第01讲 双曲线的定义和几何性质讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线的定义、方程及几何性质等核心考点，按“定义-方程-性质-应用”逻辑架构知识点，通过思维导图梳理脉络，高考分析明确考情，结合10大题型的典型例题与变式训练，形成“考点梳理-方法指导-真题演练”的系统复习流程，助力学生突破离心率、渐近线等难点。 讲义突出逻辑推理与数学运算素养，如通过焦点三角形余弦定理推导离心率范围，利用定义法和待定系数法求方程，设计分层练习（基础变式到综合解答）。创新采用“题型归纳+陷阱规避”策略，如辨析椭圆与双曲线a,b,c关系，培养学生直观想象能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效支撑。

第01讲 双曲线的定义方程和几何性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 做生意的 4 题型归纳 12 题型01：双曲线的定义 12 题型02：双曲线定义的应用（求值） 14 题型03：求双曲线标准方程 16 （一） 定义法求标准方程 17 （二） 与椭圆双曲线共焦点的双曲线方程 19 （三） 共渐近线的双曲线方程 21 （四） 两点法（待定系数法） 22 （五） 等轴双曲线 22 （六） 双曲线几何性质求标准方程 23 （七） 综合求方程 31 （八） 解答题 37 题型04：动点轨迹法求双曲线方程 40 题型05：根据双曲线求参数的范围 53 题型06：双曲线的渐近线 61 题型07：双曲线的简单几何性质 81 题型08：离心率取值和取值范围 88 题型09：利用定义求最值 116 题型10：双曲线的实际应用 125 巩固提升 138 1. 题型分布 2. 1.选择、填空：5分，基础送分题，每年必考 2.解答题：常与直线、圆锥曲线综合，12分中档压轴 2. 高频考点 3. 1.定义辨析、焦点三角形边长计算 2.a,b,c关系、离心率求解 3.渐近线方程、渐近线与离心率互化 4.直线与双曲线位置关系：弦长、中点、定点定值 5.与椭圆对比辨析（易错重灾区） 三. 难度特点 整体低于抛物线、略高于椭圆；计算量大，陷阱极多 1.忽略2a<2c导致轨迹不是双曲线 2.混淆椭圆&双曲线a,b,c关系式 3.直线与双曲线相交，忽略判别式\Delta>0、左右支限制 四. 命题趋势 侧重几何性质、离心率范围、渐近线斜率、数形结合，少复杂纯代数运算 一．知识目标 1. 熟练掌握双曲线第一、第二定义，准确判断轨迹是否为双曲线 2. 牢记两种标准方程，快速判断焦点位置 3. 熟记+=，区分椭圆与双曲线关系式 4. 掌握范围、对称性、顶点、渐近线、离心率全部几何性质 5. 会求渐近线、离心率、焦点坐标、准线方程 二．能力目标 1. 利用定义巧解焦点三角形周长、面积、最值问题 2. 熟练进行离心率e与渐近线斜率互相转化 3. 掌握直线与双曲线联立，判别式、韦达定理、弦长公式应用 4. 数形结合分析双曲线左右支交点、范围限制 5. 辨析易混易错点，规避高考高频陷阱 三．素养目标 1. 提升直观想象：双曲线数形结合分析 2. 逻辑推理：定义严谨应用、范围取舍 3. 数学运算：圆锥曲线联立化简、整体代换运算 知识点1：双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．用集合表示为．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知, 当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线； 当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． *在应用定义和标准方程解题时注意以下两点*： ①条件“”是否成立； ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 双曲线的三个定义 1.双曲线的第一定义： 2.双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.双曲线的第三定义： 设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有（焦点在y 轴上时为） 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 知识点2 ：双曲线的方程、图形及性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5.双曲线的通径 过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 6.双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点3 ：等轴双曲线共轭双曲线 1.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 它有以下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为,它们互相垂直； ③离心率 2. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和. 性质： ①它们有相同的渐近线. ②它们的四个焦点共圆. ③离心率满足. 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点4：双曲线方程的求解 1.用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 3.与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 知识点5：双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一： ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. 方法三：若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 2.双曲线的通径 过焦点做轴的垂线，交于椭圆两点，设，代入椭圆方程，，，即，所以通径. 3.重要性质 性质一： ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 性质二： ①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 3. 过焦点的三角形 4. （1）设，的周长： （2）焦半径 设为直线倾斜角 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 则,. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 证明过程：设，则 . 为焦长公式. 4.焦比公式 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 若，则,所以， 即. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 即. 题型01：双曲线的定义 【典型例题1】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案. 【解答过程】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【典型例题2】方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 【变式训练1-1】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练1-2】已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 【变式训练1-3】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【答案】B 【详解】因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支. 故选：B． 【变式训练1-4】设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（    ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【解析】不妨设点，且易有，， 且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故 等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值.故选：A. 题型02：双曲线定义的应用（求值） 【典型例题1】已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 【典型例题2】设是双曲线上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ． 【答案】 【解析】因为双曲线为，则，由双曲线的定义得， 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 故. 【变式训练2-1】已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【解题思路】利用双曲线的定义即可求解. 【解答过程】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 【变式训练2-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【答案】B 【解题思路】由双曲线方程及焦距确定，再由双曲线定义可求. 【解答过程】由题设，解得，又且， 所以，所以， 又P是双曲线上的一点，所以， 又因为，所以，解得或， 当P在双曲线左支时，， 当P在双曲线右支时，， 所以，即不可能有，则. 故选：B. 【变式训练2-3】若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 【变式训练2-4】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 【变式训练2-5】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 【变式训练2-6】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【答案】B 【解题思路】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得. 【解答过程】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，， 根据双曲线定义，， 解得或1，又，所以. 故选：B. 【变式训练2-7】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【解答过程】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A. 题型03：求双曲线标准方程 求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意： 1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程. 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为. (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (4) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. (5) 已知的双曲线方程设为. (6) 已知离心率为的双曲线方程可设为或. （1） 定义法求标准方程 【典型例题1】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案. 【解答过程】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 【变式训练2-1-1】以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【解答过程】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 【变式训练2-1-2】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为.故选：D. 【变式训练2-1-3】与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 【变式训练2-1-4】已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. （2） 与椭圆双曲线共焦点的双曲线方程 【典型例题1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【典型例题2】与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 【变式训练2-2-1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程. 【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为，所以解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 【变式训练2-2-2】与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 【变式训练2-2-3】与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对双曲线，可得其焦点在轴上，其坐标为. 设椭圆方程为，， 由题意，，所以. 所以椭圆方程为. 故选：B （3） 共渐近线的双曲线方程 【典型例题】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 【变式训练2-3-1】与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 . 【答案】 【详解】由题意知该双曲线与双曲线有公共渐近线， 故设该双曲线方程为，代入，得，解得 所以，故该双曲线的实轴长， 故答案为：. （4） 两点法（待定系数法） 【典型例题】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式训练2-4-1】经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法即可联立方程求解. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： （5） 等轴双曲线 【典型例题1】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 【变式训练2-5-1】已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：，故选：B． 【变式训练2-5-2】已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 . 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入方程中得， 则双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式训练2-5-3】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. （6） 双曲线几何性质求标准方程 【典型例题1】焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【变式训练2-6-1】焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式训练2-6-2】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D. 【变式训练2-6-3】已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据渐近线垂直可得，再根据实轴长为4即可求解. 【解答过程】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练2-6-4】已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【解答过程】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 【变式训练2-6-5】双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求得的值，即可得到双曲线的方程. 【解答过程】设双曲线的焦距为， 则，解得. 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-6-6】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 【变式训练2-6-7】双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为 ． 【详解】因为双曲线过点， 则有①， 又离心率为2，则②， 由①②可得，，， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 【变式训练2-6-8】已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 . 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以，即， 则该双曲线的方程为. 故答案为： 【变式训练2-6-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 【变式训练2-6-10】某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 【变式训练2-6-11】已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是___． 【答案】 【分析】因为双曲线的两个焦点分别为，，，， 所以双曲线的焦点在轴上，且，由于三角形为直角三角形， 故，所以， 由双曲线定义得，即，故，所以双曲线方程为． 故答案为：． 【变式训练2-6-12】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 【变式训练2-6-13】双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可． 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 【变式训练2-6-14】已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． （7） 综合求方程 【典型例题1】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【解答过程】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练2-7-1】已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程. 【解答过程】 设， ，为第一象限的点， 由题意得双曲线渐近线方程为， 因为为正三角形，所以，则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 【变式训练2-7-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【解答过程】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-7-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【变式训练2-7-4】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-7-5】已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 【变式训练2-7-6】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【解答过程】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D. 【变式训练2-7-7】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为.故选：D. 【变式训练2-7-8】已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，得到，结合双曲线定义即可求解. 【解答过程】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 【变式训练2-7-9】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去） 所以双曲线的标准方程为： 故选：A （8） 解答题 【典型例题1】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 【典型例题2】已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率； 【答案】 【分析】把点坐标代入双曲线方程得，显然直线的斜率存在，设，设，联立双曲线方程由韦达定理有，，结合，化简并整理得，由此即可进一步求解. 【详解】 将点代入双曲线方程得，化简得，， 故双曲线方程为， 由题意显然直线的斜率存在，设，设， 则联立双曲线化简并整理得：， ， 故，， ， 化简得：， 故， 即，当时，直线过点，不合题意，舍去， 故. 【变式训练2-8-1】已知双曲线为上一点，为的右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与的左支交点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据已知条件及两点间距离公式可得出关于的值，即可得出双曲线的方程； （2）先设点，再结合及面积得出，最后结合点在双曲线上得出点的坐标应用两点求斜率公式即可解得实数. 【解答过程】（1）因为双曲线中， ，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）设，且，， 所以，所以，所以， 又因为在双曲线上，所以，所以， 所以或， 所以直线的斜率或.    【变式训练2-8-2】已知双曲线 的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）设直线联立方程得出韦达定理结合数量积坐标公式计算求解得出双曲线即可； （2）设直线方程再联立方程组结合斜率公式计算得出，再结合二次函数值域得出最大值. 【解答过程】（1）由抛物线的焦点为得，设双曲线右焦点为， 直线， 与抛物线方程联立可得． 则， 解得，所以，故的方程为. （2）设抛物线的切线方程为，显然， 与抛物线方程联立可得， 令，得， 切线方程为． 设，代入切线方程可得， ． 点在的左支上，． 代入得， 故当时，的最大值为. 题型04：动点轨迹法求双曲线方程 【典型例题1】已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【典型例题2】已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ） A．x＝0 B． C． D．或x＝0 【答案】D 【分析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0 ②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有， 即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为 综上：轨迹方程为或x＝0， 故选：D 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 【典型例题4】如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【解析】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【变式训练4-1】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 【变式训练4-2】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式训练4-3】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用直接法求得轨迹方程. 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A 【变式训练4-4】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式训练4-5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【解析】由题意可得， 化简得． 故选：B. 【变式训练4-6】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练4-7】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 【变式训练4-8】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【解析】连接、，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 【变式训练4-9】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、立体几何中的轨迹问题 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 【变式训练4-10】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 【变式训练4-11】已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 【变式训练4-12】已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，可以判断点M的轨迹方程，通过解方程组求出M的坐标，最后根据两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为 所以点M是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为， 即， 因此有， 因此， 故选：B 【变式训练4-13】设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 【变式训练4-14】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 【变式训练4-15】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 【变式训练4-16】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【答案】(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由见解析 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 题型05：根据双曲线求参数的范围 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【典型例题1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程表示双曲线，则满足， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【典型例题2】“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【典型例题3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 【典型例题4】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C. 【典型例题5】（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 【变式训练5-1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 【变式训练5-2】已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 【变式训练5-3】“”是“为双曲线方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若为双曲线方程，则，解得或， 故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.故选：A 【变式训练5-4】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【解答过程】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 【变式训练5-5】已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】C 【解析】对于A选项，若方程表示椭圆，则， 解得或，A错； 对于B选项，当时，方程表示椭圆， 则，，，其离心率为，B错； 对于C选项，若方程表示的是焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，C对； 对于D选项，当时，方程表示双曲线，则，， 此时该双曲线的渐近线方程为，D错. 故选：C. 【变式训练5-6】（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A．m的取值范围是 B．双曲线C的焦点在x轴上 C．双曲线C的焦距为6 D．双曲线C的离心率e的取值范围是 【答案】ABC 【分析】因为表示双曲线，所以，解得-5<m<4，故A正确； 因为，故双曲线的焦点在x轴上，故B正确； 设双曲线的半焦距为c，则，所以，，故C正确； 双曲线的离心率，故D错误. 故选：ABC 【变式训练5-7】（多选）已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线 B．当时，曲线C是离心率为的椭圆 C．曲线C可能是一个圆 D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线 【答案】AD 【分析】对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.故选：AD 【变式训练5-8】（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 【变式训练5-9】（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，满足， 而，即不是椭圆，故A错误； 对于B，当，即或时，为双曲线，故B正确； 对于C，由为椭圆，则，解得且， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 对于D，由B知，当或时，表示双曲线， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 而双曲线的焦距为，故D错误. 故选：ACD. 【变式训练5-10】（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练5-11】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即， 故答案为：． 【变式训练5-12】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【解析】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 题型06：双曲线的渐近线 1.求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程. 2.与双曲线渐近线有关的结论 ①焦点到渐近线的距离恒为； ②顶点到渐近线的距离恒为； ③双曲线上任一点到两条渐近线的距离乘积为。 【典型例题1】双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 【典型例题2】若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 【典型例题4】已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 【典型例题5】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 【变式训练6-1】已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程. 【解析】椭圆的焦点坐标为，因此双曲线E的焦点为， 而其实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线E的方程为, 所以双曲线E的渐近线方程为. 故选：A 【变式训练6-2】已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据焦点坐标求出，根据双曲线定义及双曲线上一点求出，再根据求出，最后根据双曲线渐近线方程为即可求解. 【详解】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上， 所以，另一个焦点坐标为， 因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：， ，， 所以，解得，又因为， 即，解得， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：A 【变式训练6-3】已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由过点的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解； 【详解】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以． （1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示． 由，设， 则，由双曲线的定义知 ，所以， 在中，， 在中，， 即，解得， 所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：． （2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示． 由，得 与双曲线定义不符，故此种情况不成立． 综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为， 故选：A． 【变式训练6-4】已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 【变式训练6-5】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 【变式训练6-6】已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 【变式训练6-7】双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 【变式训练6-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设直线与圆相切于点，且圆心，半径=． 因为以为直径的圆过点P，所以， 又圆E与直线的切点为M，所以，从而． 由，得=，所以===b． 又，所以，解得， 因此该双曲线的渐近线方程为． 故选：C 【变式训练6-9】双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 【变式训练6-10】已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为， 根据圆的圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 从而求得双曲线的方程为，所以，即， 故此双曲线的焦距为， 故选：D. 【变式训练6-11】已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ） A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4 B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大 C．为定值 D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点 【答案】AC 【解析】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为， 焦点到渐近线的距离为，故正确； 对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则， 所以新离心率， 即离心率变小，故B错误；对于选项C， ，， 又点在双曲线上，， ，（定值），故C正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；故选：AC 【变式训练6-12】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 【变式训练6-13】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式训练6-14】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【详解】由双曲线有右焦点， ，双曲线的方程为：， ，，则，， ，则， 双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 化为直线方程的一般形式：或， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为.， 综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故答案为： 【变式训练6-15】已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【变式训练6-16】已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、双曲线中的定值问题 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 【变式训练6-17】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件确定为的内心，再结合得到，进而可求解. 【详解】依题意，，，则；则； 先证在中，若，则为的内心． 由， 可得：， 整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 所以由条件可知：点为的内心，设的内切圆半径为， 则，故，故， 而， 故，故，则，， 故所求渐近线方程为. 故答案为：2； 【变式训练6-18】已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质结合三角形余弦定理求解即可. 【解析】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式训练6-19】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【分析】利用双曲线的性质结合弦长公式求解即可. 【解析】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 【变式训练6-20】已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】双曲线的左､右焦点分别为， ， 以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点， 设坐标原点为， 以为直径的圆的方程为， 又的渐近线方程为， 联立方程组，解得，则， 直线的方程为， 联立方程组， 解得，则， ， ， ， ， ， . 故答案为：6. 【变式训练6-21】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 【变式训练6-22】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为， 设； 联立可得， 显然，且，解得且； 则，， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或（舍），即， 所以直线的方程为或. 题型07：双曲线的简单几何性质 【典型例题1】已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 【典型例题2】双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【详解】由双曲线方程可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：D 【典型例题3】（多选题）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 【典型例题4】若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 【变式训练7-1】已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的半焦距为， 则. 故选：A 【变式训练7-2】双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 【变式训练7-3】若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 所以. 故选：B 【变式训练7-4】已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由双曲线方程确定，再根据，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，则. 故选：D 【变式训练7-5】双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 【变式训练7-6】双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （    ） A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴， 【答案】C 【详解】由得：，故双曲线焦点在y轴上，， 对于焦点在y轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线为 . 故选：C. 【变式训练7-7】已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线即， 又虚轴长为，所以， 则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【变式训练7-8】双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【详解】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为. 故选：C 【变式训练7-9】若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【变式训练7-10】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 因为直线，整理得，其斜率为， 因为两直线垂直，所以，即， 又因为，代入，得，所以, 故离心率. 故选：A. 【变式训练7-11】已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线可知，焦距为， 该双曲线的渐近线方程为， 因为， 所以直线的斜率，所以倾斜角为锐角，符合题意； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以， 因为， 所以由题意可知， 所以、 ， 故选：A 【变式训练7-12】（多选题）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【解析】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 【变式训练7-13】（多选题）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【答案】ACD 【解析】表示椭圆在x轴上方的部分， 表示双曲线在x轴下方的部分， 作出图象： 双曲线的一条渐近线为， 故选项ACD正确，选项B错误. 故选：ACD. 【变式训练7-14】（多选题）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解析】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为. 对于A，由双曲线知右焦点，， 所以到的距离为，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，即，故B错误； 对于C，的离心率为，故C正确； 对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练7-15】（多选题）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程为，依题意，， 注意到，故，设双曲线方程为. B选项，由，即，则，解得，B正确； C选项，，，则， 所以，所以双曲线的焦距为，C错误； A选项，由，得双曲线的方程为，即， 则双曲线的实轴长为4，A正确； D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AB 【变式训练7-16】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【详解】由双曲线有右焦点， ，双曲线的方程为：， ，，则，， ，则， 双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 化为直线方程的一般形式：或， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为.， 综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故答案为： 【变式训练7-17】已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ． 【答案】2 【详解】双曲线，即， ，即， 双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为， 双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点和渐近线， 焦点到渐近线的距离， 故答案为：2． 【变式训练7-18】已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【答案】6 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 题型08：离心率取值和取值范围 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 求离心率的常用方法有： (1) 若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解; (2) 若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解.特别地，若已知渐近线方程为，若焦点不确定，或，因此离心率有两种可能. (3) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (4) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【典型例题1】已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B．（1，2） C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴， 所以，因为是钝角三角形， 所以是钝角，即， 因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，所以，又， 所以，即，即， 解得或（舍去），所以双曲线的离心率的取值范围是，故选：D 【典型例题2】已知双曲线C：（，）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设渐近线是，记，则，所以， 设，中应用余弦定理有， 所以，即， 由于，因此上述方程的两解就是， 又，不妨记， 又，， ，， 所以，，解得或， 又，所以． 故选：C． 【典型例题3】过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．或4 D．或2 【答案】D 【解析】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，从而可得； 若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c， |OA|=a，所以△OAB的内切圆半径为， 所以，又因为|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a， 所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，则，从而可得. 综上，双曲线C的离心率为或2. 故选：D 【典型例题4】设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 【典型例题5】已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，结合题意可得为等边三角形．解法一：求出点P的坐标，代入双曲线方程，化简即可求得答案；解法二：利用双曲线定义可求得的关系，即得答案. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以在中，， 又直线的倾斜角为60°，所以，所以为等边三角形． 设． 解法一 ：由为等边三角形得点P的坐标为， 由点P在双曲线C上，可得，又， 化简可得，所以，即， 将当成一个整体，利用求根公式得，又，所以， 所以，． 解法二 ：设为C的左焦点，连接， 在中，得， 所以，又，所以， 即，所以． 故选： C 【变式训练8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设直线的方程为，与的方程联立得的坐标，由得的坐标，将的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】 由题意，得渐近线的方程为． 不妨设直线的方程为，． 由解得． 又，且 解得，代入双曲线，得， 解得双曲线的离心率． 故选：A． 【变式训练8-2】已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 【变式训练8-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线的定义结合中位线可求，故可求离心率. 【详解】不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 故，故， 故，故，所以即， 故， 故选：D. 【变式训练8-4】双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 【变式训练8-5】过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 【变式训练8-6】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 【变式训练8-7】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 【变式训练8-8】双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【详解】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 【变式训练8-9】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于两点（在上方），满足，且.设双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，如下图： 由得，， 由双曲线定义可得，因此， 在中，， 由余弦定理可得， 在中， 两角互补余弦值相反，即，解得， 所以 故选：C 【变式训练8-10】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A 【变式训练8-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 【变式训练8-12】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 为的内心， 为角平分线交点， 又，故， ， ， 又， ， 直线的斜率为，， 在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 【变式训练8-13】已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以， 设，则， 由定义可知：， ， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 解得：， 故选：C. 【变式训练8-14】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 【变式训练8-15】已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题可知，，即，，，得. 设，因为平分，由角平分线定理可知， ，即，整理得. 在中，设，根据余弦定理，有： ， 又因为在中，， 故可得，整理得， 解得或（舍去）， 故的离心率. 故选：B. 【变式训练8-16】已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以由双曲线定义可知， 则，， 在中，由余弦定理得， 即，化简得，即， 则双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式训练8-17】已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B. 【变式训练8-18】已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 【变式训练8-19】已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 所以，解得. 所以离心率的取值范围为. 故选：B 【变式训练8-20】如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以的中点为原点，建立直角坐标系， 设，得， 过作于，因为是等腰梯形，且， 则，所以，则， 所以 设，则， 得，，又点在双曲线上，所以， 整理得，则， 因为，易知在区间上单调递增，则， 所以，即，又，所以， 故选：A. 【变式训练8-21】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A 【变式训练8-22】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ． 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 在中，由，得， 由双曲线定义得，则， 所以的离心率. 故答案为： 【变式训练8-23】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，，，则，，且， 由基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即， . 故答案为：. 【变式训练8-24】若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 【答案】 【解析】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故答案为：． 【变式训练8-25】已知点在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】因双曲线的渐近线方程为， 由点在渐近线上，即，所以， 所以离心率． 故答案为：. 【变式训练8-26】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设，，直线的方程为. 设，，由，得为的中点，故. 由，得，即. 因，故，即， 化简得. 将，代入上式， 得， 解得，则. 将直线与双曲线联立：， 整理得. 由韦达定理，，约去得， 化简得，即，得. 此时，即渐近线的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意. 因，代入得，化简得， 故离心率. 故答案为： 【变式训练8-27】设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 【变式训练8-28】，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【解析】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 【变式训练8-29】已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【详解】 如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故答案为：2． 【变式训练8-30】已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的渐近线上，直线与轴交于点，满足且，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【详解】不妨设在上，由， 则，， 因为，所以， 即，所以， ， 因为，所以， 解得，所以，所以离心率； 当点在时，同理可得. 故答案为：2. 【变式训练8-31】设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为 ；C的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以，渐近线方程为. 故答案为：；. 【变式训练8-32】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，，，则，，且， 由基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即， . 故答案为：. 【变式训练8-33】已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合， 在中，由正弦定理得： ，因，于是得， 而点P在双曲线M的右支上，即，从而有， 点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有， 因此，而，整理得，即， 解得，又，故有， 所以双曲线M的离心率的取值范围为.故答案为： 【变式训练8-34】已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，点是双曲线上一点，且直线，的斜率分别为，，若不等式恒成立，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】：由恒成立， 可得， 因为，所以，则设直线为，设，令， 由，得，则， 因为， ， 所以 ，所以恒成立， 因为直线过原点，所以，关于原点对称， 设，， 因为点在双曲线上，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，所以，即，所以离心率为， 故答案为： 【变式训练8-35】已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】设另一个焦点为，连接，设，然后结合双曲线的定义表示出，再由双曲线的对称性结合题意可得，在中利用勾股定理得，再在中利用勾股定理列方程化简可求得离心率. 【详解】设另一个焦点为，连接，设，则， 由双曲线的定义可得， 由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 所以在中，， 所以，化简得， 在中，，则， 所以，得， 所以， 所以离心率. 故答案为： 【变式训练8-36】已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解. 【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为， 过点与一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 所以， 所以 ， ， 由恒成立， 所以恒成立，所以，即， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型09：利用定义求最值 【典型例题1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【典型例题2】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可. 【详解】设点，由题意可得， 则，则， ∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点， 所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴. 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 【典型例题3】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果； 【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 【典型例题4】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 【变式训练9-1】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为， 【变式训练9-2】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式训练9-3】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式训练9-4】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式训练9-5】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式训练9-6】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【变式训练9-7】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 【变式训练9-8】已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和，进而得到的值. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，    依题意，，设，则， 由得， 所以， 所以. 故选：D． 【变式训练9-9】（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则或，且有，可得，，， ，令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为.因此，的最小值是. 【变式训练9-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设直线，，与的内切圆分别相切于点，，，则，，．因为，所以，即，即，设点的横坐标为，则点的横坐标为．因为，，所以，解得，所以点与点重合，且轴；同理，可得轴．设直线的倾斜角为，当时，易得；当时，，，由题可知， 所以，又，所以．综上可知，的取值范围为． 【变式训练9-11】已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 【答案】4 【分析】设，运用圆的对称性和圆周角定理，得到直线斜率之间的关系，后用两点间的斜率公式代入即可得到刚好满足双曲线定义，用定义解题即可. 【详解】设，且，又，，， 根据直径所对圆周角是直角，知道，则， 则，， 即，则点在以为焦点的双曲线上，. 故答案为：4 【变式训练9-12】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由化简求解； （2）过点作垂直于直线，垂足为，设，得到，然后由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 题型10：双曲线的实际应用 【典型例题1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【典型例题2】在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 【变式训练10-1】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意画出轴截面如下图所示： 设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【变式训练10-2】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练10-3】如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 【变式训练10-4】双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为 ．    【答案】 【详解】   根据双曲线的光学性质可知与三点共线， 故， 不妨设，则， 由双曲线的定义可知， 两式相加可得， 所以， 由勾股定理可知， 故. 故答案为：. 【变式训练10-5】如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点， 所以且，解得，即， 可得双曲线的渐近线为， 所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为. 故答案为：.    【变式训练10-6】、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【答案】P在北东方向 【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意， ∴在以为焦点的双曲线的右支上． 其中，其方程为， 又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：， 由方程组解得，即. 由于，可知在北东方向．    【变式训练10-7】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【变式3-1】（2025·广西玉林·三模）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【解析】令，解得， 所以， 因为点A在双曲线上， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以m-n的最大值为4 故选：D 【变式训练10-8】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 【变式训练10-9】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 【变式训练10-10】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 【变式训练10-11】如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系． 则，，， 设为巨响为生点，由A、同时听到巨响声，得， 故在的垂直平分线上，的方程为，因点比A点晚听到爆炸声， 故，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上， 依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得， ，，，即 故. 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心米处． 【变式训练10-12】江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 【变式训练10-13】设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 【详解】（1）将代入曲线可得， 即； （2）设方程上任意一点， 则 = ， 当时，， 当时，， 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线； （3）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和． 【变式训练10-14】已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】曲线, 当当 当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确 故选：A 【变式训练10-15】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设双曲线的方程为，则， 可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A. 一．单选题 1．已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合椭圆、圆、双曲线的标准方程逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，若，则化为，由，得， 因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，A正确； 对于B，若，则化为， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，B错误； 对于C，若，则化为，此时曲线C表示双曲线， 由得渐近线方程为，C错误； 对于D，，方程，若，方程不表示任何曲线，D错误． 故选：A 2．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可. 【详解】动点满足，则，其中， 化简可得． 故选：B． 3．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得，即可求解. 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 4.双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 5.已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求方程、利用椭圆定义求方程 【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解. 【详解】设，则由题：， 又的离心率为，所以， 即，，即， 令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点， 又O是的中点，则，所以， 又，所以， 所以，则，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B. 6.已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦距、已知两点求斜率 【分析】先设，再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得，最后点在双曲线上得出，计算得出即可. 【详解】因为，所以点在的右支上，由对称性设在第一象限， 设，，，则，由，， 得解得 所以，所以，即， 因为在的右支上，所以， 所以， 设的半焦距为，则，即，所以焦距为． 故选:D． 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设双曲线的半焦距为，结合双曲线的渐近线方程为，可得，设，结合双曲线定义，余弦定理列关系式可得，结合角平分线性质求结论. 【详解】设的半焦距为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，故，. 设，，， 由余弦定理有， 化简得，则， 因为为的角平分线， 所以，又， 所以， 所以. 故选：D. 8.已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可. 【详解】由题意得则则 所以渐近线方程为 又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，    由圆与渐近线相切可得 解得 故选：B. 9.双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】依题求出点坐标，设出点，得，写出，利用点在双曲线上，化简的表达式，计算即得. 【详解】 如图，,不妨设，则， 依题意，，因点在双曲线上，故有， 于是，. 故选：B. 10.已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 11．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出满足条件时的和，再求出，验证，，能否是三角形的三边长，即可得出答案． 【详解】不妨设，由题意得． 若曲线是椭圆，则，则，； 若曲线是双曲线，则，则，． 可以验证，选项A，B，C中的点P都不能构成满足上述条件的， 只有选项D，由于，，所以，，，可构成， 即存在“点”的曲线是． 故选：D. 12．定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】A 【分析】对A点的位置进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义，判断出动点的轨迹. 【详解】设圆A的半径为R，对定点B分类讨论： ①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图1所示．    设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由椭圆的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆； ②若点B在圆A外，如图2所示．    设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由双曲线的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支； ③若定点B与圆心A重合，如图3所示．    设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件， 因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆； ④若点B在圆A上，如图4，则满足条件的点是射线；      综上可知，满足条件的点M的轨迹可能是椭圆、双曲线的一支、圆或一条射线，而不可能是一条直线． 故选：A． 13．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 14.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的焦距为， 双曲线的离心率为， 则，即，即有， 又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为. 故选：C 15.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 16.过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 17.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 二．多选题 1. （多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 【答案】ACD 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的实轴、虚轴、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据离心率列方程求得，即可判断A，根据中线向量运算及中位线性质得，然后利用双曲线定义得判断B，根据勾股定理及双曲线定义求得，代入面积公式判断C，结合选项C根据完全和平方公式求解判断D. 【详解】由题意知，，解得，所以实轴长为4，故A正确； 因为，所以是线段的中点， 因为是线段的中点，所以， 由双曲线定义知，， 所以，故B错误； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积为，故C正确； 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 2. （多选）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 【答案】ABD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦、定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】对于A，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，由此可判断A；对于B，由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断B；对于C，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；对于D，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断D. 【详解】对于A，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即， 当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得， 由双曲线中的平方关系，联立解得， 所以双曲线的焦距为，故A正确； 对于B，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 圆：的圆心为，半径为，且经过原点， 则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线， 则圆心到渐近线的距离为， 由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确； 对于C，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线， 则垂线方程为，与联立可解得垂足， 则，故C错误； 对于D，圆：的圆心为，半径为1， 由双曲线的定义可知， 则，当且仅当在线段的延长线上取等， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 3. （多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 【答案】BD 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】本题考查双曲线，掌握双曲线的定义，理解双曲线的概念与性质． 【详解】A、由，得，，则，，， 当时，，由，可得，故A不正确； B、焦点的面积公式，将代入可知，故B正确； C、当时，，当时，， 因为为锐角三角形，所以，故C不正确； D、设，（），则（）， 由题设知，，则， 所以点的轨迹方程为，故D正确． 故选：BD. 4. （多选）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 【答案】ABD 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】A利用斜率之积为计算；B计算和即可求出；C根据条件写出双曲线和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式化简即可；D先求证三点均在以为直径的圆上，再利用双曲线的定义以及勾股定理得出即可. 【详解】渐近线方程为，若双曲线的两条渐近线互相垂直，则， 得，故A正确； 由题意可知，点到渐近线的距离为， 又直线的斜率为，则， 则，得，， 故离心率为，故B正确； 由题意可知，，则，则双曲线方程为， 渐近线方程为， 设点，则， 点到两条渐近线的距离之积为， 故C错误； 因，则， 则三点均在以为直径的圆上， 设，由于对称性，不妨设点在第一象限， 则，得， 则，故D正确. 故选：ABD 5. （多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 【答案】ACD 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设点P的坐标，再结合斜率公式计算判断A，应用两角和正切公式计算判断B，C，应用基本不等式公式计算结合面积公式计算判断D. 【详解】由题意知，设点P的坐标为，α，，所以，所以，所以A对； 因为，所以无最小值，所以B错， ， 又因为P横坐标逐渐变大时，α也跟着变大，在变小，所以逐渐变小，所以C对， 又当， 当且仅当取得等号，即，即，，，， 所以，所以面积为． 故选：ACD． 6．（多选）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程、双曲线方程以及圆的方程的概念求解. 【详解】 对A,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形不是一个圆，故A错误； 对B,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对C,当时，曲线方程为，即，所以曲线表示的图形是一个圆，故C正确； 对D，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故D正确； 故选:BCD. 7．（多选）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】AB 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围，即可判断． 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 由，显然， 即，则， 其中表示点到定点的距离， 表示点直线的距离，又点不在直线上， 则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比， 依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意. 故选：AB 8．（多选）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能. 【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 9.已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 10.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：AD 11.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】由双曲线，得， 则双曲线的渐近线方程为，焦点为， 对于A：如图： 易知，即渐近线是的角平分线， ∴当且仅当与渐近线垂直时，即时，是等腰三角形，此时有，故A错误； 如图： 不妨设均在x轴上方． 对于B：设直线的方程为， 联立，得， ∵， ∴， 则， 则，即中点为， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则中点为，即为， ∴中点即为中点，设为，则， ∴，故B正确； 对于C：如图： 由双曲线的渐近线方程可知，， 由于，∴， 则，故C错误； 对于D：由选项B知，为中点， 若，则，则， 即，负值（负值舍去），则， 则，故D正确． 故选：BD． 三．填空题 1.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】设，则，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合双曲线定义，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为，可设，则， 又因为，在中，由余弦定理有， 即，解得， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 2.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 【答案】3 【知识点】求平面两点间的距离、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据双曲线C的，得左、右顶点、的坐标，设点P的坐标，列方程组求解即可. 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：.    3.设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 【答案】2 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】对于双曲线，，，到渐近线的距离，由圆与C的一个公共点为A，与圆相切，在直角三角形中，由勾股定理求解即可. 【详解】 对于双曲线，，， 其渐近线方程为，， 到渐近线的距离， 所以圆的半径， 因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，， 由双曲线定义知，则， 在直角三角形中，根据勾股定理， 而，所以. 即，所以， 因为，解得. 故答案为： 4．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，且圆的圆心，由题意，即，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程. 【详解】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 5．与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 6．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 7.已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 【答案】1 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线为，所以，解得. 故答案为：1 8.若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 9.设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 【答案】 【详解】设椭圆与双曲线的交点位于第一象限（），椭圆和双曲线的离心率分别为和， 椭圆焦距为，长轴为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 由椭圆和双曲线定义可知，解得，， 因为，所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 则，所以，整理得，即， 当且仅当，即时等号成立，故两条曲线的离心率之积最小为； 由，得，解得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 10.已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，设，即，代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以有，解得， 所以双曲线的方程为． 方法一：  设， ， 则， 则， 由于，所以，因此， 于是，故的最小值是． 方法二 ： 由双曲线定义可知，且， 于是， 由于，所以， 因此，故的最小值是． 故答案为：； 四．解答题 1．在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据动点与定点的距离和它到定直线的距离比即可得出轨迹方程； （2）设出设直线和直线的方程，让直线方程与动点M的轨迹方程联立，得出的表达式，结合基本不等式即可得出最小值. 【详解】（1）由题意， 动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3， ∴， 整理化简可得：即， ∴动点M的轨迹方程为： （2）由题意及（1）得， 在中，直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)， ∴各直线存在斜率且不为0， 可设直线的方程为，直线的方程为， 由可得， 所以， 同理可得， 又由且，可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最小值为． 2.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以， 又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，所以，所以， 又因为，所以， 所以双曲线C的方程为. （2），直线l过且斜率为2，设直线l的方程为， 设，联立与消去得， 由根与系数关系可得， 所以. 3.已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 4.已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 5.已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 6.已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得，， 同理可得， ， 所以存在满足． 7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 8.已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 双曲线的定义方程和几何性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 做生意的 4 题型归纳 12 题型01：双曲线的定义 12 题型02：双曲线定义的应用（求值） 14 题型03：求双曲线标准方程 16 （一） 定义法求标准方程 17 （二） 与椭圆双曲线共焦点的双曲线方程 19 （三） 共渐近线的双曲线方程 21 （四） 两点法（待定系数法） 22 （五） 等轴双曲线 22 （六） 双曲线几何性质求标准方程 23 （七） 综合求方程 31 （八） 解答题 37 题型04：动点轨迹法求双曲线方程 40 题型05：根据双曲线求参数的范围 53 题型06：双曲线的渐近线 61 题型07：双曲线的简单几何性质 81 题型08：离心率取值和取值范围 88 题型09：利用定义求最值 116 题型10：双曲线的实际应用 125 巩固提升 138 1. 题型分布 2. 1.选择、填空：5分，基础送分题，每年必考 2.解答题：常与直线、圆锥曲线综合，12分中档压轴 2. 高频考点 3. 1.定义辨析、焦点三角形边长计算 2.a,b,c关系、离心率求解 3.渐近线方程、渐近线与离心率互化 4.直线与双曲线位置关系：弦长、中点、定点定值 5.与椭圆对比辨析（易错重灾区） 三. 难度特点 整体低于抛物线、略高于椭圆；计算量大，陷阱极多 1.忽略2a<2c导致轨迹不是双曲线 2.混淆椭圆&双曲线a,b,c关系式 3.直线与双曲线相交，忽略判别式\Delta>0、左右支限制 四. 命题趋势 侧重几何性质、离心率范围、渐近线斜率、数形结合，少复杂纯代数运算 一．知识目标 1. 熟练掌握双曲线第一、第二定义，准确判断轨迹是否为双曲线 2. 牢记两种标准方程，快速判断焦点位置 3. 熟记+=，区分椭圆与双曲线关系式 4. 掌握范围、对称性、顶点、渐近线、离心率全部几何性质 5. 会求渐近线、离心率、焦点坐标、准线方程 二．能力目标 1. 利用定义巧解焦点三角形周长、面积、最值问题 2. 熟练进行离心率e与渐近线斜率互相转化 3. 掌握直线与双曲线联立，判别式、韦达定理、弦长公式应用 4. 数形结合分析双曲线左右支交点、范围限制 5. 辨析易混易错点，规避高考高频陷阱 三．素养目标 1. 提升直观想象：双曲线数形结合分析 2. 逻辑推理：定义严谨应用、范围取舍 3. 数学运算：圆锥曲线联立化简、整体代换运算 知识点1：双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．用集合表示为．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知, 当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线； 当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． *在应用定义和标准方程解题时注意以下两点*： ①条件“”是否成立； ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 双曲线的三个定义 1.双曲线的第一定义： 2.双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.双曲线的第三定义： 设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有（焦点在y 轴上时为） 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 知识点2 ：双曲线的方程、图形及性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5.双曲线的通径 过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 6.双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点3 ：等轴双曲线共轭双曲线 1.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 它有以下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为,它们互相垂直； ③离心率 2. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和. 性质： ①它们有相同的渐近线. ②它们的四个焦点共圆. ③离心率满足. 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点4：双曲线方程的求解 1.用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 3.与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 知识点5：双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一： ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. 方法三：若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 2.双曲线的通径 过焦点做轴的垂线，交于椭圆两点，设，代入椭圆方程，，，即，所以通径. 3.重要性质 性质一： ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 性质二： ①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 3. 过焦点的三角形 4. （1）设，的周长： （2）焦半径 设为直线倾斜角 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 则,. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 证明过程：设，则 . 为焦长公式. 4.焦比公式 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 若，则,所以， 即. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 即. 题型01：双曲线的定义 【典型例题1】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案. 【解答过程】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【典型例题2】方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 【变式训练1-1】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练1-2】已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【变式训练1-3】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【变式训练1-4】设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（    ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 题型02：双曲线定义的应用（求值） 【典型例题1】已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 【典型例题2】设是双曲线上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ． 【答案】 【解析】因为双曲线为，则，由双曲线的定义得， 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 故. 【变式训练2-1】已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【变式训练2-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【变式训练2-3】若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式训练2-4】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练2-5】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【变式训练2-7】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 题型03：求双曲线标准方程 求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意： 1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程. 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为. (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (4) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. (5) 已知的双曲线方程设为. (6) 已知离心率为的双曲线方程可设为或. （1） 定义法求标准方程 【典型例题1】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案. 【解答过程】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 【变式训练2-1-1】以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-2】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-3】与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【变式训练2-1-4】已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． （2） 与椭圆双曲线共焦点的双曲线方程 【典型例题1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【典型例题2】与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 【变式训练2-2-1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【变式训练2-2-3】与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． （3） 共渐近线的双曲线方程 【典型例题】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 【变式训练2-3-1】与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 . （4） 两点法（待定系数法） 【典型例题】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式训练2-4-1】经过点的双曲线的标准方程为 ． （5） 等轴双曲线 【典型例题1】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 【变式训练2-5-1】已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5-2】已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 . 【变式训练2-5-3】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． （6） 双曲线几何性质求标准方程 【典型例题1】焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【变式训练2-6-1】焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6-2】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2-6-3】已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6-4】已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6-5】双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6-6】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6-7】双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为 ． 【变式训练2-6-8】已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 . 【变式训练2-6-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【变式训练2-6-10】某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【变式训练2-6-11】已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是___． 【变式训练2-6-12】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【变式训练2-6-13】双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【变式训练2-6-14】已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． （7） 综合求方程 【典型例题1】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【解答过程】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练2-7-1】已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-7-4】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-5】已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-6】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-7】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-8】已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-9】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． （8） 解答题 【典型例题1】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 【典型例题2】已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率； 【答案】 【分析】把点坐标代入双曲线方程得，显然直线的斜率存在，设，设，联立双曲线方程由韦达定理有，，结合，化简并整理得，由此即可进一步求解. 【详解】 将点代入双曲线方程得，化简得，， 故双曲线方程为， 由题意显然直线的斜率存在，设，设， 则联立双曲线化简并整理得：， ， 故，， ， 化简得：， 故， 即，当时，直线过点，不合题意，舍去， 故. 【变式训练2-8-1】已知双曲线为上一点，为的右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与的左支交点为，求直线的斜率. 【变式训练2-8-2】已知双曲线 的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 题型04：动点轨迹法求双曲线方程 【典型例题1】已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【典型例题2】已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ） A．x＝0 B． C． D．或x＝0 【答案】D 【分析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0 ②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有， 即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为 综上：轨迹方程为或x＝0， 故选：D 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 【典型例题4】如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【解析】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【变式训练4-1】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【变式训练4-9】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【变式训练4-10】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【变式训练4-11】已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【变式训练4-12】已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-13】设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【变式训练4-14】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【变式训练4-15】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【变式训练4-16】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 题型05：根据双曲线求参数的范围 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【典型例题1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程表示双曲线，则满足， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【典型例题2】“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【典型例题3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 【典型例题4】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C. 【典型例题5】（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 【变式训练5-1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练5-3】“”是“为双曲线方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-4】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【变式训练5-6】（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A．m的取值范围是 B．双曲线C的焦点在x轴上 C．双曲线C的焦距为6 D．双曲线C的离心率e的取值范围是 【变式训练5-7】（多选）已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线 B．当时，曲线C是离心率为的椭圆 C．曲线C可能是一个圆 D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线 【变式训练5-8】（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【变式训练5-9】（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【变式训练5-10】（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【变式训练5-11】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 【变式训练5-12】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 题型06：双曲线的渐近线 1.求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程. 2.与双曲线渐近线有关的结论 ①焦点到渐近线的距离恒为； ②顶点到渐近线的距离恒为； ③双曲线上任一点到两条渐近线的距离乘积为。 【典型例题1】双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 【典型例题2】若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 【典型例题4】已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 【典型例题5】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 【变式训练6-1】已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-9】双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式训练6-10】已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 【变式训练6-11】已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ） A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4 B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大 C．为定值 D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点 【变式训练6-12】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【变式训练6-13】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【变式训练6-14】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【变式训练6-15】已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【变式训练6-16】已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【变式训练6-17】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【变式训练6-18】已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【变式训练6-19】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【变式训练6-20】已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【变式训练6-21】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【变式训练6-22】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 题型07：双曲线的简单几何性质 【典型例题1】已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 【典型例题2】双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【详解】由双曲线方程可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：D 【典型例题3】（多选题）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 【典型例题4】若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 【变式训练7-1】已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练7-4】已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 【变式训练7-5】双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式训练7-6】双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （    ） A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴， 【变式训练7-7】已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-8】双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【变式训练7-9】若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-10】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式训练7-11】已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-12】（多选题）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【变式训练7-13】（多选题）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【变式训练7-14】（多选题）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【变式训练7-15】（多选题）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 【变式训练7-16】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【变式训练7-17】已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ． 【变式训练7-18】已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 题型08：离心率取值和取值范围 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 求离心率的常用方法有： (1) 若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解; (2) 若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解.特别地，若已知渐近线方程为，若焦点不确定，或，因此离心率有两种可能. (3) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (4) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【典型例题1】已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B．（1，2） C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴， 所以，因为是钝角三角形， 所以是钝角，即， 因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，所以，又， 所以，即，即， 解得或（舍去），所以双曲线的离心率的取值范围是，故选：D 【典型例题2】已知双曲线C：（，）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设渐近线是，记，则，所以， 设，中应用余弦定理有， 所以，即， 由于，因此上述方程的两解就是， 又，不妨记， 又，， ，， 所以，，解得或， 又，所以． 故选：C． 【典型例题3】过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．或4 D．或2 【答案】D 【解析】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，从而可得； 若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c， |OA|=a，所以△OAB的内切圆半径为， 所以，又因为|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a， 所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，则，从而可得. 综上，双曲线C的离心率为或2. 故选：D 【典型例题4】设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 【典型例题5】已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，结合题意可得为等边三角形．解法一：求出点P的坐标，代入双曲线方程，化简即可求得答案；解法二：利用双曲线定义可求得的关系，即得答案. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以在中，， 又直线的倾斜角为60°，所以，所以为等边三角形． 设． 解法一 ：由为等边三角形得点P的坐标为， 由点P在双曲线C上，可得，又， 化简可得，所以，即， 将当成一个整体，利用求根公式得，又，所以， 所以，． 解法二 ：设为C的左焦点，连接， 在中，得， 所以，又，所以， 即，所以． 故选： C 【变式训练8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练8-2】已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练8-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练8-4】双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练8-6】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练8-7】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练8-9】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于两点（在上方），满足，且.设双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-10】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练8-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练8-12】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【变式训练8-13】已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-14】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练8-15】已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-16】已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-17】已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-18】已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-19】已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-20】如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-21】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练8-22】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ． 【变式训练8-23】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【变式训练8-24】若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 【变式训练8-25】已知点在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为 ． 【变式训练8-26】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为 . 【变式训练8-27】设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 【变式训练8-28】，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【变式训练8-29】已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练8-30】已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的渐近线上，直线与轴交于点，满足且，则双曲线的离心率为 . 【变式训练8-31】设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为 ；C的渐近线方程为 ． 【变式训练8-32】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【变式训练8-33】已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________. 【变式训练8-34】已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，点是双曲线上一点，且直线，的斜率分别为，，若不等式恒成立，则双曲线的离心率为________. 【变式训练8-35】已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练8-36】已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 题型09：利用定义求最值 【典型例题1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【典型例题2】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可. 【详解】设点，由题意可得， 则，则， ∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点， 所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴. 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 【典型例题3】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果； 【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 【典型例题4】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 【变式训练9-1】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【变式训练9-3】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式训练9-4】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【变式训练9-5】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式训练9-6】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【变式训练9-7】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-8】已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-9】（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 【变式训练9-11】已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 【变式训练9-12】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 题型10：双曲线的实际应用 【典型例题1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【典型例题2】在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 【变式训练10-1】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【变式训练10-2】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练10-4】双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为 ．    【变式训练10-5】如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【变式训练10-6】、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【变式训练10-7】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-9】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式训练10-10】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练10-11】如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【变式训练10-12】江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【变式训练10-13】设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 【变式训练10-14】已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【变式训练10-15】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 一．单选题 1．已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 2．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 5.已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8.已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 10.已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 12．定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 13．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 14.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 15.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 16.过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 17.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二．多选题 1. （多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 2. （多选）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 3. （多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 4. （多选）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 5. （多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 6．（多选）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 7．（多选）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 8．（多选）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 9.已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 10.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 11.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 三．填空题 1.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 2.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 3.设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 4．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 5．与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 6．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 7.已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 8.若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 9.设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 10.已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 四．解答题 1．在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 2.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线的左右焦点分别为，直线过且与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为2，求线段的长； 3.已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 4.已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 5.已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 6.已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 8.已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $