一次函数提升：一次函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，以面积计算、特殊三角形/四边形存在性为核心，通过区域期中真题构建递进式训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的面积问题|例3+变式3|结合坐标轴交点、图形割补求面积，含动点面积关系|从坐标求面积到面积关系反求坐标，体现代数表达与几何直观结合| |一次函数中的特殊三角形存在性问题|例3+变式3|等腰、直角三角形存在性，涉及折叠、旋转变换|以函数为背景，运用勾股定理、轴对称性质，培养推理能力| |一次函数中的特殊四边形存在性问题|例3+变式3|平行四边形、矩形、菱形存在性，含动态点坐标探究|综合函数性质与四边形判定，发展应用意识与模型观念|

一次函数提升：一次函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 一次函数提升：一次函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 例2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 例3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)设的面积为，且，求的取值范围． 变式1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线与相交于点，交y轴于点，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的表达式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 变式2．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 变式3．（25-26八年级下·四川乐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴） (1)求的值； (2)求一次函数的解析式； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 例2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 例3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 变式2．（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为． (1)求证：； (2)求所在直线的函数关系式； (3)在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 一次函数中的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为5． (1)求直线的解析式； (2)如图1，设点为线段中点，在轴上点的上方取一点，以为边向右侧作等腰，其中，当点落在直线上时，求点的坐标； (3)如图2，若为线段上一点，直线交轴于点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． (1)求的值； (2)点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； (3)如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数提升：一次函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 一次函数提升：一次函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将分别代入求出坐标； （2）先求得的坐标，根据面积相等得到的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式； （3）先求出直线，然后设，则，，再分类讨论，根据列方程求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则， 解得：， ； 令，则， ； （2）解：∵点的纵坐标为， 把代入，则 得， ∴， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数表达式为． （3）解：∵， ∴设直线 则 解得 ∴直线， 设 ∵轴， ∴，， 如图1： ∵ ∴ 解得， ∴； 如图2： ∵ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)C点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合，涉及到面积求解以及待定系数法求解析式，解题的关键是设点坐标，并表示的面积，得到方程． （1）将点代入一次函数，求解即可； （2）先求得点的坐标，设C点为，表示出的面积，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一次函数的图象上， ∴解得， 则一次函数解析式为； （2）解：由（1）可知， 当时，由得， 即B点坐标为， ∵C是x轴上一点， ∴可设C点为，则 则， 解得或， ∴C点坐标为或． 例3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)设的面积为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形性质得，利用勾股定理计算长度，即可得长； （2）过点作于点，于点，根据角平分线定理及求出的长，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）在轴上截取，连接，证明，求出点的坐标，用表示，即可求的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ． 为等腰三角形，， ． 在中，． （2）解：如图1， 过点作于点，于点， 平分， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则 将点的坐标，点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，则，解得， 点的坐标为． （3）解：如图2，在轴上截取，连接， 是由旋转得到的， ． ， ，， 由（2）得，， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为． ， ， ， ， 解得． 变式1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线与相交于点，交y轴于点，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的表达式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为； (2)或． 【分析】（1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵交y轴于点， ∴设，， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据图象可知时，的图象在的图象的下方，且的图象在x轴的上方得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵， ∴． 设， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 变式3．（25-26八年级下·四川乐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴） (1)求的值； (2)求一次函数的解析式； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1)1 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点D的坐标求出的长，进而求出的长，据此得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（1）（2）所求，求出点B和点E的坐标，则可求出，进而求出，再分两种情况：点P在x轴上和点P在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把点A的坐标代入得，解得； （2）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴，， 当时，解得，此时， ∴， ∴， ∴； 当点P在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 例2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或或或 【分析】（1）由含 30 度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解； （2）分两种情况讨论，时，时，由三角形的面积关系可求点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，根据含 30 度角的直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ． （2）解：根据题意分两种情况讨论： ①时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； ②时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； 综上所述：点的坐标为或． （3）解：如图，当时，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴点在轴上， ∴点； 如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或， 综上所述：点的坐标或或或． 例3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 变式1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； （3）解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 变式2．（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为． (1)求证：； (2)求所在直线的函数关系式； (3)在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据，，可得，然后利用可证明； （2）求出点的坐标，然后设出函数关系，代入求出所在直线的函数解析式； （3）若以为直角边，点为直角顶点，求出直线与直线的交点即为点的坐标；若以为直角边，点为直角顶点，过点作，求出与直线的交点，即为． 【详解】（1）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， 点坐标为， ， 点横坐标为， 点坐标为， 设所在直线的函数关系式为， ， 解得：， 所在直线的解析式为； （3）解：存在． 若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使， 点为直线与直线的交点， 由题意得，， 解得：， ； 若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使， 则过点作，交直线于点， 由（1）和（2）得： ， ， ∴直线的解析式为， 由题意得，， 解得：， ； 点坐标分别为或． 变式3．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 考点三 一次函数中的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点F的坐标为； (3)符合条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∵点D是线段的中点， ∴； （2）解：如图，当点在点上方时， ∵，， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F， 设， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式可设为， 当时，， ∴， 设， ∴ ①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴， 故符合条件的点的坐标为或或． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的解集为 (3)符合条件的点或 (4)存在，或，求解过程见解析 【分析】（1）先将代入，得出，进而求得，，根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出解集即可； （3）根据，，得出，分两种情况讨论，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，，分三种情况讨论，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）由题意可得出当时，满足. 故x的解集为； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴，      ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （4）解：存在，或 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴，解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴ 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：为矩形的边时；为矩形的对角线时． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； （3）解：当为矩形的边时，如图，过点M作，交直线于点，过点O作于点N， 过点N作交于点P，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， 即点N为的中点， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点； 当为矩形的对角线时，过点M作轴于点P，过点M作轴于点N， ∵， ∴轴， ∵过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴点； 综上所述，点N的坐标为或或． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为5． (1)求直线的解析式； (2)如图1，设点为线段中点，在轴上点的上方取一点，以为边向右侧作等腰，其中，当点落在直线上时，求点的坐标； (3)如图2，若为线段上一点，直线交轴于点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点D，且点的坐标为或 或 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点，结合点坐标即可求出直线表达式； （2）先求点坐标，添加辅助线，即过作轴，分别过作，，结合图象，设出点坐标，利用三角形全等证明，即可得到对应线段相等，然后求出答案即可； （3）设出点的坐标，表示出直线的表达式，利用，求出直线表达式，利用表达式设点，的坐标，分类讨论平行四边形的不同情况，然后利用中点公式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点为线段中点，，， ∴， 如图1所示，设， 过作轴，分别过作，，如图， 则， 设点的坐标为，则， ∴，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴； （3）解：在轴上是存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设， 设直线的表达式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， 整理可得， 解得：（舍）或， 当时，直线的解析式为， 设当点，点时，得以点为顶点的四边形为平行四边形， ①如图2，当为对角线时，如图， ∵点，点， ∴线段的中点为，即， 点，点， ∴线段的中点为， ∵平行四边形的对角线交于一点， ∴，解得：， ∴点的坐标为； ②如图3，当为平行四边形的一边且点在点C的右边时，如图， 同理可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 如图4，当为平行四边形的一边且点在点C的左边时，如图， 可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，在x轴上存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，且点的坐标为或 或. 变式2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． (1)求的值； (2)点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； (3)如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)的最小值为； (3)的横坐标为或或或． 【分析】（1）先求出一次函数的图象与轴、轴的坐标，结合题意求出、，再代入一次函数即可求解； （2）先根据一次函数、与坐标轴的交点，设点，分别求出，，根据即可求出点坐标，再作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、，当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值，∴推出点与点重合，点与点重合，点与点重合，然后根据垂直平分线性质与平行的性质，推出轴，即可求出点、坐标，证明为等腰直角三角形，即可求出坐标，的最小值即可求解； （3）先根据题意，求所在直线的解析式：上，设，分别求出，分类讨论：情况一：，情况二：，情况三：，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，，当时，，即、， ∴， ∵， ∴，即， ∵在一次函数上， ∴，解得：，即， ∵、在一次函数上， ∴，解得：， ∴在一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即， ∵由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点为线段上一点，即点在一次函数上， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即， 如图，作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、， ∵点关于一次函数的对称点， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵由（1）得一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵点在一次函数上， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：设一次函数与一次函数平行，且经过点， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴点在上，设， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，进行分类讨论： 情况一：如图，， ∴， ∴，解得：， 情况二：如图，， ∴， ∴， 解得：，； 情况三：如图，， ∴， ∴， 解得：，(舍)； 综上，的横坐标为或或或． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $