专题05 解二元一次方程组【期末复习重难点专题培优七大题型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 以“基础解法-难点突破-真题实战”为逻辑主线，系统整合2类重点题型、5类难点题型及41道真题演练，通过“精讲+精练”提炼消元策略与参数问题解法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|2题型（代入/加减消元）|消元步骤规范，变形技巧总结|从解法原理到基本应用，构建二元一次方程组求解基础| |难点题型|5题型（特殊解法/错解复原等）|整体代入、构造方程组、参数分类讨论|从常规解到复杂问题，深化解的性质与参数关系理解| |真题演练|41题（基础+拔尖）|综合应用解法，解题策略优化|从基础夯实到拔尖冲刺，实现知识迁移与能力提升|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 解二元一次方程组『期末复习重难点专题培优』 【二个重点题型+五个难点题型+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 3 难点攻克 题型讲练 6 题型一 二元一次方程组的特殊解法 6 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 11 题型三 构造二元一次方程组求解 13 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 18 题型五 方程组相同解问题 21 优选真题 实战演练 25 【基础夯实 能力提升】 25 【拓展拔尖 冲刺满分】 29 题型一 代入消元法 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知x，y满足二元一次方程组： (1)请将上述方程组中的第①个方程改写成用含的式子表示的形式； (2)解上述这个二元一次方程组，并写出完整的解题过程． 【答案】(1) (2)，过程见解析 【思路引导】（1）把方程①移项即可； （2）用代入消元法解答即可． 【规范解答】（1）解：把方程①移项得：． （2）解：由（1）得：③， 将③代入②得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 将代入③得． 所以这个方程组的解为． 【精练1】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 去分母得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 【精练2】（25-26七年级下·上海·期中）若，是有理数，且满足． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题先将等式整理，分离出有理部分和含的无理部分，根据，是有理数，利用有理部分、无理部分对应系数相等列二元一次方程组，求解得到，的值，再计算的平方根即可． 【规范解答】（1）解：， 即， 即， 因为是有理数，是无理数， 因此等式两边对应系数相等，可得： 把代入， 得， 解得 即 （2）把 代入得： 因为， 所以的平方根为，即的平方根为． 题型二 加减消元法 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【精练1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)的值为． 【思路引导】（）根据题意联立二元一次方程组，解出，的值即可； （）把代入运算中得，再根据新运算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴的值为． 【精练2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是． (1)二元一次方程的“搭档数”是______； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________ (3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）化为一般式得，根据定义确定二元一次方程的“搭档数”即可； （2）根据方程的“搭档数”为，得这个二元一次方程为，把代入方程求解即可； （3）根据关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，不妨设这个二元一次方程为，根据，是该方程的两组解，构造关于m、n的方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：化为一般式得， 根据定义，得二元一次方程的“搭档数”为； （2）解：因为方程的“搭档数”为， 得这个二元一次方程为， 把代入方程，得， 去括号，得， 整理，得， 解得， 故这个二元一次方程为； （3）解：因为关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是， 不妨设这个二元一次方程为， 因为，是该方程的两组解， 所以， 解得． 题型一 二元一次方程组的特殊解法 【精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 将②变形为 ③ 把①代入③，得， 解得 把代入①，得 解得 即原方程组的解为； （2）解： 将②变形为③ 把①代入③，得 整理得 解得． 【精练1】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）按要求完成下列各题： (1)观察发现：解方程组 将①整体代入②，得，解得．将代入①，解得． 所以原方程组的解是．这种解法称为“整体代入法”． 请写出方程组的解为______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． (3)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【思路引导】（1）将①式整体代入②求解即可； （2）先将①式进行变形得③，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形得③，由②，得，求出，将代入③，得，进而可求出的值． 【规范解答】（1）解：已知方程组 将①整体代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 所以原方程组的解为 （2）解： 由①得③ 将③整体代入②，得， 化简得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以原方程组的解为； （3）解：， 由①变形得， 整理得③， 由②，得， ， 两边同乘得， 解得， 将代入③，得， 所以． 【精练2】（25-26七年级下·广东广州·期中）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【答案】(1)不具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或； (3)或 【思路引导】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由得，，根据题意得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 【精讲】（25-26七年级下·山东烟台·期中）解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据新定义得出方程组，求得的值，然后根据新定义列式计算即可求解； （2）把代入②，把代入①，分别求得的值，再代入原方程组解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）把代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 把，代入方程组得：， ③④得：，即， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 【精练1】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【规范解答】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【规范解答】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 题型三 构造二元一次方程组求解 【精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 【精练1】（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解； （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【规范解答】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得， ， ， ， 即， 是二元一次方程的一个解， ， 即， ． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点．点在轴上，点在轴上． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度．运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或； (3)或 【思路引导】（1）根据绝对值和平方的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， 又∵点在轴上 ； （2）解：，，， 平移到向左平移了，向下平移了 ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 解得：或 或； （3）解：， 不在内， 设， ∵动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度． ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，如图： ， ， ①， ， ∴ ②， 联立①②，解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义：二元一次方程组的解满足，我们就说方程组的解为“友好解”． (1)方程组的解_______（填“是”或“不是”）“友好解”； (2)若方程组的解是“友好解”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2) 【思路引导】（1）先求解给定二元一次方程组得到x、y的值，再代入验证等式是否成立，判断是否为友好解； （2）联立和方程组中不含参数的方程，先解出x和y的值，再代入含参数的方程，直接求出m的值． 【规范解答】（1）解方程组 得，解得， 代入得， ∴， ∴这个解不是“友好解”． （2）∵方程组的解是“友好解”， ∴满足，即， ∴将代入， 得：，解得， 代入得， 把代入，得． 【精练1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为____． 【答案】 【思路引导】先利用加减消元法求出原方程组的解，用含的代数式表示和，再将代入得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【规范解答】解：解得， 方程组的解满足， ，整理得， 解得． 【精练2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 【答案】(1)③ (2) (3)m的值为19或 【思路引导】（1）将或或分别代入中求解，即可判断； （2）结合解与a的取值无关，可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得：， ①不是方程的解； 当时，， 解得：， ②不是方程的解； 当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程与a的取值无关， ∴， ∴，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， ①+②得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， ∵方程组有解， ∴，即， ∴， ∵k、x、y均为正整数， ∴可取1，2，5，10，即k可取3，4，7，12， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，m的值为19或． 题型五 方程组相同解问题 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【思路引导】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【规范解答】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 【精练1】（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 【精练2】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①，② 【思路引导】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，列绝对值方程，分区间讨论求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点B到y轴距离是到x轴距离的2倍， ∴，即， 当时，，， 则，解得（舍去）； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； ∴点A的坐标为或 （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查二元一次方程组的性质，可利用整体思想构造出的表达式，结合已知列方程求解，简化计算过程． 【规范解答】解： ①+②得： 等式两边同时除以8得： 去分母得： 解得：． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【思路引导】利用等式的基本性质，对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【规范解答】解：， 由①得， 由②得， 观察四个选项，选项B符合题意． 3．（25-26七年级下·山东威海·期中）下列哪组，的值是方程组的解？（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】运用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解：， 得：， 移项得：， 把代入方程①， 可得：， 解得：， 方程组的解为． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【规范解答】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 5．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如果关于、的方程组的解为，则的值为______． 【答案】 【思路引导】将方程组的解代入方程组，得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：∵关于、的方程组的解为， ∴， 解得， ∴． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）把方程改写成用含x的代数式表示y的形式，______． 【答案】 【规范解答】解：由题意得：． 7．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若方程组的解，满足，则的取值_____． 【答案】16 【思路引导】将方程组内的两方程求和，再结合得到关于k的方程求解即可． 【规范解答】解：， ①+②得， 将代入可得：，解得：． 8．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【规范解答】解：根据题意得，， ∴． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得， 则方程组的解为； （2）解： 整理得 得，， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 10．（25-26七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 【答案】(1)加减 (2)三 (3)见解析 【规范解答】（1）解：由题意知，小华的方法是加减消元法； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误； （3）解： ②①，得， 解得 把代入①， 解得 所以这个方程组的解为． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【思路引导】根据非负数的性质得关于、的二元一次方程，解方程，然后代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 【答案】A 【思路引导】令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【规范解答】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴， 解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 【答案】C 【思路引导】先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求出a、b的值，再代入求出即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ，得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 解得， 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得：， ， ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【思路引导】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【规范解答】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 5．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】5 【思路引导】两个方程相加，得，再将整体代入，即可求解． 【规范解答】解： 得，即， 将代入，得：， 解得． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____． 【答案】或1 【思路引导】根据“弦和”方程组的定义得到，即或，解方程组得到或，分别代入，根据对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组求出a、b的值，进而可知的值． 【规范解答】解：∵“弦和”方程组的解满足， ∴， 可得或 解得：或； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的值为或1． 7．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴原方程组的解为． （2）解： 由得， 解得 把代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 8．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【规范解答】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 9．（25-26七年级下·重庆万州·期中）小张和小王解一个关于x，y的二元一次方程组，小张正确解得，小王因看错了c，解得，已知小王解题时除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【思路引导】先将小张的正确解代入含参数c的方程求出c的值，再将小张和小王的解分别代入不含参数c的方程，联立得到关于a、b的二元一次方程组并求解，最后将a、b、c的值代入计算即可． 【规范解答】解：∵小张的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解①得； ∵小王只看错了c，没看错a、b， ∴他的解满足，即， 联立②、③，得， 解得； ∴． 10．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据方程的解的含义可得，进一步可得结论； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可. 【规范解答】（1）解：∵关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得：. （2）解：设，， ∴原方程组可化为，解得：， ∴，解得：； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ∴，解得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 解二元一次方程组『期末复习重难点专题培优』 【二个重点题型+五个难点题型+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 2 难点攻克 题型讲练 3 题型一 二元一次方程组的特殊解法 3 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 5 题型三 构造二元一次方程组求解 6 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 7 题型五 方程组相同解问题 8 优选真题 实战演练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【拓展拔尖 冲刺满分】 11 题型一 代入消元法 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知x，y满足二元一次方程组： (1)请将上述方程组中的第①个方程改写成用含的式子表示的形式； (2)解上述这个二元一次方程组，并写出完整的解题过程． 【精练1】（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【精练2】（25-26七年级下·上海·期中）若，是有理数，且满足． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型二 加减消元法 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）解方程组： (1) ； (2)． 【精练1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是． (1)二元一次方程的“搭档数”是______； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________ (3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 题型一 二元一次方程组的特殊解法 【精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【精练1】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）按要求完成下列各题： (1)观察发现：解方程组 将①整体代入②，得，解得．将代入①，解得． 所以原方程组的解是．这种解法称为“整体代入法”． 请写出方程组的解为______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． (3)已知，满足方程组，求的值． 【精练2】（25-26七年级下·广东广州·期中）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 【精讲】（25-26七年级下·山东烟台·期中）解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【精练1】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 题型三 构造二元一次方程组求解 【精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【精练1】（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点．点在轴上，点在轴上． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度．运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，请直接写出点的坐标． 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义：二元一次方程组的解满足，我们就说方程组的解为“友好解”． (1)方程组的解_______（填“是”或“不是”）“友好解”； (2)若方程组的解是“友好解”，求m的值． 【精练1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为____． 【精练2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 题型五 方程组相同解问题 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【精练1】（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【精练2】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 3．（25-26七年级下·山东威海·期中）下列哪组，的值是方程组的解？（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如果关于、的方程组的解为，则的值为______． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）把方程改写成用含x的代数式表示y的形式，______． 7．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若方程组的解，满足，则的取值_____． 8．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组： (1) (2) 10．（25-26七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 5．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____． 7．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）解下列方程组： (1)； (2) 8．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 9．（25-26七年级下·重庆万州·期中）小张和小王解一个关于x，y的二元一次方程组，小张正确解得，小王因看错了c，解得，已知小王解题时除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 10．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 1 / 3 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