专题11.2 一元一次不等式（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理概念（三要素）、解法五步（去分母、去括号等）、解集数轴表示（空心/实心及方向）、实际应用（建模步骤），构建从定义到解法再到应用的完整学习支架。 资料以分层题型（基础、培优、压轴）设计为特色，含实际情境应用题（如购物、行程）和新定义与几何综合题，培养抽象能力、模型意识和推理意识，课中辅助教学层次分明，课后助力学生查漏补缺。

专题11.2 一元一次不等式 知识点1：一元一次不等式的概念 1.定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.判定三要素 只含1个未知数； 未知数最高次数为1； 不等号两边均为整式。 3.标准形式：、、、。 知识点2：一元一次不等式的解法（五步） 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 两边同乘各分母最小公倍数 不等式性质2、3 不漏乘无分母项；分子是多项式要加括号 去括号 先小→中→大括号；负因数变号 分配律、去括号法则 括号外为负，括号内每项变号 移项 含未知数项移一边，常数项移另一边 不等式性质1 移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母指数不变 合并同类项法则 系数计算准确 系数化为1 两边除以未知数系数 不等式性质2、3 除以负数，不等号必变号 知识点3：不等式的解集与数轴表示 1.解：使不等式成立的未知数的值。 2.解集：一个不等式所有解的集合。 3.数轴表示规则 解集符号 边界点类型 数轴图示（预留） 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 知识点4：一元一次不等式的实际应用 1.建模步骤：审题→抓关键词→设未知数→列不等式→解不等式→检验并作答。 2.关键词与不等号对应 关键词 不等号 至少、不低于、不少于 ≥ 至多、不超过、不大于 ≤ 超过、大于 > 不足、小于 < 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式的识别判断 1.核心知识点 一元一次不等式三要素；区分整式与分式、一次与高次。 2.解题方法技巧 一看未知数个数，二看次数，三看两边是否为整式；不含未知数、含多个未知数、次数≠1、分母含未知数均排除。 【例题1】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）关于x的不等式是一元一次不等式，则该不等式的解集为______． 【题型2】按步骤解一元一次不等式（无分母） 1.核心知识点 移项变号；合并同类项；系数化为1（正数不变号）。 2.解题方法技巧 移项“过桥变号”；系数为正直接除，不等号方向不变。 【例题2】.（2026·吉林·一模）不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·贵州遵义·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·浙江丽水·一模）解不等式：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）解不等式： (1) (2) 【题型3】解含分母的一元一次不等式 1.核心知识点 去分母不漏乘；括号负号变号；系数为负变号。 2.解题方法技巧 去分母同乘最小公倍数；分子加括号；最后一步看清系数正负。 【例题3】.（2026·陕西渭南·一模）解不等式：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·北京顺义·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式：． 【题型4】解集在数轴上的表示 1.核心知识点 空心/实心判断；方向判断。 2.解题方法技巧 口诀：有等实心，无等空心；大于向右，小于向左。 【例题4】.（2026·湖北孝感·一模）将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·陕西榆林·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型5】求不等式的特殊解（整数/非负/负整数解） 1.核心知识点 先求解集，再在解集中筛选符合条件的数。 2.解题方法技巧 解出解集→画数轴→圈出符合条件的数→按要求写出答案。 【例题5】.（25-26七年级下·上海·期中）求不等式的负整数解． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·海南海口·期中）不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）求不等式的负整数解． 【变式题5-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并求出最大的整数解． 【培优高频题型】 【题型6】含参数不等式（由解集反求参数范围） 1.核心知识点 不等式性质3（变号判定系数正负）。 2.解题方法技巧 解集方向改变→系数<0；方向不变→系数>0；列不等式求参数范围。 【例题6】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）关于的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）关于的不等式的解集都是不等式的解，求的取值范围． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·湖南郴州·期中）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【题型7】方程（组）与不等式综合求参 1.核心知识点 解方程得解→代入不等式→解不等式求范围。 2.解题方法技巧 先解方程（组），把解当作已知数代入不等式，转化为普通不等式求解。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数m的取值范围． (2)在（1）的条件下，化简． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·四川绵阳·期中）关于的二元一次方程组． (1)若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值： (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式题7-3】.（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【题型8】生活情境基础应用题（购物/行程/积分） 1.核心知识点 关键词转化；“至少”“不超过”列不等式。 2.解题方法技巧 找总量限制；“不亏本”即收入≥成本；“不迟到”即时间≤规定时间。 【例题8】.（25-26七年级下·四川内江·期中）某超市在“五一”期间，计划将内江黑猪肉中的精品五花肉作为惠民商品，同时带动普通后腿肉的销售．经测算：购买1斤精品五花肉和2斤普通后腿肉共需47元，且精品五花肉的单价比普通后腿肉的单价高11元． (1)求普通后腿肉和精品五花肉的单价； (2)该超市计划购进两种猪肉共1000斤，且总采购费用不超过20800元．超市希望尽可能多地采购精品五花肉．问最多可购进精品五花肉多少斤？ 【变式题8-1】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）某文具店为了吸引顾客，推出两种不同的优惠方案： 方案一：每次购买可享受九折优惠， 方案二：花30元办理一张会员卡，每次购买可享受七折优惠． 小明想用不超过元的价格购买文具(单件文具价格小于），请你帮他分析选择哪种方案更省钱？ 【变式题8-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【变式题8-3】.（2026·湖南长沙·二模）“低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． (1)求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ (2)小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 【压轴素养题型】 【题型9】新定义运算与不等式结合 1.核心知识点 按定义列式→转化为常规一元一次不等式→求解。 2.解题方法技巧 严格按题目定义替换，不添加额外条件，化简后按五步解法求解。 三、培优题型（创新·素养·压轴） 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 【变式题9-1】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·月考）对于任意实数，，定义一种新运算：．例如：． (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)请根据上述定义解不等式． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【题型10】几何与不等式综合 1.核心知识点 周长/面积公式+不等关系列不等式。 2.解题方法技巧 用几何公式表示边长/面积→根据限制条件列不等式→求解并检验合理性。 【例题10】.（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【变式题10-1】.（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 易错点 1、系数化为1时，除以负数忘记变号（最常错）。 2、去分母漏乘不含分母的常数项。 3、数轴表示混淆空心与实心（有等号实心，无等号空心）。 4、移项不变号，与方程移项规则混淆。 5、实际问题中未取整数解（人数、件数必须为正整数）。 6、关键词用错不等号：“至少”写成<，“不超过”写成>。 重点 1、一元一次不等式的定义判定。 2、五步规范解法，尤其去分母与系数化为1。 3、解集的数轴表示。 4、关键词列不等式解决实际应用题。 5、不等式性质3的正确使用。 难点 1、含参数不等式：由解集反推参数范围。 2、方程与不等式综合题的转化思路。 3、分段计费与方案选择的分类讨论。 4、实际问题中解集的合理性检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 5．用不等式表示：“4减去的倍的差是一个非负数”_______． 6．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 三、解答题 7．解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 8．求不等式的最小整数解． 9．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 10．为配合城建部门改善当地河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)填空：______，______； (2)若治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，则该公司有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 一元一次不等式 知识点1：一元一次不等式的概念 1.定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.判定三要素 只含1个未知数； 未知数最高次数为1； 不等号两边均为整式。 3.标准形式：、、、。 知识点2：一元一次不等式的解法（五步） 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 两边同乘各分母最小公倍数 不等式性质2、3 不漏乘无分母项；分子是多项式要加括号 去括号 先小→中→大括号；负因数变号 分配律、去括号法则 括号外为负，括号内每项变号 移项 含未知数项移一边，常数项移另一边 不等式性质1 移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母指数不变 合并同类项法则 系数计算准确 系数化为1 两边除以未知数系数 不等式性质2、3 除以负数，不等号必变号 知识点3：不等式的解集与数轴表示 1.解：使不等式成立的未知数的值。 2.解集：一个不等式所有解的集合。 3.数轴表示规则 解集符号 边界点类型 数轴图示（预留） 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 知识点4：一元一次不等式的实际应用 1.建模步骤：审题→抓关键词→设未知数→列不等式→解不等式→检验并作答。 2.关键词与不等号对应 关键词 不等号 至少、不低于、不少于 ≥ 至多、不超过、不大于 ≤ 超过、大于 > 不足、小于 < 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式的识别判断 1.核心知识点 一元一次不等式三要素；区分整式与分式、一次与高次。 2.解题方法技巧 一看未知数个数，二看次数，三看两边是否为整式；不含未知数、含多个未知数、次数≠1、分母含未知数均排除。 【例题1】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，一元一次不等式需满足：是不等式，只含有一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解：A选项是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； B选项不含未知数，不符合要求； C选项是整式，不是不等式，不符合要求； D选项是不等式，只含一个未知数，的次数为，左右两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：选项A中，里未知数的最高次数为2，不符合一元一次不等式的定义，该项错误． 选项B中，是等式，不是不等式，不符合要求，该项错误． 选项C中，含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，该项错误． 选项D中，是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义，该项正确． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）关于x的不等式是一元一次不等式，则该不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义求出的值，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴， ∴， 解得． 【题型2】按步骤解一元一次不等式（无分母） 1.核心知识点 移项变号；合并同类项；系数化为1（正数不变号）。 2.解题方法技巧 移项“过桥变号”；系数为正直接除，不等号方向不变。 【例题2】.（2026·吉林·一模）不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质移项计算即可得到解集． 【详解】解：由题意得， 解得． 【变式题2-1】.（2026·贵州遵义·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤计算即可得到解集． 【详解】解： 移项得 解得 【变式题2-2】.（2026·浙江丽水·一模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可，注意不等式两边同时除以一个负数时不等式要变号． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【题型3】解含分母的一元一次不等式 1.核心知识点 去分母不漏乘；括号负号变号；系数为负变号。 2.解题方法技巧 去分母同乘最小公倍数；分子加括号；最后一步看清系数正负。 【例题3】.（2026·陕西渭南·一模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·北京顺义·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解：， ， ， ， ． 在数轴上表示如图所示： 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 不等式两边同乘6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解题． 【详解】解： ． 【题型4】解集在数轴上的表示 1.核心知识点 空心/实心判断；方向判断。 2.解题方法技巧 口诀：有等实心，无等空心；大于向右，小于向左。 【例题4】.（2026·湖北孝感·一模）将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式得：， 在数轴上表示为 【变式题4-1】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为： 【变式题4-3】.（2026·陕西榆林·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，并将其解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示为： 【题型5】求不等式的特殊解（整数/非负/负整数解） 1.核心知识点 先求解集，再在解集中筛选符合条件的数。 2.解题方法技巧 解出解集→画数轴→圈出符合条件的数→按要求写出答案。 【例题5】.（25-26七年级下·上海·期中）求不等式的负整数解． 【答案】 【分析】先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为1，得； 所以，不等式的负整数解为． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·海南海口·期中）不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 ∵小于的正整数只有 ∴不等式的正整数解共有个 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）求不等式的负整数解． 【答案】，， 【分析】按照去分母、去括号、移项及合并同类项、系数化为求解不等式即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为得：， 该不等式的负整数解为，． 【变式题5-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并求出最大的整数解． 【答案】 不等式的解集为，最大的整数解为 【分析】通过去分母，去括号，未知数的系数化为1，求解，进而求得整数解． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 解得：， ∴最大整数解为． 【培优高频题型】 【题型6】含参数不等式（由解集反求参数范围） 1.核心知识点 不等式性质3（变号判定系数正负）。 2.解题方法技巧 解集方向改变→系数<0；方向不变→系数>0；列不等式求参数范围。 【例题6】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）关于的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后根据整数解的情况即可求得m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为4、5， 则， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）关于的不等式的解集都是不等式的解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系即可求出的取值范围． 【详解】解：将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知，， 解得． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】该题考查了一元一次不等式，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变．由解集可知，除以后不等号方向改变，故． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴不等号方向改变， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·湖南郴州·期中）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集，求参数的范围，根据不等式的解集，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【题型7】方程（组）与不等式综合求参 1.核心知识点 解方程得解→代入不等式→解不等式求范围。 2.解题方法技巧 先解方程（组），把解当作已知数代入不等式，转化为普通不等式求解。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数m的取值范围． (2)在（1）的条件下，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把①和②相加，整理后根据列出关于的不等式求解即可； （2）根据（1）中所得，化简绝对值即可计算． 【详解】（1）解：， 由①②，可得， ∴， ∵， ∴，解得； （2）解：∵， ∴ ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程相加整理得到关于的表达式，再结合已知条件列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 得，即， 由方程组的解满足， 可得， 解得． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·四川绵阳·期中）关于的二元一次方程组． (1)若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值： (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得二元一次方程组的解，再将方程组的解代入方程中并解方程即可求解； （2）将（1）中方程组的解代入中解不等式即可求解． 【详解】（1）解：解方程组，得 ， 代入中，得， 解得：； （2）解：将代入，得 ， 解得：. 【变式题7-3】.（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【答案】A 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 【题型8】生活情境基础应用题（购物/行程/积分） 1.核心知识点 关键词转化；“至少”“不超过”列不等式。 2.解题方法技巧 找总量限制；“不亏本”即收入≥成本；“不迟到”即时间≤规定时间。 【例题8】.（25-26七年级下·四川内江·期中）某超市在“五一”期间，计划将内江黑猪肉中的精品五花肉作为惠民商品，同时带动普通后腿肉的销售．经测算：购买1斤精品五花肉和2斤普通后腿肉共需47元，且精品五花肉的单价比普通后腿肉的单价高11元． (1)求普通后腿肉和精品五花肉的单价； (2)该超市计划购进两种猪肉共1000斤，且总采购费用不超过20800元．超市希望尽可能多地采购精品五花肉．问最多可购进精品五花肉多少斤？ 【答案】(1)普通后腿肉单价12元/斤，精品五花肉单价23元/斤 (2)最多可购进精品五花肉800斤 【分析】（1）设普通后腿肉单价为x元/斤，精品五花肉单价为元/斤，根据题意列出方程求解； （2）设购进精品五花肉a斤，则购进普通后腿肉斤，根据题意列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设普通后腿肉单价为x元/斤，精品五花肉单价为元/斤， 依题意得： 解得： ∴ 答：普通后腿肉单价12元/斤，精品五花肉单价23元/斤； （2）解：设购进精品五花肉a斤，则购进普通后腿肉斤， 根据题意得， 解得： 答：最多可购进精品五花肉800斤． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）某文具店为了吸引顾客，推出两种不同的优惠方案： 方案一：每次购买可享受九折优惠， 方案二：花30元办理一张会员卡，每次购买可享受七折优惠． 小明想用不超过元的价格购买文具(单件文具价格小于），请你帮他分析选择哪种方案更省钱？ 【答案】当购买文具原价元时，方案一更省钱；当购买文具原价等于150元时，两种方案花费相同； 【分析】分别用代数式表示两种方案的费用，根据题意列出方程和不等式，即可求解． 【详解】解：设小明购买文具的原价为元，， 方案一：， 方案二： 当时，解得： 当时，解得： 当时，解得： ∴当购买文具原价元时，方案一更省钱；当购买文具原价等于150元时，两种方案花费相同． 【变式题8-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意得： ， 解得： ， 答：摩托车的速度至少为才能保证张老师按时参加会议． 【变式题8-3】.（2026·湖南长沙·二模）“低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． (1)求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ (2)小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 【答案】(1)乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分 (2)当月最多选12次方式一出行 【分析】（1）设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分，根据题意列出方程组求解即可； （2）设选方式一出行次，则选方式二出行次，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分， 由题意得， 解得， 答：乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分； （2）解：设选方式一出行次，则选方式二出行次， 由题意得， 解得， 为非负整数， 最大可取12， 答：小湘当月最多选12次方式一出行． 【压轴素养题型】 【题型9】新定义运算与不等式结合 1.核心知识点 按定义列式→转化为常规一元一次不等式→求解。 2.解题方法技巧 严格按题目定义替换，不添加额外条件，化简后按五步解法求解。 三、培优题型（创新·素养·压轴） 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 【答案】1和2 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键． 根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解． 【详解】解：由定义，， 因此． 不等式为， 移项得， 解得． 所以不等式的正整数解为和． 故答案为：和． 【变式题9-1】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了自定义运算、不等式求解和最值判断，掌握根据定义化简表达式，结合条件筛选整数解是解题的关键． 先根据定义分别化简和，再列出不等式求解，最后结合负整数条件确定的值． 【详解】解：由题意， ， ． ∴． 化简得： ∵为负整数， ∴． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·月考）对于任意实数，，定义一种新运算：．例如：． (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义分别计算出和的值，然后比较大小即可． （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， ， ∴ （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】（）将给定的新运算表达式代入定义式，转化为常规的不等式，再通过去括号、合并同类项化简不等式，求解不等式后，找出大于解集的最小整数，得到不等式的最小整数解； （）先根据新定义运算，依次计算出的表达式，再将其代入给定的不等式，化简后解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义：， 将展开:代入不等式,得:, 化简计算: 即： 解得： ∵大于的最小整数为， 即不等式的最小整数解是； （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得：, 即的取值范围（或）． 【题型10】几何与不等式综合 1.核心知识点 周长/面积公式+不等关系列不等式。 2.解题方法技巧 用几何公式表示边长/面积→根据限制条件列不等式→求解并检验合理性。 【例题10】.（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可． 【详解】解：设生态园宽为x米， ， ∵要利用一面20米长的墙为一边， ∴， ∴， 此时长为， 答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米． 【变式题10-1】.（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①②6 (2)13 【分析】（1）①根据长方形和正方形的纸板比为，即可列式求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）设能做个无盖长方体纸盒，根据题意列一元一次不等式，再验证是否满足要求即可． 【详解】（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有块，正方形纸板有块， ∴， ∴； ②当时， 依题意得：， 解得：， ∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． ∴（个）， 答：最多能做6个无盖长方体纸盒； （2）解：设能做个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板块，正方形纸板块， ∴按图1方法裁剪张，按图2方法裁剪张， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为13， 检验，当时，需要小长方形纸板块，正方形纸板块， 取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件， 答：最多能做13个无盖长方体纸盒． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 易错点 1、系数化为1时，除以负数忘记变号（最常错）。 2、去分母漏乘不含分母的常数项。 3、数轴表示混淆空心与实心（有等号实心，无等号空心）。 4、移项不变号，与方程移项规则混淆。 5、实际问题中未取整数解（人数、件数必须为正整数）。 6、关键词用错不等号：“至少”写成<，“不超过”写成>。 重点 1、一元一次不等式的定义判定。 2、五步规范解法，尤其去分母与系数化为1。 3、解集的数轴表示。 4、关键词列不等式解决实际应用题。 5、不等式性质3的正确使用。 难点 1、含参数不等式：由解集反推参数范围。 2、方程与不等式综合题的转化思路。 3、分段计费与方案选择的分类讨论。 4、实际问题中解集的合理性检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示解集如图： 2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由第一个不等式的解集确定，且，化简第二个不等式可得，结合可得． 【详解】解：， ∴， ∵解集为， ∴，且， ∴， ， ∴， 移项并合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 3．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，求得选项中的不等式的解集为即为所求． 【详解】解：观察数轴得：不等式的解集为， A、，解得：，故A选项不符合题意； B、，解得：，故B选项符合题意； C、，解得：，故C选项不符合题意； D、，解得：，故D选项不符合题意； 二、填空题 4．已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 5．用不等式表示：“4减去的倍的差是一个非负数”_______． 【答案】 【分析】先表示出的倍，再表示出4减去该式的差，根据非负数为大于或等于0的数，即可列出不等式． 【详解】解：由题意可得： ． 6．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】首先根据不等式的解集是求出，且，然后代入求解． 【详解】解： 移项得， ∵关于的不等式的解集是， ∴，且 ∴ ∴，且 ∴ 解得． 三、解答题 7．解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：， 由可得：， 解得， 将代入②可得：， 解得， ∴方程组的解为． 8．求不等式的最小整数解． 【答案】 【分析】先按照一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再根据解集确定最小整数解即可． 【详解】解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的最小整数解为． 9．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 10．为配合城建部门改善当地河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)填空：______，______； (2)若治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，则该公司有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)11；9 (2)该公司有以下三种方案：方案一：A型设备0台，B型设备10台；方案二：A型设备1台，B型设备9台；方案三：A型设备2台，B型设备8台； (3)选方案二：购买A型设备1台，B型设备9台，最省钱． 【分析】（1）购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元，可列方程组求解； （2）设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，进而得出不等式，解不等式确定a的值，即可确定方案； （3）利用每月要求处理污水量不低于2040吨，可列不等式求解，再由a的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台， 由题意，得 ， 解得， ∴． ∵a为整数， ∴或1或2， ∴该公司有以下三种方案： 方案一：A型设备0台，B型设备10台； 方案二：A型设备1台，B型设备9台； 方案三：A型设备2台，B型设备8台． （3）解：由题意，得 ， 解得， ∴或． 当时，买设备所需资金为（万元）； 当时，买设备所需资金为（万元）． ∵ ， ∴选方案二：购买A型设备1台，B型设备9台，最省钱． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $