精品解析：辽宁营口开发区第二高级中学2026届高三下学期高考模拟考试数学试卷

高 三 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， ． 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断即可. 【详解】由得，等价于，解得， 要满足题干条件，应判断选项集合是否为题干解集的真子集， 因为是的真子集， 所以使“”成立的一个充分不必要条件是“”， 故选：B. 4. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【详解】设公差为，则，解得. 故选：B 5. 函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，，所以，故. 令，，则，， 所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合. 6. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 7. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 8. 如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体， 所以，设， 在中，，，， 在，，， 故圆柱的表面积为， 解得. 故． 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由得进而判断，对于B，由得，又得，即，由得，进而得，令即可判断，对于C，证明即可判断，对于D，先求，由结合即可求解，进而判断. 【详解】对于A：由可得， 则有，故函数是偶函数，故A正确； 对于B：由是偶函数，，即关于对称，故， 又，代入得，即，等式两边求导得：①， 由等式两边同时求导得：②， 由①和②可得：，令得，故B错误； 对于C：由有，即③，又由有④， 由③和④可得：，即，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，又由，令得， 又，则，， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共计 15 分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】左右同时平方，利用及二倍角公式即可得答案. 【详解】因为，左右同时平方得：， 所以，则， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题. 13. 已知，若，且，则m的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】把x凑成 的形式，再用二项式定理展开，通过对应系数相等建立方程求解 【详解】因为 ，所以，利用二项式定理展开得， 即， 又因为，对应系数要相等，则 又因为且，即，解得. 14. 设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． （1）证明：； （2）求D到平面MOB的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【小问1详解】 连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. 【小问2详解】 由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件列方程求可得结论； （2）分析相切条件并建立参数关系，再利用三角形面积公式得到关于的方程，进而求解参数的值. 【小问1详解】 由短轴长，得. 由，得，解得. 所以的方程为 【小问2详解】 联立，得， 整理得. 由题意知，，则，化简得. 设，由根与系数的关系可知， ，即， 所以， 所以直线的方程为， 令，得，令，得. 的面积， 整理得，解得， 故. 18. 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. （1）求随机变量的分布列； （2）设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【答案】（1）分布列见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列. （2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出. 【小问1详解】 根据题意，的可能取值为. 即二次抽卡均抽到普通卡片，， 即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，， 即二次抽卡均抽到稀有卡片，， 所以的分布列为 4 5 6 【小问2详解】（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件， 则， . . （ⅱ）由（ⅰ）及，得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 19. 已知，且直线与曲线相切． （1）求； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义列出方程组求解出函数； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导判断函数单调性进而求出最值.先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围. （3）先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围.接着要证有唯一解，转化为证有唯一解，设，同样求导，由导数单调性和零点存在定理找到零点.再通过函数单调性得出，最后算出最小值为，说明有唯一零点，即方程有唯一解. 【小问1详解】 设直线与曲线的切点为， ，所以． 所以即 【小问2详解】 由得 则在上恒成立． 所以 令 所以 法一：利用得出从而在上是增函数． 法二：，则是增函数． 所以 所以在上是增函数． 所以，所以． 【小问3详解】 因为 所以，即在上单调递增． 又 由零点存在定理，时，有，即 因此 所以在上递减，在上递增 所以 所以 要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解． 设 则所以在上递增． 所以由零点存在定理，时，使，即 所以 又因为 设，则所以在上递增． 所以且，而在上递减，上递增． 所以 即函数有唯一零点，故方程有唯一实数解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 三 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 7. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共计 15 分. 12. 已知，则______. 13. 已知，若，且，则m的值为________. 14. 设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． （1）证明：； （2）求D到平面MOB的距离． 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 18. 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. （1）求随机变量的分布列； （2）设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 19. 已知，且直线与曲线相切． （1）求； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $