不等式组的解集求参数 【精讲】（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【精练2】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 题型四 由不等式组解集的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 【精练1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 题型五 不等式组的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【精练1】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【精练2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型六 不等式组的方案选择问题 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【精练1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【精练2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长，宽． 素材2 1.制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼装成无盖长方体盒身，盒身底面长，宽． 2.制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身＋1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 (1)任务（1）求出盒身的高度． (2)任务（2）若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． (3)任务（3）在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 题型七 —元一次不等式组的其他应用 【精讲】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【精练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【精练2】为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 6．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 7．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）按要求解答 (1)解二元一次方程组： (2)解二元一次方程组： (3) 解不等式并把解集在数轴上表示出来：； (4) 解不等式并把解集在数轴上表示出来： 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 9．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题是真命题的有（   ）． ①若，则；②实数与数轴上的点是一一对应的；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑥一个数的立方根有两个，它们互为相反数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知关于、的方程组，解满足不等式，则__________． 5．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 6．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组且． (1)求a的取值范围； (2)若，求b的取值范围． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $