第11章 不等式与不等式组 单元复习（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学讲义通过表格对比不等式性质、口诀归纳解集规律及错题警示构建不等式与不等式组知识体系，覆盖概念、解法、实际应用等内容，清晰呈现重难点如含参数问题与性质应用的内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，从基础数轴表示到培优方案决策，如“含参数不等式组整数解求参”题型培养推理意识，“方案设计”题渗透模型思想。“乘负必变向”等技巧助力突破易错点，帮助不同层次学生提升，支持教师精准教学。

第11章 不等式与不等式组 知识点1：不等式相关概念 1.不等式：用不等号（>、<、、、）表示大小关系的式子。 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为1、两边为整式的不等式。 3.解与解集：使不等式成立的未知数的值是解；所有解组成解集。 4.解集数轴表示：大于向右、小于向左；含等号画实心点，不含等号画空心圈。 知识点2：不等式的3条基本性质 性质 内容 符号表示 易错警示 性质1 加/减同一个数/式子，不等号方向不变 无方向变化 性质2 乘/除以正数，不等号方向不变 无方向变化 性质3 乘/除以负数，不等号方向改变 必变号，高频错点 知识点3：一元一次不等式解法 1.步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.关键：去分母、系数化1时，乘除负数必须变号。 3.标准形式：或。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：含同一个未知数的多个一元一次不等式组成。 2.解集：各不等式解集的公共部分；无公共部分则无解。 3.解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 4.解法：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 知识点5：不等式（组）实际应用 1.关键词转化：至少（）、最多（）、不超过（）、不低于（）、不足（<）。 2.步骤：审题→设元→找不等关系→列不等式（组）→求解→检验合理性→作答。 【易错题型】 【题型1】不等式性质误用 1.易错点总结 乘除负数时，忘记改变不等号方向。 去分母时，漏乘常数项且不变号。 混淆性质2与性质3，盲目判断变形对错。 2.纠错技巧 遇负系数，先圈出，变形时先写变号。 口诀：乘负必变向，除负也一样。 去分母：每项同乘公分母，常数项不漏乘。 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【详解】解：对于A选项，∵不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故A变形错误； 对于B选项，∵不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B变形正确； 对于C选项，当或时，不成立，故C变形错误； 对于D选项，举反例：若，，满足，但，故D变形错误． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）若，则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项是否一定成立，找出不一定成立的选项即可. 【详解】A. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，A不符合题意； B. ∵ ，取，，满足，此时，，即，不满足；取，时，满足，且，因此不一定成立，B符合题意； C. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，C不符合题意； D. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴ ，一定成立，D不符合题意. 综上，答案选B. 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）若，则______0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，观察给出的图片可得，得到，结合选项即可求解． 【详解】解：观察给出的图片可得，由可得，A选项符合． 【基础题型】 【题型2】不等式概念辨析与解集表示 1.核心考点 一元一次不等式判定：一元、一次、整式、含不等号。 解集数轴表示：空心/实心、方向。 2.解题技巧 判断：只看形式，不含分母未知数、次数为1、一个未知数。 数轴：定界点、定方向、定空实三步走。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为１的不等式，列出关于的方程，进而求解． 【详解】解：根据题意可得，解得． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意； 选项B．是等式，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故C符合题意； 选项D．中不是整式，不符合定义，故D不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图表示的不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】解：空心，不包含；划线向右，大于，所以不等式的解集是：． 【变式题2-3】.（2026·河北廊坊·一模）某奶茶店制作了一款饮品，保存温度要求为“大于且不大于”，则这款饮品保存温度要求在数轴上表示（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向右画，小于向左画，有等号画实心原点，无等号画空心圆圈，进行判断即可． 【详解】解：大于即，不大于即，在数轴上表示如C选项所示． 【题型3】一元一次不等式求解 1.核心考点 规范五步解法；负系数变号。 2.解题技巧 移项要变号，去分母勿忘常数项。 系数为负，先变号再计算。 【例题3】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再对比选项选出符合要求的答案即可． 【详解】解： ， 移项得 ， ∴ ； 对比选项： A选项：，满足不等式要求，故A选项符合题意； B选项：，不满足不等式要求，故B选项不符合题意； C选项：，不满足不等式要求，故C选项不符合题意； D选项：，不满足不等式要求，故D选项不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： 【变式题3-2】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 解得 ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【题型4】一元一次不等式整数解 1.核心考点 解集中的整数；边界开闭对整数解的影响。 2.解题技巧 先求精确解集，再圈定整数范围。 端点值单独验，空心不含、实心含。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·北京·期中）请写出一个关于的不等式的正整数解_____． 【答案】 1（答案不唯一，也可填2） 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为，得 因此不等式的正整数解为和． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的所有正整数解之和为___________． 【答案】10 【分析】先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵为正整数 的取值为 ， 所有正整数解之和为 ． 【题型5】一元一次不等式组求解 1.核心考点 分别求解；找公共部分；数轴规范表示。 2.解题技巧 分开解，集中判，数轴画一画，答案准无误。 每个解都要最简形式。 【例题5】.（2026·江苏苏州·一模）解不等式组 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）解下列各题： (1)解不等式： (2)解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】(1) (2)，画图见解析 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下图所示： 【变式题5-2】.（2026·广东揭阳·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 在数轴上表示为： 【提升题型】 【题型6】不等式组整数解与最值 1.核心考点 整数解计数；最大/最小整数解。 2.解题技巧 数轴标出整数点，边界单独验。 求最值：找最左/最右符合条件整数。 【例题6】.（25-26九年级下·河南洛阳·期中）不等式组的最小正整数解是________． 【答案】1 【分析】先分别解两个不等式，求出不等式组的解集，再找出解集中的最小正整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 。 该不等式组的解集为， ∴该不等式组的解集中的正整数为，， 因此最小正整数解是． 【变式题6-1】.（2026·广东汕头·一模）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为：，，0，1 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，找出解集的公共部分确定出不等式组解集，然后在解集中找出整数即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1． 【变式题6-2】.（2026·四川绵阳·二模）关于的不等式组的最小整数解是5，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据最小整数解为得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的最小整数解是5，大于2， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组的最小整数解为， 所以. 所以. 【变式题6-3】.（25-26九年级下·河南郑州·月考）不等式组的最大整数解是________． 【答案】 2 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的最大整数即可． 【详解】解：由，移项得， 由，移项，系数化为得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解是． 【题型7】含参数不等式（组）解集问题 1.核心考点 由解集反求参数范围；变号条件判断系数符号。 2.解题技巧 解集方向定系数正负，负系数必变号。 端点等号单独检验，不重不漏。 【例题7】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于x的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的a的值：_________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据不等式组的解集可知，据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ， ∴符合条件的a的值为：1． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【答案】B 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 【变式题7-2】.（25-26九年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到它们的解集，再根据不等式组有解的条件，确定两个解集的公共部分存在时的取值范围． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组有解， ， 解得． 【培优题型】 【题型8】含参数不等式组整数解求参 1.核心考点 整数解个数→参数区间；临界值取舍。 2.解题技巧 画数轴定整数范围，参数夹在两数之间。 临界：能取等画实心，不能取画空心。 【例题8】.（25-26八年级下·江西九江·期中）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】正整数解为 意味着 满足不等式，但 不满足不等式． 【详解】解：移项得： ， 不等式的正整数解是 ， 一定是不等式的解，而不是不等式的解， 将 代入 得， ， 解得：； 不是不等式的解， 解得：， ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，即可得到，然后求出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知关于的不等式组恰好有3个整数解， (1)求这3个整数解； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解的应用，关键是根据整数解个数得出关于的不等式组，尤其注意不等式两边能否取等号． 先求出不等式组的解，根据恰好有3个整数解，列出有关的不等式组即可求解． 【详解】（1）解：由， 解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴根据， 则3个整数解依次为：． （2）解：由（1）中不等式组的解为，且恰好有3个整数解， ∴， 解得：， 即的取值范围是：． 【题型9】不等式与方程组综合 1.核心考点 方程组解满足不等关系；先解再列不等式。 2.解题技巧 整体加减消元，直接得、，简化计算。 解为非负/负数，分别列不等式联立。 【例题9】.（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． （2）解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 【题型10】不等式（组）方案设计与最优决策 1.核心考点 实际问题→不等式组模型；方案数与费用最值。 2.解题技巧 抓“不超过、至少、不低于”列不等关系。 求最优：算各方案费用，比大小定最优。 【例题10】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【答案】(1)甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； (2)共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【分析】（1）设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元，根据购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元建立方程组求解即可； （2）设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台，根据用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； （2）解：设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为8或9或10， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·安徽安庆·期中）阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元 (2)共有种购买方案：方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型 (3)方案三最省钱，最低购买费用是3800元 【分析】（1）设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元，利用的购买价格的购买价格总价列出二元一次方程组，运算求解即可； （2）设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型，利用的购买价格的购买价格，型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的列出不等式组，运算求解即可； （3）分别计算方案的总费用，再对比即可． 【详解】（1）解：设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元； （2）解：设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型， 根据题意得： 解得：， 又∵为正整数， ，或， 则共有种购买方案， 方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型； （3）选择方案一所需费用为：（元）， 选择方案二所需费用为：（元）， 选择方案三所需费用为：（元）， ∵， ∴方案三最省钱，即购买个型号战机模型，个型号战机模型最省钱， 最低购买费用是元． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 乘除负数，不等号不变号。 去分母漏乘常数项。 数轴表示空心实心混淆。 含参问题忘记验端点等号。 实际问题未检验整数与合理性。 2.本章重难点 重点：不等式性质、一元一次不等式（组）解法、实际应用。 难点：含参数不等式（组）、整数解求参、方案设计最优解。 3.解题通用步骤 解不等式：去分母→去括号→移项→合并→系数化1（负变号）。 解不等式组：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 应用题：找关键词→列不等式（组）→求解→验合理性→作答。 4.高分必备技巧 负系数先圈出，变形第一步先变号。 含参画数轴，整数解标点位，参数定区间。 方案问题：先求范围，整数解即方案数，再算费用最值。 5.素养提升关键 模型思想：把实际问题转化为不等式（组）。 数形结合：用数轴直观理解解集与参数范围。 严谨推理：每一步变形有据可依，不跳步、不疏漏。 同步练习 一、单选题 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心． 【详解】解：移项、合并同类项，得 化系数为1，得， 将解集表示在数轴上如图： 3．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据不等式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：选项A. ∵，不等式两边同时减去3，不等号方向不变，可得，∴A错误； 选项B. ∵，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，可得，∴B错误； 选项C. ∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，∴C正确； 选项D. 当，时，满足，但，∴D不一定成立，错误． 故选：C． 二、填空题 4．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据非负数的定义列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解: 依题意得 ， 移项得 ， 系数化为，不等号方向改变，得， 即x的取值范围是． 5．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式：_______________． 【答案】 【详解】解：由题意得：． 6．已知关于的不等式组有且仅有个整数解． （1）的取值范围是_________； （2）若关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值的和为_____． 【答案】 12 【分析】（1）解不等式组，可得，，根据题意可得，即可得的取值范围； （2）根据题意可知整数可以取，，，分别计算对应的的值，可得的取值，即可求解． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得． ∵关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得． （2）解：由（1）知，则整数可以取，，． 由关于的一元一次方程， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值的和为． 三、解答题 7．解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；图见解析 【分析】按照解一元一次不等式的解法解不等式，再在数轴上表示即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 将该不等式的解集表示在数轴上如图所示： 8．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1)过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据题意得到关于的一元一次不等式，求解即可； （2）先求出方程组的解，根据题意得到关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）由（2）可知，，从而判断出和的符号，结合绝对值的意义进行化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵是非负数， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵为非正数、为非负数， ∴， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴，， ∴． 9．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 【答案】(1)A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元 (2)最多能买5个B型杏花钥匙扣 【分析】（1）设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元； （2）解：设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个， ∴， 解得， ∴最大为． 答：最多能买5个B型杏花钥匙扣． 10．对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义运算列关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据新定义列关于k的不等式，至少有2个正整数解时，不等式的解至少包含正整数1和2，进而列关于p的不等式，即可求解； （3）根据等式恒成立整理得到m和n的关系式，用到的性质为等式恒成立时对应项系数必为0． 【详解】（1）解：，， 解得； （2）解：由（1）得， ， 解不等式，得：， 关于k的不等式至少有2个正整数解， ， ； （3）解：， ， ， 整理得， 对任意数x、y都成立， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 不等式与不等式组 知识点1：不等式相关概念 1.不等式：用不等号（>、<、、、）表示大小关系的式子。 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为1、两边为整式的不等式。 3.解与解集：使不等式成立的未知数的值是解；所有解组成解集。 4.解集数轴表示：大于向右、小于向左；含等号画实心点，不含等号画空心圈。 知识点2：不等式的3条基本性质 性质 内容 符号表示 易错警示 性质1 加/减同一个数/式子，不等号方向不变 无方向变化 性质2 乘/除以正数，不等号方向不变 无方向变化 性质3 乘/除以负数，不等号方向改变 必变号，高频错点 知识点3：一元一次不等式解法 1.步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.关键：去分母、系数化1时，乘除负数必须变号。 3.标准形式：或。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：含同一个未知数的多个一元一次不等式组成。 2.解集：各不等式解集的公共部分；无公共部分则无解。 3.解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 4.解法：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 知识点5：不等式（组）实际应用 1.关键词转化：至少（）、最多（）、不超过（）、不低于（）、不足（<）。 2.步骤：审题→设元→找不等关系→列不等式（组）→求解→检验合理性→作答。 【易错题型】 【题型1】不等式性质误用 1.易错点总结 乘除负数时，忘记改变不等号方向。 去分母时，漏乘常数项且不变号。 混淆性质2与性质3，盲目判断变形对错。 2.纠错技巧 遇负系数，先圈出，变形时先写变号。 口诀：乘负必变向，除负也一样。 去分母：每项同乘公分母，常数项不漏乘。 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）若，则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）若，则______0． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【基础题型】 【题型2】不等式概念辨析与解集表示 1.核心考点 一元一次不等式判定：一元、一次、整式、含不等号。 解集数轴表示：空心/实心、方向。 2.解题技巧 判断：只看形式，不含分母未知数、次数为1、一个未知数。 数轴：定界点、定方向、定空实三步走。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 【变式题2-1】.（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图表示的不等式的解集是_____． 【变式题2-3】.（2026·河北廊坊·一模）某奶茶店制作了一款饮品，保存温度要求为“大于且不大于”，则这款饮品保存温度要求在数轴上表示（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【题型3】一元一次不等式求解 1.核心考点 规范五步解法；负系数变号。 2.解题技巧 移项要变号，去分母勿忘常数项。 系数为负，先变号再计算。 【例题3】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式： (1)． (2)． 【题型4】一元一次不等式整数解 1.核心考点 解集中的整数；边界开闭对整数解的影响。 2.解题技巧 先求精确解集，再圈定整数范围。 端点值单独验，空心不含、实心含。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·北京·期中）请写出一个关于的不等式的正整数解_____． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的所有正整数解之和为___________． 【题型5】一元一次不等式组求解 1.核心考点 分别求解；找公共部分；数轴规范表示。 2.解题技巧 分开解，集中判，数轴画一画，答案准无误。 每个解都要最简形式。 【例题5】.（2026·江苏苏州·一模）解不等式组 【变式题5-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）解下列各题： (1)解不等式： (2)解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【变式题5-2】.（2026·广东揭阳·一模）解不等式组：． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型6】不等式组整数解与最值 1.核心考点 整数解计数；最大/最小整数解。 2.解题技巧 数轴标出整数点，边界单独验。 求最值：找最左/最右符合条件整数。 【例题6】.（25-26九年级下·河南洛阳·期中）不等式组的最小正整数解是________． 【变式题6-1】.（2026·广东汕头·一模）解不等式组：，并写出它的整数解． 【变式题6-2】.（2026·四川绵阳·二模）关于的不等式组的最小整数解是5，则的取值范围是___________． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·河南郑州·月考）不等式组的最大整数解是________． 【题型7】含参数不等式（组）解集问题 1.核心考点 由解集反求参数范围；变号条件判断系数符号。 2.解题技巧 解集方向定系数正负，负系数必变号。 端点等号单独检验，不重不漏。 【例题7】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于x的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的a的值：_________． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【变式题7-2】.（25-26九年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【培优题型】 【题型8】含参数不等式组整数解求参 1.核心考点 整数解个数→参数区间；临界值取舍。 2.解题技巧 画数轴定整数范围，参数夹在两数之间。 临界：能取等画实心，不能取画空心。 【例题8】.（25-26八年级下·江西九江·期中）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是______． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是_______． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知关于的不等式组恰好有3个整数解， (1)求这3个整数解； (2)求的取值范围． 【题型9】不等式与方程组综合 1.核心考点 方程组解满足不等关系；先解再列不等式。 2.解题技巧 整体加减消元，直接得、，简化计算。 解为非负/负数，分别列不等式联立。 【例题9】.（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【题型10】不等式（组）方案设计与最优决策 1.核心考点 实际问题→不等式组模型；方案数与费用最值。 2.解题技巧 抓“不超过、至少、不低于”列不等关系。 求最优：算各方案费用，比大小定最优。 【例题10】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【变式题10-2】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·安徽安庆·期中）阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 【易错重难点总结】 1.核心易错点 乘除负数，不等号不变号。 去分母漏乘常数项。 数轴表示空心实心混淆。 含参问题忘记验端点等号。 实际问题未检验整数与合理性。 2.本章重难点 重点：不等式性质、一元一次不等式（组）解法、实际应用。 难点：含参数不等式（组）、整数解求参、方案设计最优解。 3.解题通用步骤 解不等式：去分母→去括号→移项→合并→系数化1（负变号）。 解不等式组：分别解→数轴表示→找公共部分→写解集。 应用题：找关键词→列不等式（组）→求解→验合理性→作答。 4.高分必备技巧 负系数先圈出，变形第一步先变号。 含参画数轴，整数解标点位，参数定区间。 方案问题：先求范围，整数解即方案数，再算费用最值。 5.素养提升关键 模型思想：把实际问题转化为不等式（组）。 数形结合：用数轴直观理解解集与参数范围。 严谨推理：每一步变形有据可依，不跳步、不疏漏。 同步练习 一、单选题 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 5．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式：_______________． 6．已知关于的不等式组有且仅有个整数解． （1）的取值范围是_________； （2）若关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值的和为_____． 三、解答题 7．解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 8．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 9．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 10．对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 学科网（北京）股份有限公司 $