第11章 不等式与不等式组（5大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版七年级数学下学期

该初中数学单元复习讲义以“知识点-题型-应用”为主线构建不等式与不等式组知识体系，通过表格对比呈现不等式基本性质（含符号表示与易错点），用口诀归纳不等式组解集规律，结合数轴表示方法形成从概念到解法的完整知识脉络，突出性质3（乘除负数变号）和含参问题等重难点。 讲义亮点在于分层精练设计，基础题型强调“四要素判定法”“数轴三步走”等可操作技巧，如辨析一元一次不等式时明确“一元、一次、整式、不等号”要素；培优题型通过“含参数不等式整数解求参”培养推理能力，如已知不等式组有3个整数解求参数范围；压轴题型结合新定义运算发展创新意识。每个题型配例题和变式题，支持不同层次学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第11章 不等式与不等式组 知识点1：不等式相关概念 1.不等式：用表示不等关系的式子。 2.一元一次不等式：含1个未知数、未知数次数为1、两边为整式的不等式。 3.解与解集：使不等式成立的未知数的值是解；所有解组成解集。 4.数轴表示：大于向右、小于向左；含等号画实心点，不含等号画空心圈。 知识点2：不等式的基本性质 性质 内容 符号表示 易错点 性质1 加/减同一个数/式子，不等号方向不变 无方向变化 性质2 乘/除以正数，不等号方向不变 无方向变化 性质3 乘/除以负数，不等号方向改变 必变号，高频错点 知识点3：一元一次不等式解法 1.步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.关键：去分母、系数化1时，乘除负数必须变号。 3.最简形式：或。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：含同一个未知数的多个一元一次不等式组成。 2.解集：各不等式解集的公共部分；无公共部分则无解。 3.解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 4.解法：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 知识点5：不等式（组）实际应用 1.关键词转化：至少（）、最多（）、不超过（）、不低于（）、不足（$<$）。 2.步骤：审题→设元→列不等式（组）→求解→检验合理性→作答。 【基础必考题型】 【题型1】不等式概念辨析与数轴表示 1.核心知识点: 不等式定义；一元一次不等式判定；数轴空心/实心、方向 2.解题方法技巧: 判定：一元、一次、整式、含不等号四要素齐全 数轴：定界点、定方向、定空实三步走 【例题1】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山西太原·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 【题型2】不等式基本性质应用 1.核心知识点: 三条性质；乘除负数必变号 2.解题方法技巧: 遇负系数先圈出，变形第一步先变号 口诀：乘负必变向，除负也一样 【例题2】.（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A判断正确． 对于B，∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B判断正确． 对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得 ，当时，可得 ，因此 不一定成立，C判断错误． 对于D，∵ ，且 ，可得 ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 综上，不正确的是C． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质逐一判断即可得到错误选项． 【详解】解：根据不等式的基本性质推导： ∵ ， ∴ 不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变，可得，，因此A错误，B正确； 不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，因此C正确； 不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得，因此D正确． 【变式题2-2】.（2026·山东济南·二模）实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴得：，然后根据不等式的性质，绝对值的意义，逐项判断，即可． 【详解】解：观察数轴得：， A、无法确定的大小，则与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，故本选项正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意无法确定的符号，则无法确定与的大小关系，故本选项错误，不符合题意； 【变式题2-3】.（2026·福建泉州·二模）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，一定正确. B、∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ ，一定正确. C、举反例验证，令 ，，，，满足 ， 此时 ， 可得 ，即 ，不一定正确. D、∵ ，∴ 又∵ ，同向不等式相加得 即 ，一定正确. 【题型3】一元一次不等式求解 1.核心知识点: 五步解法；负系数变号；移项变号 2.解题方法技巧: 去分母：每项同乘公分母，常数项不漏乘 移项：跨过等号要变号，不移不变号 【例题3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）不等式的解是______． 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， . 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解不等式 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）解不等式：． 【答案】． 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 【题型4】一元一次不等式整数解 1.核心知识点: 解集中的整数；边界开闭影响整数解 2.解题方法技巧: 先求精确解集，再圈定整数范围 端点值单独验：空心不含、实心含 【例题4】.（25-26七年级下·上海·期中）不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2 【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）不等式的负整数解是______． 【答案】 【详解】解：不等式的负整数解为大于的负整数，符合条件的只有 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解有 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）不等式的非负整数解是________． 【答案】0，1，2，3，4，5，6，7 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再根据非负整数的定义找出所有符合条件的解即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 非负整数是大于等于0的整数，因此满足的非负整数为0，1，2，3，4，5，6，7． 【题型5】一元一次不等式组求解 1.核心知识点: 分别求解；找公共部分；数轴规范表示 2.解题方法技巧: 分开解，集中判，数轴画一画，答案准无误 每个解都要化为最简形式 【例题5】.（25-26八年级下·四川成都·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得： ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示出来，如图： 【变式题5-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上； （2）先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，再表示在数轴上． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴ 不等式组的解集为 ， 在数轴上表示如下： 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】，解集见解析 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： 【培优高频题型】 【题型6】含参数不等式解集求参 1.核心知识点: 由解集反求参数范围；变号定系数正负 2.解题方法技巧: 解集方向定系数正负，负系数必变号 端点等号单独检验，不重不漏 【例题6】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 不等式组的解集为 ； 不等式组有且只有3个整数解， 3个整数解为，可得：， 不等式两边同乘得：， 移项得：， 系数化为得：． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】先分别求解原不等式组中两个不等式得到各自解集， （1）根据已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； （2）根据不等式组无解的条件， 得到关于的一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得 解不等式 ，得 已知不等式组的解集为， 因此 解得； （2）解：若不等式组无解，可得 解得． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，关键在于先分别解出两个不等式，再根据解集的不同情况（给定解集、无解、整数解个数、有解）反推参数的取值或范围．先解出不等式组的解集为，再结合不同条件逐一分析参数的取值，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解： 解不等式①，得： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 解不等式②，得： 移项，得， 系数化为，得， 因此不等式组的解集为； ①若解集为，则， 解得，故①正确； ②当时，， 此时不等式组为，不存在满足条件的，不等式组无解，故②正确； ③若不等式组的整数解仅有个，因为，所以整数解为， 因此可得， 不等式三边同乘，得， 三边同加，得，与给出的不符，故③错误； ④若不等式组有解，则需满足， 解得，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故答案为①②④． 【题型7】不等式组有解/无解/整数解求参 1.核心知识点: 有解：有公共部分；无解：无公共部分；整数解计数 2.解题方法技巧: 画数轴定范围，参数夹在两数之间 临界值：能取等画实心，不能取画空心 【例题7】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 【变式题7-1】.（2026·河南郑州·模拟预测）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解 ，再根据不等式组无解即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ∵关于的不等式组无解， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有个整数解，确定出所有整数解，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有且只有个整数解， 不等式组的个整数解为. ， 解得. 【题型8】方程与不等式（组）综合 1.核心知识点: 方程组解满足不等关系；先解再列不等式 2.解题方法技巧: 整体加减消元，直接得、，简化计算 解为非负/负数，分别列不等式联立 【例题8】.（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①②得，即，根据，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）解二元一次方程组得出，根据x，y都是负数，列出不等式组，求不等式组的解集，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①②得，所以， 因为，所以，解得； （2）解：， 解得， 因为x，y都是负数， 所以， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）关于、的方程组，且、满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】两方程作差可得，再结合得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 【答案】(1)2 (2) (3)3 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用、由二元一次方程组的解的符号求参数范围、绝对值的化简，解题的关键是先解方程组，用参数的代数式表示、，再结合条件列方程或不等式求解； （1）先解方程组，用含的代数式表示、，再代入列方程求的值； （2）先解方程组，再根据，列不等式组，求解的取值范围； （3）解题核心是根据（2）中得到的的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号化简． 【详解】（1）解： ， 得， 解得， 把代入①得， 方程组的解为， 把代入得， 解得； （2）该方程组的解满足为正数，为负数， ，解得； （3）， ． 【题型9】一元一次不等式实际应用 1.核心知识点: 实际问题→不等式模型；关键词列不等关系 2.解题方法技巧: 抓“至少、最多、不低于”等词，直接列 结果必为整数，检验合理性 【例题9】.（2026·河南周口·二模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）开幕式于4月11日晚在常州奥体中心举办，舞台融合科技光影与江苏十三座城市的文化元素，十三面屏幕凌空展示联赛字样，开幕式及相关话题热度居高不下． 素材一 某体育用品店为“接住”这波流量，对所销售的足球进行打折销售． 素材二 该体育用品店A款，B款足球的进价分别为每个30元，每个45元，售价分别为每个40元，每个65元．该体育用品店在3月份购进A款，B款两种足球共80个，进货共用了3150元． (1)求3月份该体育用品店购进A款，B款足球各多少个； (2)该店4月份购进A款足球60个，B款足球40个，若全部售完后的利润不低于元，则最多打几折？（不考虑其他支出） 【答案】(1)3月份该体育用品店购进A款足球30个，B款足球50个 (2)最多打九六折 【分析】（1）设3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个，根据题意列出方程并求解即可； （2）设打折，根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个． （2）解：设打折， 根据题意，可得：， 解得， 答：最多打九六折． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人. (2)至少购买了甲树苗80棵. 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【答案】(1)甲种书柜单价元，乙种书柜单价元 (2)个 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价x元，乙种书柜单价y元， ， 解得 ， 答：甲种书柜单价元，乙种书柜单价元； （2）解：设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜（）个， ， ． 答：最多可以购买甲种书柜个． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 【答案】(1)胜12场 (2)4个 【分析】（1）设该班胜x场，则负y场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小整数解，即可． 【详解】（1）解：设该班胜x场，则负y场， 由题意得． 解得 答：该班胜12场 （2）解：设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个 由题意得 解得 的最小值是4． 答：该班这场比赛中至少投中4个3分球 【题型10】不等式组方案设计问题 1.核心知识点: 不等式组→整数解即方案数；费用最值 2.解题方法技巧: 先求范围，整数解个数=方案数 求最优：算各方案费用，比大小定最省 【例题10】.（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【答案】(1)无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元 (2)； (3)当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算 【分析】（1）设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元，根据“购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元；购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元”，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方案，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元， 由题意，得：， 解得． 答：无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元． （2）解：选择方案一购买，共需元； 选择方案二购买，共需元． （3）解：由题意，得， 解得：， 又因为，且为整数，所以（为整数）． 答：当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】(1)最多可以游22次 (2)当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 【分析】（1）设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据游泳的总预算为1000元列不等式解答即可； （2）分，及三种情况，求出m的取值范围或m的值，进而即可根据游泳的次数选择出省钱的收费方式． 【详解】（1）解：设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为22． 答：小铭用会员卡支付最多可以游22次． （2）解：会员卡支付的表达式为（，为正整数）； 按次支付的表达式为（，为正整数）； 分三种情况比较： ①当时，， 解得， 因为m为正整数，所以当时，会员卡支付更合算； ②当时，， 解得：， m为正整数，因此不存在两种方式费用相等的次数； ③当时，， 解得：， 因为m为正整数，所以当时，按次支付更合算． 所以，当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 【压轴素养题型】 【题型11】新定义运算与不等式 1.核心知识点: 新运算规则→转化为常规不等式 2.解题方法技巧: 照定义代换，严格按规则列不等式 注意定义中的限制条件（分母不为0等） 【例题11】.（25-26八年级下·山东济南·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】(1)；3 (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 【变式题11-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题： (1)若点，，，则这三点的“矩面积”＝______； (2)若点，，，这三点的“矩面积”为24，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或 【分析】对于（1），因为要计算三点的“矩面积”，所以先根据定义求出“水平底”，即三点横坐标差的最大值，再求出“铅垂高”，即三点纵坐标差的最大值，最后利用公式计算． 对于（2），首先确定三点的“水平底”，因为、的横坐标固定，所以先计算这两点横坐标差的最大值，得到的值；然后因为“矩面积”为24，结合可求出“铅垂高”的值；接着分情况讨论的取值范围，根据“铅垂高”是任意两点纵坐标差的最大值，列出关于的方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：根据定义：求“水平底”： 三点横坐标为，横坐标最大值为，最小值为， 因此 ； 求“铅垂高”：三点纵坐标为，纵坐标最大值为，最小值为， 因此 ； 矩面积． （2）解：三点横坐标为，横坐标最大值为，最小值为， 因此水平底，固定不变． 已知矩面积， 由得：， 即纵坐标差的最大值为． 已知、的纵坐标为和， 当时，纵坐标最大值为，最小值为， 因此 ， 解得； 当时，纵坐标最大值为，最小值为， 因此 ， 解得； 若，纵坐标差的最大值为， 不符合题意． 综上，点的坐标为或． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算：． 例：． (1)计算：___________； (2)若，求的值； (3)若，则的正整数解为___________． 【答案】(1)2 (2) (3)1或2 【分析】（1）根据题意，直接计算即可； （2）根据题意，得出方程，求解即可； （3）根据题意，得出不等式，解出，由正整数解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意； （2）解：∵， 则， 解得； （3）解：∵， 若， 则， ∴得， ∴的正整数解为或． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)（满足解是1的一元一次方程均可） (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集和三个方程的解，再根据“子方程”的定义逐一判断即可； （2）求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，则可确定“子方程”的解，据此可得答案； （3）求出不等式组的解集和方程的解，再根据“子方程”的定义建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴只有方程是不等式组的“子方程”； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴该“子方程”的解是， ∴该“子方程”可以为； （3）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， ∵方程，是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 【题型12】含参不等式组整数解与最值综合 1.核心知识点: 整数解个数→参数区间；代数式最值 2.解题方法技巧: 数轴标整数点，定参数上下界 最值：结合参数范围，求整式最大/最小值 【例题12】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 【变式题12-2】.（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【变式题12-3】.（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)； (4) 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用距离公式列方程求解即可； （3）分为，和去绝对值求解即可； （4），和，去绝对值求解即可. 本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性. 【详解】（1）数轴上表示与两点之间的距离是, 数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为, 故答案为: ，； （2）解：， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，，解得全部满足， 故整数为； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 当时，，无解， 故x的值为； 故答案为：；； （4）当时，； 当时，；； 当时，； 故最小值为． 易错点 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向。 2.去分母时，漏乘常数项。 3.数轴表示空心、实心混淆。 4.含参问题忘记检验端点等号。 5.实际问题未检验整数与合理性。 重点 1.不等式的三条基本性质，特别是性质3。 2.一元一次不等式（组）的解法与数轴表示。 3.一元一次不等式（组）的实际应用。 4.含参数不等式（组）的解集与参数范围。 难点 1.含参数不等式（组）有解、无解、整数解问题。 2.方程、不等式、函数思想综合运用。 3.复杂实际问题不等关系提炼与方案优化。 4.新定义、探究题规则转化与严谨推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由不等式可得：， 在数轴上表示为 2．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解，可得，，结合题目条件，可得，解不等式求解即可． 【详解】解：的解都能使的一元一次不等式成立， ，即， 解得，， 的解都满足， ， ， ， ， ． 3．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用加减消元法先解出方程组的解，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①②得， 解得． 把代入①得， 解得． 将， 代入得， 整理得， 解得：． 二、填空题 4．若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 5．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 【答案】21 【分析】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【详解】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 6．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 三、解答题 7．已知关于的不等式． (1)求这个不等式的正整数解； (2)将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)三个整数解，0，1， 【分析】（1）解不等式得到，即可得到答案； （2）解不等式组得，得，根据不等式组只有3个整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：解不等式， ， ， 这个不等式的正整数解为1； （2）解：解不等式组， 得， 不等式组只有3个整数解， 这三个整数解为，0，1， 此时a的取值范围为． 8．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 任务： (1)上述过程中，第一步的依据是 ，第___步出现错误，具体错误是 ； (2)该不等式的解集应为______． 【答案】(1)不等式的性质；四；不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变 (2) 【分析】（1）第一步两边同时乘以正数20，是根据不等式的性质进行变形；结合一元一次不等式的解法逐步判断即可； （2）纠正错误后，得出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式的性质； 第四步出现错误，具体错误是：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 9．国家非常重视学校体育工作，坚持“健康第一”的教育理念，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校响应号召，计划举行阳光体育活动，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是48，且购买的总费用不能超过240元；则最多可以购买多少根跳绳？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元 (2)最多可以购买24根跳绳 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，然后根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买m根跳绳，则购买个毽子，然后根据（1）中所求的结果和“购买的总费用不能超过240元”列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元， 依题意得：，解得． 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元． （2）解：设购买m根跳绳，则购买个毽子， 依题意得：， 解得． 所以最多可以购买24根跳绳． 10．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是12元 (2)该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个，根据题意列出不等式组，求出m的范围，确定方案． 【详解】（1）设每个“自然风景”冰箱贴的进价是元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个． 根据题意，得 解得． 为正整数， 的取值为，，． 当时，； 当时，； 当时，． 答：该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 不等式与不等式组 知识点1：不等式相关概念 1.不等式：用表示不等关系的式子。 2.一元一次不等式：含1个未知数、未知数次数为1、两边为整式的不等式。 3.解与解集：使不等式成立的未知数的值是解；所有解组成解集。 4.数轴表示：大于向右、小于向左；含等号画实心点，不含等号画空心圈。 知识点2：不等式的基本性质 性质 内容 符号表示 易错点 性质1 加/减同一个数/式子，不等号方向不变 无方向变化 性质2 乘/除以正数，不等号方向不变 无方向变化 性质3 乘/除以负数，不等号方向改变 必变号，高频错点 知识点3：一元一次不等式解法 1.步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.关键：去分母、系数化1时，乘除负数必须变号。 3.最简形式：或。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：含同一个未知数的多个一元一次不等式组成。 2.解集：各不等式解集的公共部分；无公共部分则无解。 3.解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 4.解法：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 知识点5：不等式（组）实际应用 1.关键词转化：至少（）、最多（）、不超过（）、不低于（）、不足（$<$）。 2.步骤：审题→设元→列不等式（组）→求解→检验合理性→作答。 【基础必考题型】 【题型1】不等式概念辨析与数轴表示 1.核心知识点: 不等式定义；一元一次不等式判定；数轴空心/实心、方向 2.解题方法技巧: 判定：一元、一次、整式、含不等号四要素齐全 数轴：定界点、定方向、定空实三步走 【例题1】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山西太原·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【题型2】不等式基本性质应用 1.核心知识点: 三条性质；乘除负数必变号 2.解题方法技巧: 遇负系数先圈出，变形第一步先变号 口诀：乘负必变向，除负也一样 【例题2】.（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题2-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·山东济南·二模）实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·福建泉州·二模）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3】一元一次不等式求解 1.核心知识点: 五步解法；负系数变号；移项变号 2.解题方法技巧: 去分母：每项同乘公分母，常数项不漏乘 移项：跨过等号要变号，不移不变号 【例题3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）不等式的解是______． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解不等式 (1)； (2) 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）解不等式：． 【题型4】一元一次不等式整数解 1.核心知识点: 解集中的整数；边界开闭影响整数解 2.解题方法技巧: 先求精确解集，再圈定整数范围 端点值单独验：空心不含、实心含 【例题4】.（25-26七年级下·上海·期中）不等式的非负整数解为______． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）不等式的负整数解是______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）不等式的非负整数解是________． 【题型5】一元一次不等式组求解 1.核心知识点: 分别求解；找公共部分；数轴规范表示 2.解题方法技巧: 分开解，集中判，数轴画一画，答案准无误 每个解都要化为最简形式 【例题5】.（25-26八年级下·四川成都·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【培优高频题型】 【题型6】含参数不等式解集求参 1.核心知识点: 由解集反求参数范围；变号定系数正负 2.解题方法技巧: 解集方向定系数正负，负系数必变号 端点等号单独检验，不重不漏 【例题6】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知不等式组的解集为，则的值为______． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 【题型7】不等式组有解/无解/整数解求参 1.核心知识点: 有解：有公共部分；无解：无公共部分；整数解计数 2.解题方法技巧: 画数轴定范围，参数夹在两数之间 临界值：能取等画实心，不能取画空心 【例题7】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026·河南郑州·模拟预测）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 【题型8】方程与不等式（组）综合 1.核心知识点: 方程组解满足不等关系；先解再列不等式 2.解题方法技巧: 整体加减消元，直接得、，简化计算 解为非负/负数，分别列不等式联立 【例题8】.（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）关于、的方程组，且、满足，求的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 【题型9】一元一次不等式实际应用 1.核心知识点: 实际问题→不等式模型；关键词列不等关系 2.解题方法技巧: 抓“至少、最多、不低于”等词，直接列 结果必为整数，检验合理性 【例题9】.（2026·河南周口·二模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）开幕式于4月11日晚在常州奥体中心举办，舞台融合科技光影与江苏十三座城市的文化元素，十三面屏幕凌空展示联赛字样，开幕式及相关话题热度居高不下． 素材一 某体育用品店为“接住”这波流量，对所销售的足球进行打折销售． 素材二 该体育用品店A款，B款足球的进价分别为每个30元，每个45元，售价分别为每个40元，每个65元．该体育用品店在3月份购进A款，B款两种足球共80个，进货共用了3150元． (1)求3月份该体育用品店购进A款，B款足球各多少个； (2)该店4月份购进A款足球60个，B款足球40个，若全部售完后的利润不低于元，则最多打几折？（不考虑其他支出） 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 【题型10】不等式组方案设计问题 1.核心知识点: 不等式组→整数解即方案数；费用最值 2.解题方法技巧: 先求范围，整数解个数=方案数 求最优：算各方案费用，比大小定最省 【例题10】.（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【变式题10-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【压轴素养题型】 【题型11】新定义运算与不等式 1.核心知识点: 新运算规则→转化为常规不等式 2.解题方法技巧: 照定义代换，严格按规则列不等式 注意定义中的限制条件（分母不为0等） 【例题11】.（25-26八年级下·山东济南·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【变式题11-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题： (1)若点，，，则这三点的“矩面积”＝______； (2)若点，，，这三点的“矩面积”为24，求点F的坐标． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算：． 例：． (1)计算：___________； (2)若，求的值； (3)若，则的正整数解为___________． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【题型12】含参不等式组整数解与最值综合 1.核心知识点: 整数解个数→参数区间；代数式最值 2.解题方法技巧: 数轴标整数点，定参数上下界 最值：结合参数范围，求整式最大/最小值 【例题12】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【变式题12-2】.（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式题12-3】.（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 易错点 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向。 2.去分母时，漏乘常数项。 3.数轴表示空心、实心混淆。 4.含参问题忘记检验端点等号。 5.实际问题未检验整数与合理性。 重点 1.不等式的三条基本性质，特别是性质3。 2.一元一次不等式（组）的解法与数轴表示。 3.一元一次不等式（组）的实际应用。 4.含参数不等式（组）的解集与参数范围。 难点 1.含参数不等式（组）有解、无解、整数解问题。 2.方程、不等式、函数思想综合运用。 3.复杂实际问题不等关系提炼与方案优化。 4.新定义、探究题规则转化与严谨推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，，则的取值范围是_____． 5．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 6．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 三、解答题 7．已知关于的不等式． (1)求这个不等式的正整数解； (2)将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 8．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 任务： (1)上述过程中，第一步的依据是 ，第___步出现错误，具体错误是 ； (2)该不等式的解集应为______． 9．国家非常重视学校体育工作，坚持“健康第一”的教育理念，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校响应号召，计划举行阳光体育活动，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是48，且购买的总费用不能超过240元；则最多可以购买多少根跳绳？ 10．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $