专题03 实数及其简便运算【期末复习重难点专题培优十一大题型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过11类题型分层突破实数核心考点，融合期中真题与创新题型，系统培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|6题型（含无理数估算等）|聚焦概念辨析与基础运算技巧（如夹逼法、数形结合）|从实数分类、性质到大小比较，构建概念认知体系| |难点题型|5题型（含程序设计等）|强化综合应用与创新思维（如新定义转化、规律探究）|从混合运算到实际应用，提升推理意识与问题解决能力| |真题实战|53题（分层演练）|分层突破高频考点，适配不同能力需求|整合基础夯实与拓展拔尖，衔接期末命题趋势|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 实数及其简便运算『期末复习重难点专题培优』 【六个重点题型+五个难点题型+期末真题实战演练 共53题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 无理数的大小估算 1 题型二 无理数整数部分的有关计算 4 题型三 实数的分类 6 题型四 实数的性质 8 题型五 实数与数轴 10 题型六 实数的大小比较 13 难点攻克 题型讲练 17 题型一 实数的混合运算 17 题型二 程序设计与实数运算 19 题型三 新定义下的实数运算 21 题型四 实数运算的实际应用 23 题型五 与实数运算相关的规律题 26 优选真题 实战演练 29 【基础夯实 能力提升】 29 【拓展拔尖 冲刺满分】 32 题型一 无理数的大小估算 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根，估算无理数大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【规范解答】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为，宽为， 周长为． （2）解：能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 得， ∵取3， ∴ ∴， 解得（负值已舍去） 则， ∴ 由（1）得绣布的长为，宽为， ∵， ∴能够裁出来． 【精练1】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【规范解答】（1），； （2）， ． ， ． （3）据材料，得 ， ． 【精练2】（25-26七年级下·云南·期中）在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不同意；见解析 【思路引导】（1）设正方形的边长为，根据题意，得，求x的算术平方根即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意，得，解答即可． 【规范解答】（1）解：设正方形的边长为，根据题意，得， 解得，，边长不能为负，不符合要求，舍去， 故正方形的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得，，舍去， 故长方形的长为，宽为， 因为， 所以， 所以， 长方形的长大于正方形的边长， 故一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片的说法是错误的， 故不同意小丽同桌的说法． 题型二 无理数整数部分的有关计算 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【规范解答】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8， ∴小数部分为； （2）解：∵即， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·重庆巫山·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)2 【思路引导】（1）根据平方根、立方根的定义列出等式求出a和b的值，再估算的范围得到的值； （2）将代入代数式，计算后求出对应算术平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴ ， ， 解得，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：由(1)知，，， ∴ ， 的算术平方根是，即 的算术平方根是． 【精练2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以小数部分是． (1)请写出的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)的整数部分是2，小数部分是 (2) 【思路引导】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出，的值进而得出答案． 【规范解答】（1）解：， 的整数部分为：2， 小数部分可以表示为：； （2）解：，其中是整数，且，， ， ，， ， 的相反数为． 题型三 实数的分类 【精讲】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题有（   ）个 三条直线，，，若，，则；正有理数和负有理数统称为实数；两条直线被第三条直线所截，同位角相等；相等的两个角是对顶角；直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据平行公理推论、实数分类、平行线性质、对顶角定义、点到直线距离定义，逐个判断命题真假即可． 【规范解答】解：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，即若，，则，故是真命题； 实数包括有理数和无理数，有理数分为正有理数、、负有理数，因此正有理数和负有理数不能统称为实数，故是假命题； 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，任意两条直线被截同位角不一定相等，故是假命题； 相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角，故是假命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，故是假命题． 综上，真命题只有个． 【精练1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】根据算术平方根、平方根、实数的分类、无理数的概念与性质，逐一分析每个说法的正误即可． 【规范解答】解：①、∵， ∴①错误； ②、∵，而的平方根是， ∴是的平方根， ∴②正确； ③、根据实数的定义：实数分为有理数和无理数两类，不存在其他情况， ∴③正确； ④、如和都是无理数，但，是有理数， ∴④错误； ⑤、根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴⑤正确； 综上，正确的有②③⑤． 【精练2】（25-26七年级下·全国·周测）在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 【答案】 【思路引导】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 【规范解答】解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【考点剖析】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 题型四 实数的性质 【精讲】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据立方根、算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算； （2）根据去括号法则、算术平方根的定义及实数的性质将原式化简，再进行加减运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【思路引导】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 【精练2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． 【答案】 【思路引导】先将原方程化为，再根据题意得到，即可求解． 【规范解答】解： ， ， 即， ， ， ∴ 的平方根为． 题型五 实数与数轴 【精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，已知点A，B是数轴上两点，点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是_______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）直接用点B表示的数减去点A与点B之间的距离即可； （2）直接将m的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义和非负数的性质求出实数c和d，再代入计算，最后求的立方根即可． 【规范解答】（1）解：∵点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m， ∴实数m的值是； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的立方根． 【精练1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【规范解答】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 【精练2】（25-26七年级下·广东广州·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【思路引导】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 题型六 实数的大小比较 【精讲】（25-26七年级下·广西桂林·期中）解答下列各题 (1)计算： (2)比较数的大小：与 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】（1）先分别化简每一项，再进行加减运算即可． （2）对于两个正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方更大的原数更大． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：和都是正数， 分别计算平方得，， ， ． 【精练1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，白老师和同学们利用如图所示的两块完全相同的大长方形纸板裁剪小纸板． 任务一：裁剪三块面积分别为，，的正方形纸板． 任务二：裁剪四块面积为，且长与宽的比为的小长方形纸板． 【操作探究】如图1，为完成任务一，莉莉设计如下裁剪方案： ①先在右下角裁剪下面积为的正方形纸板A； ②继续在左下角裁剪下面积为的正方形纸板B； ③最后在左上角裁剪下面积为的正方形纸板C． （在裁剪过程中相邻两个正方形之间无缝隙） 为完成任务二，倩倩设计如下裁剪方案： 按如图2所示虚线裁剪四块相邻的小长方形纸板，每块面积为，且长与宽的比为． 【解决问题】 (1)正方形纸板A的边长为____．图1中D部分的周长为___． (2)求大长方形纸板的面积； (3)试通过计算说明倩倩设计的方案能否成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板． 【答案】(1)5，18 (2) (3)倩倩设计的方案能成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板 【思路引导】（1）设正方形纸板A，B，C的边长分别为，根据三个正方形纸板的面积分别计算出的值，进而确定大长方形纸板的长和宽，然后计算图1中D部分的周长即可； （2）结合（1）中大长方形纸板的长和宽的值，利用长方形面积公式求解即可； （3）可设四块相邻的小长方形纸板拼成的大长方形纸板的长和宽分别为和，结合小长方形纸板的面积计算出的值，即可确定四块相邻的小长方形纸板拼成的大长方形纸板的长和宽，比较大长方形纸板的长和宽与四个小长方形纸板组成的新长方形的长和宽，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：如下图，设正方形纸板A，B，C的边长分别为， 根据题意，正方形纸板A、B、C的面积分别为，，， ∴，，， 即正方形纸板A的边长为， ∴大长方形纸板的长，宽， ∴图1中D部分的周长 ； （2）由（1）可知，大长方形纸板的长为，宽为， ∴大长方形纸板的面积； （3）解：∵任务二所裁剪四块面积为，且长与宽的比为的小长方形纸板， ∴可设四块相邻的小长方形纸板拼成的大长方形纸板的长和宽分别为和， ∴， ∴， ∴四块相邻的小长方形纸板拼成的大长方形纸板的长和宽分别为和， 又∵，， ∴倩倩设计的方案能成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板． 【精练2】（24-25七年级下·广东广州·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)；； (2)能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据正方形的面积与边的关系，直接求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，列方程可求出信封的长与宽，与贺卡的边长比较大小即可得解； （3）估算无理数的大小得到，，的值，然后代入代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； （2）解：能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由如下： 长、宽之比为， 设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， 解得（负值已舍去）， 长方形信封的长为，宽为， ， ， ，， 正方形贺卡的边长是， 信封的宽与长均大于正方形贺卡的边长， 能将这张贺卡不折叠就放入此信封； （3）解：， ，即， 的整数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ． 题型一 实数的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： （2）解： 【精练1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算、解方程 (1)． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可求解； （2）先移项，再利用平方根解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【精练2】（25-26七年级下·山东日照·期中）计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）原式分别化简乘方、立方根、算术平方根和绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别化简算术平方根、立方根和根据二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可； （3）先根据数轴确定，，，可得，，再进行化简即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由数轴得：，，， ∴，， ∴ ． 题型二 程序设计与实数运算 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路引导】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， 【精练1】（25-26七年级下·重庆璧山·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【思路引导】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【规范解答】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 【精练2】（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【规范解答】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 题型三 新定义下的实数运算 【精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（    ） A．平方根为 B．立方根为 C．算术平方根为4 D．立方根为2 【答案】D 【思路引导】先根据新定义的运算规则计算出的结果，再结合平方根，立方根和算术平方根的概念判断正确选项． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴的平方根为，立方根为2，算术平方根为． 【精练1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【思路引导】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：．我们可以对连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． （1）对64连续求根整数，__________次之后结果为1． （2）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 【答案】 3 255 【思路引导】根据根整数的定义对连续求根整数，统计次数即可得到结果；通过逆推确定取值范围，再验证不同正整数的运算次数，即可得到满足条件的最大正整数． 【规范解答】解：（1）第一次： =，第二次： =，第三次：=，因此对连续求根整数，次之后结果为； （2）设对正整数连续三次求根整数得，运算过程为：第一次 ，第二次 ，第三次 ， 由 ，得 ，即， ∴要使a最大，则m应取最大整数值3， 由 ，得，即， ∴的最大值为， 由 ，得 ，即 ， ∴只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是． 题型四 实数运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【思路引导】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 【精练1】（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【思路引导】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 【精练2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【思路引导】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 题型五 与实数运算相关的规律题 【精讲】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【规范解答】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【思路引导】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【规范解答】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 【精练2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【答案】 【思路引导】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【规范解答】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 【基础夯实 能力提升】 1．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【思路引导】根据程序图计算即可． 【规范解答】解：取算术平方根得，是有理数， 取立方根得，是有理数， 取算术平方根得，是无理数，输出， 即输出的y值是． 2．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C．3.1415926 D．0 【答案】A 【思路引导】根据无理数和有理数的定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，所有有限小数和无限循环小数都属于有理数. 【规范解答】解：A、开平方不能得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数，符合要求； B、是分数，属于有理数，不符合要求； C、是有限小数，属于有理数，不符合要求； D、是整数，属于有理数，不符合要求． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【思路引导】先估算的大小，然后求出n的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．实数的相反数是_____． 【答案】 【规范解答】解：实数的相反数是． 5．比较大小：________3．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【思路引导】此题考查实数大小比较的方法. 对于两个正实数，平方更大的原数更大，据此即可判断． 【规范解答】解：对两个正实数分别平方，得，． 因为 ，且，， 所以． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）估计的整数部分为_____________． 【答案】9 【规范解答】解：∵，即， ∴， ∴， ∴估计的整数部分为9． 7．计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【规范解答】解：原式 ． 8．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 【答案】 【规范解答】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， 是的整数部分，， ， 故． 9．已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】 【思路引导】先进行估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴的整数部分为2，小数部分为， 则，， 那么，． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减运算即可； （2）先计算有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减运算即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若，，则；③的平方根是；④的平方根和立方根都是；⑤带根号的数都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】根据对顶角定义、平行线的性质、平方根立方根定义、无理数的概念逐个判断说法正误，统计正确说法的个数得到结果． 【规范解答】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截得的同位角相等，但不是对顶角，故①错误； ②同一平面内，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条，∵，，∴，故②正确； ③∵，的平方根是，∴的平方根是；∴③正确； ④的平方根和立方根都是，故④正确； ⑤带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故⑤错误； 综上，正确的说法共有个． 2．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【思路引导】根据平方根，立方根，有理数与无理数的概念，需要逐一判断各选项正误，找出错误说法． 【规范解答】解：∵，的平方根为， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵，是整数，整数属于有理数， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数， ∴仍然是无理数，分数都属于有理数，因此不是分数， ∴D选项说法错误，符合题意． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【规范解答】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【思路引导】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【规范解答】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是______． 【答案】或 【思路引导】本题考查了求算术平方根，数轴上两点间的距离． 先根据正方形面积求出边长的长度，再利用数轴上两点间的距离公式计算即可． 【规范解答】解：∵正方形的面积是10， ∴边长， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是或 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【思路引导】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 7． 【答案】3 【思路引导】先分别化简每一项，再合并同类项计算得到最终结果． 【规范解答】解： ． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 9．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【思路引导】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）2；（2）①9；②或；③或 【思路引导】本题主要考查了新定义下的线段关系，线段的和差，实数和数轴，两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据“好点”定义得， ，， ∴， 故答案为：2； （2）①点，之间的距离为， 故答案为：9； ②当时， ； 当时， ； 综上，或； （3）秒后点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 实数及其简便运算『期末复习重难点专题培优』 【六个重点题型+五个难点题型+期末真题实战演练 共53题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 无理数的大小估算 1 题型二 无理数整数部分的有关计算 3 题型三 实数的分类 3 题型四 实数的性质 4 题型五 实数与数轴 5 题型六 实数的大小比较 6 难点攻克 题型讲练 8 题型一 实数的混合运算 8 题型二 程序设计与实数运算 8 题型三 新定义下的实数运算 10 题型四 实数运算的实际应用 10 题型五 与实数运算相关的规律题 12 优选真题 实战演练 13 【基础夯实 能力提升】 13 【拓展拔尖 冲刺满分】 14 题型一 无理数的大小估算 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【精练1】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【精练2】（25-26七年级下·云南·期中）在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 题型二 无理数整数部分的有关计算 【精讲】（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 【精练1】（25-26七年级下·重庆巫山·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【精练2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以小数部分是． (1)请写出的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 题型三 实数的分类 【精讲】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题有（   ）个 三条直线，，，若，，则；正有理数和负有理数统称为实数；两条直线被第三条直线所截，同位角相等；相等的两个角是对顶角；直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【精练2】（25-26七年级下·全国·周测）在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 题型四 实数的性质 【精讲】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 【精练1】．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【精练2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． 题型五 实数与数轴 【精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，已知点A，B是数轴上两点，点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是_______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的立方根． 【精练1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·广东广州·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 题型六 实数的大小比较 【精讲】（25-26七年级下·广西桂林·期中）解答下列各题 (1) 计算： (2)比较数的大小：与 【精练1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，白老师和同学们利用如图所示的两块完全相同的大长方形纸板裁剪小纸板． 任务一：裁剪三块面积分别为，，的正方形纸板． 任务二：裁剪四块面积为，且长与宽的比为的小长方形纸板． 【操作探究】如图1，为完成任务一，莉莉设计如下裁剪方案： ①先在右下角裁剪下面积为的正方形纸板A； ②继续在左下角裁剪下面积为的正方形纸板B； ③最后在左上角裁剪下面积为的正方形纸板C． （在裁剪过程中相邻两个正方形之间无缝隙） 为完成任务二，倩倩设计如下裁剪方案： 按如图2所示虚线裁剪四块相邻的小长方形纸板，每块面积为，且长与宽的比为． 【解决问题】 (1)正方形纸板A的边长为____．图1中D部分的周长为___． (2)求大长方形纸板的面积； (3)试通过计算说明倩倩设计的方案能否成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板． 【精练2】（24-25七年级下·广东广州·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 题型一 实数的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 【精练1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算、解方程 (1) ． (2)已知，求的值． 【精练2】（25-26七年级下·山东日照·期中）计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 题型二 程序设计与实数运算 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【精练1】（25-26七年级下·重庆璧山·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【精练2】（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 题型三 新定义下的实数运算 【精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（    ） A．平方根为 B．立方根为 C．算术平方根为4 D．立方根为2 【精练1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：．我们可以对连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． （1）对64连续求根整数，__________次之后结果为1． （2）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 题型四 实数运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【精练1】（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【精练2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 题型五 与实数运算相关的规律题 【精讲】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【精练2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【基础夯实 能力提升】 1．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 2．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C．3.1415926 D．0 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．实数的相反数是_____． 5．比较大小：________3．（填“”“ ”或“”） 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）估计的整数部分为_____________． 7．计算：． 8．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 9． 已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 10．计算： (1) (2) 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若，，则；③的平方根是；④的平方根和立方根都是；⑤带根号的数都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是______． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 7． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 9．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $