专题04 坐标的应用-平面直角坐标系【期末复习重难点专题培优九大题型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系中坐标平移的系统训练，通过“重点题型分类讲练+难点攻克+真题实战”构建从单点平移到综合应用的方法体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|6类（如求平移后坐标、判断平移方式）|提炼平移坐标变化规律（左右平移x变y不变，上下平移y变x不变）|从点的平移到图形平移，构建“坐标变化量-平移方向距离-图形变换”的推理链条| |难点题型|3类（动点问题、中点坐标、规律探索）|总结动点轨迹分析、中点坐标公式推导、周期规律归纳法|深化平移与几何图形、动态问题的结合，培养模型意识与运算能力| |真题演练|2层次（基础夯实+拓展拔尖）|整合平移规律与面积计算、动态几何综合应用|覆盖期末高频考点，实现从基础应用到综合创新的能力提升|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 坐标的应用-平面直角坐标系『期末复习重难点专题培优』 【六个重点题型+三个难点题型+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1 题型二 由平移方式确定点的坐标 6 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 11 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 15 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 20 题型六 坐标系中的平移 27 难点攻克 题型讲练 32 题型一 坐标系中的动点问题（不含函数） 32 题型二 中点坐标 39 题型三 点坐标规律探索 43 优选真题 实战演练 45 【基础夯实 能力提升】 45 【拓展拔尖 冲刺满分】 53 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 【答案】或 【思路引导】根据平移的性质，点左右平移时纵坐标不变，仅横坐标改变，可设出点的坐标，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【规范解答】解：点左右平移得到点，由平移的性质可知，左右平移时点的纵坐标不变， 可设 ，则的长度为，且原点到直线的距离为， ∵三角形的面积为6， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或． 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图1，已知，点，将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应，连接，过C点作，垂足为H点，并满足． (1) 填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（___________， ___________），B（___________， ___________），C（___________， ___________）； ②如图1，直接写出的面积___________． (2)如图2，动点P从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时动点Q从原点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，的面积是面积的两倍，试求t的值． 【答案】(1)①，，；②4 (2)t的值为或 【思路引导】（1）①先求解a与b，由此可得点A与点B的坐标，再由平移的性质即可求解点C的坐标； ②根据三角形面积公式求解即可． （2）根据点P与点Q的运动路程表示与即可，再由面积的关系求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴，可得， ∴点，点； ∵将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应， ∴点B是由点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ∴点C是由点O向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到 ∴点； ②． （2）解：当点P运动在线段上时， 则有，， ∴， ， ∵，即， 解得； 当点P运动在线段的延长线上时， 则有，， ∴， ， ∵，即， 解得； 综上，t的值为或． 【精练2】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 题型二 由平移方式确定点的坐标 【精讲】（25-26七年级下·北京西城·期中）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．    C．    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C； (3)①能，2；②能，需要走1352步． 【思路引导】（1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【规范解答】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”的坐标为； （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 则马走到C的最短路线有2种； 故答案为：能；2； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）． 【精练1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，， (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请画出三角形； (2)请直接写出点，，的坐标； (3)若点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是____． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， (3) 【思路引导】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可； （2）根据图形得出坐标即可； （3）根据三角形的平移方式可得答案． 【规范解答】（1）解：如图：即为所画的三角形； （2）解：由图可得：，，； （3）解：点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是． 【精练2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， (4)不变；2 【思路引导】（1）根据平移的性质求解即可； （2）连接，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积求解即可； （4）分两种情况讨论，当N在线段上时，根据求解即可；当N在延长线上时，根据可得，再求即可得解． 【规范解答】（1）解：由平移可知； （2）解：连接，如图， ， ， 三角形的面积； （3）解：存在， 连接， 由题意知， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ， 解得， 时，四边形的面积等于6． （4）解：的值不会发生变化． 当N在线段上时，连接， 由题意知，， ， ， ， ， 当N在延长线上时，连接， 设， 由题意知，， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不会发生变化，的值为2． 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知点，点，点，且． (1)求三点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值． 【答案】(1) (2)①6；②的值为2或10 【思路引导】（1）利用非负数的性质求解； （2）①如图，过点D作轴于点H．利用面积法求解； ②首先证明，再构建方程求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点D作轴于点H， 由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点， ∵， ∴， ∴ ； ②由题意可得如图所示： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于三角形面积的两倍， ∴， 整理得：， 当时，则有，解得：； 当时，则有，解得：； 综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10． 【精练1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)写出下列各点的坐标：_______，______． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点P的坐标是______． 【答案】(1)， (2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度） (3) 【思路引导】（1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意得：，； （2）解：由图可得：，， 故平移方式为先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）； （3）解：∵点是三角形内部一点， ∴三角形内部的对应点的坐标是． 【精练2】（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 【答案】(1)168 (2)1或9 【思路引导】（1）由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积，得阴影部分的面积=梯形的面积，根据梯形面积公式可得结论； （2）由平行的性质求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：如图， 由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积， 则阴影部分的面积=梯形的面积： 由图可知，， ∴阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为168； （2）解：∵点平移至 ∴纵坐标增加了， ∵点平移至 ∴横坐标增加了， ， ∵直线轴且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为 1，即。 即 ， 解得或， 当时， ； 当时， ． 所以，的值为1或9． 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 【精讲】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：___________，___________； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的； (3)点是轴上的动点，当线段的长度最小时，求点的坐标． 【答案】(1)过程见解析， (2)作图见解析 (3) 【思路引导】（1）根据点和点的坐标可判断出平移方式，再由平移方式可得，得值； （2）根据（1）所求描出点，，，再顺次连接点，，即可； （3）由垂线段最短可知，当轴时，线段的长度最小，据此可得答案； 【规范解答】（1） ，， 将向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度后得到， ； （2）由（1）得， 如图所示，即为所求； （3）由垂线段最短可知，当轴时，线段的长度最小， ， ． 【精练1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，B坐标分别为，． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．请直接写出点P在内的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系即可； （2）根据对应点的坐标，确定平移规则，画图即可； （3）根据平移规则确定对应点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：平面直角坐标系，如图1即为所求； （2）解：平移至，如图2即为所求； （3）解：由（2）可知：向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度得到， ∴的坐标为． 【精练2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段． (1)直接写出点D的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限时，连接，点P为四边形内部一点，连接，，设点P的纵坐标为t，三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，若三角形的面积与三角形的面积比为，且点P在线段上，求点P的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路引导】（1）由平移线段至线段，先确定对应点，即可确定平移方式，最后根据平移方式求解即可； （2）由（1）可得，当点D在第一象限时，，过作轴于，则，，，根据求解即可； （3）在（2）的条件下，，设，过作轴于，轴于，过作轴于，由三角形的面积与三角形的面积比为，得到，再根据，得到，即可求出，． 【规范解答】（1）解：∵，，，平移线段至线段，如图： ∴当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度得到点； 当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，即； 综上所述，点D的坐标为或； （2）解：由（1）可得，当点D在第一象限时，， 过作轴于， ∵点P的纵坐标为t，，点P为四边形内部一点， ∴，，, ∴； （3）解：在（2）的条件下，，设， 过作轴于，轴于，过作轴于， ∵，，，， ∴，，，，， ∵三角形的面积与三角形的面积比为， ∴，即， 整理， ∵点P在线段上， ∴， ∴， 即， 整理得， 把代入得， 解得， ∴， ∴． 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 【精讲】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，；； (2)，0 (3)或或或 【思路引导】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，得出，，求解即可； （3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，为所作，；；；    （2）解：由题意，得，， ∴，， 故答案为：，0． （3）解：如图，    ∵， ∴当点P在y轴上时， 解得：， ∴， ∴，； 当点P在x轴上时，， 解得：， ∴， ∴，； 综上，点P的坐标为或或或． 【精练1】如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【思路引导】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【规范解答】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【考点剖析】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 【精练2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；理由见解析；②点D的坐标为或 【思路引导】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，； （2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，，  ，，于是， 可证.   ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得． 【规范解答】（1）解：由可知， ，， 解得：，； （2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上， ∴，沿y轴负方向平移2个单位得到， ∴，     ①. 理由如下：由题意得，， ∵， ，，     ，    ， ，         ， 即.    ②当 时，， 可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；    当时，如图，点D在第四象限，    设，由①得， ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 当时，如图，点D在第二象限，    ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 综上，点D的坐标为或． 【考点剖析】本题考查坐标系内图象平移与坐标变化，直角坐标系内求三角形面积，结合动点的运动情况判断图形的状态，分类讨论是解题的关键． 题型六 坐标系中的平移 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】（1）根据题意分别作，，，顺次连接即可，再写出点的坐标； （2）利用割补法即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，三角形即为所求， 可得； （2）解：三角形的面积． 【精练1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)5 【思路引导】（1）在平面直角坐标系结合图形即可求解； （2）根据点的平移的性质得出平移方式，再画图即可； （3）利用割补法求解面积即可． 【规范解答】（1）解：根据图可得，; （2）解：∵点，移动到点， ∴点到点的平移方式是：向右平移4个单位长度，向下平移4个单位， 则点,, 则如图所示： （3）解：根据题意可得 三角形的面积为：． 【精练2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)8；； (2) (3)的值不发生变化，理由见解析 【思路引导】（1）利用非负数的性质求解，，再进一步求解即可； （2）表示点D的坐标为，点E的坐标为，可得，，，设点F的坐标为，，，再进一步求解即可； （3）过点C作，过点P作．证明，证明．证明，再进一步证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴． ∵平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴ ∴． （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ， 解得， ； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 如图，过点C作，过点P作． 线段是由线段平移得到的， ， ， ， ， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， 当点N在线段上运动时，的值不变，其值为3． 题型一 坐标系中的动点问题（不含函数） 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，是长方形，为原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)______，______，点的坐标为______； (2)当点移动时，求出此时点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为7个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1)，， (2) (3)点移动的时间为或 【思路引导】（1）根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得，，进而可得点坐标； （2）利用移动速度和时间求出移动距离，即可求出点位置，得出点坐标； （3）分点在边和边上两种情况，分别求出移动距离，再求出移动时间即可； 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， 是长方形， ∴， ∵点在第一象限内， ∴． （2）解：∵点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为， ∴移动的距离为， ∵， ∴时，点在边上，与点的距离为个单位长度，即，如图所示， ∴点的坐标为． （3）解：设移动时间为秒， ∵点到轴的距离为7个单位长度，， ∴或， 如图，当时， ∵点的速度为每秒2个单位长度， ∴； 当时，移动距离为， ∴； 综上所述：点移动的时间为或． 【精练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【思路引导】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【规范解答】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 【精练2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)的值是定值，定值为3． 【思路引导】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 题型二 中点坐标 【精讲】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【思路引导】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【规范解答】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，点的对应点是点． (1)画出线段； (2)建立适当的坐标系，使点A的坐标为，写出此时点 的坐标； (3)我们可以将点向上平移个单位到点，再向左平移个单位到点，显然，，我们称的长叫做、两点在竖直方向上的距离，称的长叫做、两点在水平方向上的距离，并且有．根据此方法计算的长； (4)设点，，线段的中点，则点到点 、点到点的平移方式必然相同，于是，，解得 ，，故的中点的坐标为．在（2）的条件下，根据此公式计算线段的中点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) (4) 【思路引导】（1）根据平移的性质进行作图即可； （2）由点的坐标反推原点的位置，并建立坐标系，再得出点的坐标； （3）结合图，确定、两点在竖直方向上的距离和在水平方向上的距离，再使用公式计算即可； （4）先确定点和点的坐标，再根据中点公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：线段如图所示为所求作： （2）解：坐标系如图所示： 由图可知，点的坐标为； （3）解：由图可知，、两点在竖直方向上的距离为，在水平方向上的距离为， ∴； （4）解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点的坐标为，即． 【精练2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的计算，根据点的坐标，分别计算相关线段长度，并判断各结论是否正确，①通过计算中点坐标验证；②直接计算长度；③④通过解绝对值方程判断解的个数． 【规范解答】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故， ①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确； ②，为定值，与m无关，故②正确； ③，，设，即，解得（唯一解），故③正确； ④设，即，解得或，有两个解，故④错误． 综上所述，正确结论为①②③． 故答案为：①②③． 题型三 点坐标规律探索 【精讲】（25-26七年级下·广东湛江·期中）如图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，，按这样的运动规律，动点第2026次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由图中点的坐标可得：每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2026除以4，再由商和余数的情况确定运动后点的坐标． 【规范解答】解：由图中点的坐标可得：每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位， ∵， ∴第2026次运动为第507循环组的第2次运动， 横坐标为，纵坐标为0， ∴点P运动第2026次的坐标为． 【精练1】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为，经过2次翻滚，点A对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即． 【精练2】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【规范解答】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，即． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【规范解答】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到Q点，则Q点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据“横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减”的规则即可计算出结果． 【规范解答】解：∵点的坐标为，将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意得到点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化，然后结合求解即可． 【规范解答】解：由图象得：，，，， ∴点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化， ∵ ∴点的纵坐标为0 ∴点的坐标是． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 【答案】 【思路引导】根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，列出关于a的一元一次方程求解即可，掌握平行于x轴的点的坐标特征是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 轴，点B的坐标为， ∴ 点A的纵坐标等于点B的纵坐标， 即． 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为个单位长度的细铁丝的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细铁丝的另一端所在位置的点的坐标是____． 【答案】 【思路引导】根据点的坐标求出四边形各边的长度，进而求出四边形的周长，用总长度除以周长得到商和余数，根据余数确定细铁丝另一端的位置． 【规范解答】解：∵ ，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为 ， ∵， ∴细铁丝的另一端在绕四边形圈后的第个单位长度的位置， ∵从点出发，按的规律，， ∴细铁丝的另一端所在位置的点，坐标为 ． 6．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）点向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度得到点，则的坐标是___________． 【答案】 【规范解答】解：点向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度得到点， 则的坐标是，即． 7．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标． 【答案】画图见解析， ，， 【规范解答】解：如图，三角形即为所求． ，， 8．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)，平行且相等 【思路引导】（1）先确定平移方式，再画出点，顺次连接即可； （2）根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）设点的坐标是，则，求出的值即可，再根据平移的性质即可得． 【规范解答】（1）解：∵随着点平移到点， ∴平移方式是：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 画出平移后新如图所示： ． （2）解：由（1）已得：平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵， ∴，，， 即，，． （3）解：设点的坐标是， ∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 如图，连接线段， 由平移的性质得：线段与之间的关系是平行且相等． 9．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【规范解答】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3）解：． 10．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (__________) (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ①________，________； ②(__________)； (2)在平面直角坐标系中画出三角形 (3)若点是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的平方根． 【答案】(1)①，；②，； (2)图见解析； (3)． 【思路引导】（1）①由题意可得三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形，进而可得的值；②根据平移的性质可得答案． （2）根据点的坐标描点再连线即可； （3）根据图形平移的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）①∵，和，， ∴三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， ∴，， ②∵， ∴，即； （2）如图，三角形即为所求． （3）∵点是三角形ABC内部一点，经过平移后得到的对应点， 又∵由（1）得三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案． 【规范解答】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， 线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段， 点，的坐标分别为，， ，， ， 故选：A． 2．（25-26七年级下·重庆铜梁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】求出点，，的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【规范解答】解：由图可知，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 归纳类推得：点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先求出长方形的周长为14，得到瓢虫爬行一圈的时间为7秒，再根据即可求解． 【规范解答】解：由题意得四边形是长方形，， 则长方形的周长为，（秒）， 而，， ， 所以第2026秒瓢虫在C处左侧一个单位的位置，即坐标为． 4．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【思路引导】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标． 【规范解答】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 5．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 【答案】 【思路引导】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1，据此规律即可解答． 【规范解答】解：由图象得：，，，， ∴图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化；横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1， ∵从到共有2026个点， ∴纵坐标的循环次数为：， ∴的横坐标为2026，纵坐标为0．即坐标为． 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】设，求出、、、的坐标，找到规律即可求解． 【规范解答】解：设点的坐标为， 则， ，即， ，即， ，即， …… 由此可知，每四次一循环， ∵， ∴， ∵ ∴，， 解得：，， ∴． 7．（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【思路引导】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【规范解答】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，把向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． (1)画出平移后的； (2)写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，再顺次连接即可； （2）根据的位置，写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：根据点的位置可得，． 9．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【规范解答】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 10．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； 【思路引导】（1） 利用算术平方根和平方的非负性，由求出的值． （2） 点在第三象限，，以为底，为高，利用三角形面积公式表示的面积． （3）先求出的面积，再根据的面积是面积的倍列出方程，利用坐标面积公式求解点的坐标． 【规范解答】（1）解：， 又，， ，， 解得：，． （2）解：，， ， 点在第三象限， ， ． （3）解：， ， ， 设点的坐标为， ，， ， 由题意：， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 坐标的应用-平面直角坐标系『期末复习重难点专题培优』 【六个重点题型+三个难点题型+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1 题型二 由平移方式确定点的坐标 3 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 5 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 6 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 8 题型六 坐标系中的平移 9 难点攻克 题型讲练 11 题型一 坐标系中的动点问题（不含函数） 11 题型二 中点坐标 13 题型三 点坐标规律探索 15 优选真题 实战演练 16 【基础夯实 能力提升】 16 【拓展拔尖 冲刺满分】 20 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图1，已知，点，将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应，连接，过C点作，垂足为H点，并满足． (1) 填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（___________， ___________），B（___________， ___________），C（___________， ___________）； ②如图1，直接写出的面积___________． (2)如图2，动点P从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时动点Q从原点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，的面积是面积的两倍，试求t的值． 【精练2】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 题型二 由平移方式确定点的坐标 【精讲】（25-26七年级下·北京西城·期中）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．    C．    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【精练1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，， (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请画出三角形； (2)请直接写出点，，的坐标； (3)若点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是____． 【精练2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知点，点，点，且． (1)求三点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值． 【精练1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)写出下列各点的坐标：_______，______． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点P的坐标是______． 【精练2】（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 【精讲】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：___________，___________； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的； (3)点是轴上的动点，当线段的长度最小时，求点的坐标． 【精练1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，B坐标分别为，． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．请直接写出点P在内的对应点的坐标． 【精练2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段． (1)直接写出点D的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限时，连接，点P为四边形内部一点，连接，，设点P的纵坐标为t，三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，若三角形的面积与三角形的面积比为，且点P在线段上，求点P的坐标． 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 【精讲】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【精练1】如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【精练2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 题型六 坐标系中的平移 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)直接写出三角形的面积． 【精练1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 【精练2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 题型一 坐标系中的动点问题（不含函数） 【精讲】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，是长方形，为原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)______，______，点的坐标为______； (2)当点移动时，求出此时点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为7个单位长度时，求点移动的时间． 【精练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【精练2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 题型二 中点坐标 【精讲】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【精练1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，点的对应点是点． (1)画出线段； (2)建立适当的坐标系，使点A的坐标为，写出此时点 的坐标； (3)我们可以将点向上平移个单位到点，再向左平移个单位到点，显然，，我们称的长叫做、两点在竖直方向上的距离，称的长叫做、两点在水平方向上的距离，并且有．根据此方法计算的长； (4)设点，，线段的中点，则点到点 、点到点的平移方式必然相同，于是，，解得 ，，故的中点的坐标为．在（2）的条件下，根据此公式计算线段的中点的坐标． 【精练2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 题型三 点坐标规律探索 【精讲】（25-26七年级下·广东湛江·期中）如图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，，按这样的运动规律，动点第2026次运动到点（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为，经过2次翻滚，点A对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到Q点，则Q点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为个单位长度的细铁丝的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细铁丝的另一端所在位置的点的坐标是____． 6．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）点向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度得到点，则的坐标是___________． 7．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标． 8．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 9．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 10．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (__________) (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ①________，________； ②(__________)； (2)在平面直角坐标系中画出三角形 (3)若点是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的平方根． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆铜梁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在点（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 5．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的坐标为______． 7．（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，把向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． (1)画出平移后的； (2)写出点，，的坐标． 9．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 10．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $