专题02 一次函数中的面积问题与存在性问题（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，以五大问题类型系统整合面积计算、特殊图形存在性等中考高频考点，体现数形结合与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|6题|含单三角形、多三角形面积关系及动点面积|基于一次函数解析式求交点坐标，结合割补法、坐标法转化面积关系| |与四边形|7题|涉及正方形、平行四边形性质及动态四边形|以一次函数为背景，融合四边形边长、周长、面积计算与判定| |等腰三角形存在性|6题|含单动点、多动点构成等腰三角形|利用两点间距离公式，分类讨论腰长相等情况| |直角三角形存在性|5题|涉及直角顶点不确定的分类讨论|结合勾股定理及斜率关系判定直角，体现推理能力| |平行四边形存在性|7题|含定点与动点构成平行四边形|运用平行四边形对边平行且相等性质，建立坐标关系模型|

专题02 一次函数中的面积问题与存在性质问题 类型一：一次函数中的面积问题 类型二：一次函数与四边形 类型三：一次函数中存在等腰三角形问题 类型四：一次函数中存在直角三角形问题 类型五：一次函数中存在平行四边形问题 类型一：一次函数中的面积问题 1．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）求A点坐标； （2）在x轴上是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣2，0）； （2）D（﹣4，0）或（0，0）； 【解答】解：（1）∵y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x＝0时，y＝2×0+4＝4，则B（0，4）， 当y＝0时，0＝2x+4，x＝﹣2，则A（﹣2，0）； （2）存在． 由（1）知，OA＝2，OB＝4， ∵点C是OB的中点， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， ∴BC＝2， ∴S△ABCCB×AO＝2， 设D（m，0）， 则AD＝， ∴S△ACDAD•OC|m+2|×2＝|m+2|， 当S△ACD＝S△ABC时，2＝， 解得：m＝﹣4或m＝0， ∴D（﹣4，0）或（0，0）； 2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与x轴，y轴相交于点A（6，0）和点B（0，12），与直线y＝x相交于点C． （1）求k，b的值和点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），C（4，4）； （2）存在，（8，﹣4）或（0，12）． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴y＝﹣2x+12， 联立， 解得， ∴C（4，4）； （2）存在； 由条件可知OA＝6， ∴， 设M（m，n）， 当M在x轴下方时， 由条件可知△MOA的面积等于△AOC的面积， ∴， 解得：n＝﹣4， ∵点M（m，n）在直线AB上， ∴﹣4＝﹣2m+12， 解得：m＝8， ∴M（8，﹣4）； 当M在x轴上方时， 由条件可知△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍， ∴， ∴n＝12， ∵点M（m，n）在直线AB上， ∴12＝﹣2m+12， 解得：m＝0， ∴M（0，12）； 综上所述，点M的坐标为（8，﹣4）或（0，12）． 3．如图，A（m，0），B（n，0），且m，n满足（m+2）2+|n﹣2|＝0，直线AC恰好是一次函数的图象，CB⊥x轴于B． （1）求点C的坐标，并求△ABC的周长； （2）在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（m+2）2+|n﹣2|＝0， ∴m+2＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣2，n＝2， ∴A（﹣2，0），C（2，2）， ∵CB⊥x轴， ∴AB＝4，BC＝2， ∴AC2． ∴△ABC的周长为：4+2+26+2； （2）∵AC的解析式为：yx+1， 设AC交y轴于E， 则E（0，1）， 设点P（0，p）， ∴PE＝|p﹣1|， ∴S△APC＝S△APE+S△CPEPE（xC﹣xA）|p﹣1|×4＝2|p﹣1|， 由（1）知：S△ABCAB•BC4×2＝4， ∵S△ABC＝S△ACP， ∴4＝2|p﹣1|， ∴p＝3或p＝﹣1， ∴P（0，3）或P（0，﹣1）． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：与x轴交于点A；直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点B（0，4），与直线l1交于点． （1）点A的坐标为　（﹣4，0）　 ； （2）求直线l2的表达式； （3）直线BC上是否存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣4，0）； （2）y＝﹣x+4； （3）或． 【解答】解：（1）令y＝0，则， 解得x＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． （2）设直线l2的表达式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得， ∴直线l2的表达式为y＝﹣x+4； （3）设点P（x，﹣x+4）， 当点P在射线DB上时，即点P1在处， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴； 当点P在射线DC上时，即点P2在处， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍，点P的坐标为或． 5．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y2＝mx+m（m＞0）与l1交于点E，若点E坐标为（1，n）． （1）直接写出E的坐标和m的值：E（1，4），m＝2　 ； （2）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1　 ； （3）在x轴上是否存在点P，使直线EP把△ACE分成面积之比为1：3的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）E（1，4），m＝2； （2）x＜1； （3）存在，或． 【解答】解：（1）由条件可得n＝﹣1+5＝4，即E（1，4）， 将E（1，4）代入l2：y2＝mx+m（m＞0）得4＝m+m， 解得：m＝2； 故答案为：E（1，4），m＝2； （2）由函数图象可知，当y1＞y2时，x＜1； 故答案为：x＜1； （3）当y1＝﹣x+5＝0时，x＝5，即A（5，0）； 当y2＝2x+2＝0时，x＝﹣1，即C（﹣1，0）； 设P（a，0）， 当直线EP把△ACE分成面积之比为1：3的两部分时，CP：AP＝1：3或CP：AP＝3：1， 当CP：AP＝1：3时，5﹣a＝3[a﹣（﹣1）]，解得：，； 当CP：AP＝3：1时，a﹣（﹣1）＝3（5﹣a），解得：，． 6．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2， ∴C（2，2）， 设y2＝kx+b（k≠0）， 把B（0，6），C（2，2）代入可得： ， 解得：， ∴y2＝﹣2x+6． （2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ∴； （3）存在，理由如下： ∵S△ACP＝2S△ABC＝2×8＝16， ∴S△ACP＝16， 当P在y轴上时，，即， ∴|AP|＝16， ∵A（0，﹣2）， ∴点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）， 当P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D， ∴D（1，0）， ∴， ∴， ∴|PD|＝8， ∵D（1，0）， ∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0）， 综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）或（﹣7，0）或（9，0）． 类型二：一次函数与四边形 7．如图，直线CD的函数解析式为，四边形ABOD是正方形，直线CD交x轴于点F，点D在y轴上，过点C作CE⊥DF且交x轴于点E．求证：∠ADC＝∠EDC． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：由条件可知D（0，2）， ∵四边形ABOD是正方形， ∴AB＝BO＝OD＝AD＝2， ∴B（﹣2，0）， 当x＝﹣2时，则， ∴C（﹣2，1）， ∴BC＝AC＝1， ∵四边形ABOD是正方形， ∴∠A＝∠CBF＝90°，AD∥BO， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴CF＝CD， ∵CE⊥DF， ∴CE垂直平分DF， ∴DE＝EF， ∴∠EDC＝∠EFC， ∵AD∥BF， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠EDC． 8．如图为边长是2的正方形ABCD，点P在CD上，且从点C运动到点D，设CP＝x，四边形ABPD的面积为y． （1）求y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5？ 【答案】（1）y＝4﹣x，0≤x≤2； （2）不存在．理由见解答． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2， ∴面积为2×2＝4． 在△BCP中，CP＝x，BC＝2， ∴面积为：． ∴四边形ABPD的面积y＝正方形面积﹣S△BCP， 即：y＝4﹣x． 点P从C运动到D，因此0≤x≤2． （2）不存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5， 令y＝1.5，代入函数表达式得：4﹣x＝1.5． 解得：x＝4﹣1.5＝2.5． ∵x的取值范围是0≤x≤2，而2.5＞2，超出了点P的运动范围， ∴不存在这样的点P，使四边形ABPD的面积为1.5． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，4）的直线y＝kx+6与x轴交于点B，四边形AOBC是平行四边形． （1）填空：k＝　﹣1　 ，OC＝　　 ； （2）动点P从点O出发，沿对角线OC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿对角线OC向终点O运动，运动速度都是每秒个单位长度．设两个点的运动时间为t秒，在点P，Q运动过程中，当时，求出t的值． 【答案】（1）﹣1；； （2）t＝1或t＝3． 【解答】解：（1）由条件可知4＝2k+6， 解得k＝﹣1； ∴y＝﹣x+6， 当﹣x+6＝0时，x＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AC＝OB＝6，AC∥OB， ∵点A（2，4）， ∴C（2+6，4），即C（8，4）， ∴由勾股定理得； 故答案为：﹣1；； （2）设两个点的运动时间为t秒， ∵， ∴0≤t≤4， ∴或， 解得t＝1或t＝3． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，四边形AOCB是平行四边形． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线AC所对应的函数表达式． 【答案】（1）点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4）； （2）． 【解答】解：（1）当y＝0时，，x＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0）． 当x＝0时，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． （2）由条件可知BC∥OA，BC＝OA＝3， ∴C（3，4）． 设直线AC所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）． 将A（﹣3，0），C（3，4）代入上式， 得 ∴ ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　（3，5）　 ； （2）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （3）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 【答案】（1）（3，5）； （2）k； （3）k或k＜﹣2． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴AB可由OC平移得到， ∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0）， ∴B（5﹣2，1+4）， 即B（3，5）， 故答案为：（3，5）； （2）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， 将B（3，5）代入y＝kx+b，得3k+b＝5， ∴b＝5﹣3k， ∴y＝kx+5﹣3k， ∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， ∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点， ∴5﹣3k＝0， ∴k； （3）当直线y＝kx+b经过A点时，得， 解得k， 当直线y＝kx+b经过C点时，得， 解得k＝﹣2， ∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点， ∴k或k＜﹣2． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，点B，点P在射线BA上（点P不与点A、B重合），过点P分别作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，设四边形PCOD的周长为d，点P的横坐标是m． （1）当时，求点P的坐标； （2）求d与m之间的函数关系式； （3）直接写出四边形PCOD是正方形时m的值． 【答案】（1）或； （2）当0＜m＜4时，；当m＞4时，； （3）． 【解答】解：（1）当y＝0时，，解得：x＝4， ∴A（4，0），即OA＝4， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3），即OB＝3， 在Rt△ABO中，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝5， ∵点P的横坐标是m， ∴，D（m，0）， ∵， ∴， 解得或． ∴点P的坐标是或． （2）当0＜m＜4时，； 当m＞4时，． （3）由条件可知OD＝PD，即， 解得或m＝﹣12（舍去）， 故当四边形PCOD是正方形时，m的值是． 13．如图1，直线l1：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． （1）求点C，D的坐标； （2）求四边形BACD的面积； （3）若直线l2：y＝ax﹣2a+4将四边形BACD分成面积相等的两部分，请求出a的值． 、 【答案】（1）C（6，1），D（7，4）；（2）S▱ABCD＝20；（3）a＝﹣2． 【解答】解：（1）直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴B（0，3）， 当y＝0时，3x+3＝0，解得 x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD， ∴C（6，1），D（7，4）． （2）∵线段AB平移得到线段CD， ∴AB∥CD， ∴四边形BACD是平行四边形， ∴S△BACD＝2S△ABC， 延长BC交x轴于点P， ∵B（0，3）， 设 yBC＝kx+3， 将C（6，1）代入得，， ∴， 当y＝0 时，，解得 x＝9， ∴P（9，0）， ∴AP＝9﹣（﹣1）＝10， ∴， ∴S▱BACD＝2S△ABC＝20． （3）连接AD，BC相交于点E， 设 yAD＝mx+n，将A（﹣1，0），D（7，4）代 yAD＝mx+n入 得： ，解得：， ∴， 联立方程组， 解得， ∴点E坐标为（3，2）， 将E（3，2）代入直线l：y＝ax﹣2a+4， 解得：a＝﹣2． 类型三：一次函数中存在等腰三角形问题 14．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式； （2）当S△ABP＝2时，在第一象限内找一点C，使△BCP为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】（1）yx+1；（2）（3，4）或（5，2）或（3，2）． 【解答】解：（1）直线AB：yx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，则b＝1， 直线AB的表达式为：yx+1， 点B（3，0）； （2）△ABP的面积PD×OB（n）n﹣1； ①当∠CPB＝90°时，如图1， 过点C作CF⊥DE交DE的延长线于点F， 由点PB的坐标知，直线PB的倾斜角为45°，而∠CPB＝90°， 则∠FPC＝45°，则直线BC∥EF，PB＝2，BC＝4， 点C（3，4）； ②当∠PBC＝90°时， 由①同理可得：直线PC∥x轴， 故点C（5，2）； ③当∠PCB＝90°时， 同理可得：点C（3，2）； 综上，点C的坐标为：（3，4）或（5，2）或（3，2）． 15．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得CM＝BM， ∵∠PMC＝∠DMB， ∴Rt△PMC≌Rt△DMB， ∴DB＝PC， ∴DB＝2﹣m，AD＝4﹣m， ∴点D的坐标为（﹣2，4﹣m）． （2）分二种情况 ①若AP＝AD，则4+m2＝（4﹣m）2，解得m； ②若PD＝PA 过P作PF⊥AB于点F（如图）， 则AF＝FDAD（4﹣m） 又∵OP＝AF， ∴m（4﹣m）则m． 综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或． 16．在直角坐标平面系xOy中（如图），点C（﹣1，0）在x轴上，一次函数y＝kx+2的图象经过点，与x轴和y轴分别相交于点A、B． （1）求线段AB的长； （2）求点C到直线y＝kx+2的距离； （3）如果点Q在x轴上，且使得△BCQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）2； （2）； （3）点Q的坐标为（1，0）或（，0）或（﹣1，0）或（﹣1，0）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象经过点， ∴k+2，解得k， ∴yx+2， 令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴AB2； （2）作CD⊥AB于D，连接BC， ∵A（﹣4，0），B（0，2），C（﹣1，0）， ∴AC＝3，OB＝2， ∴S△ABC3， ∴，即•CD＝3， ∴CD， ∴点C到直线y＝kx+2的距离为； （3）设点Q（x，0）， 由点B、C、Q的坐标得，CQ2＝（x+1）2，BC2＝12+22＝5，BQ2＝x2+4， 当BQ＝CB时， 则x2+4＝5， 解得：x＝±1， 即点Q（1，0）； 当BQ＝CQ时， 则（x+1）2＝x2+4， 解得：x， 即点Q（，0）， 当BC＝CQ时， 则（x+1）2＝5， 解得：x＝﹣1， 即点Q（﹣1，0）或（﹣1，0）， 综上，点Q的坐标为（1，0）或（，0）或（﹣1，0）或（﹣1，0）． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一点，若S△ABG：S△ACG＝1：2，请求点G的坐标； （3）已知D点是x轴上一点，且△ACD是等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x+6； （2）G（4，2）； （3）或或（3，0）或． 【解答】解：（1）由y＝2x+6得，A（﹣3，0），C（0，6）， ∵B（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ， ∴， ∴y＝﹣x+6； （2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）， ∴AB＝9， ∴， 设G（m，﹣m+6）（0＜m＜6）， 当S△ABG：S△ACG＝1：2时，， ∴， ∴m＝4， ∴G（4，2）； （3）若△ACD是等腰三角形可分三种情况： ①若CA＝CD， ∵CO⊥AD， ∴OD＝OA＝3， ∴点D（3，0）． ②若AD＝AC， ∵A（﹣3，0），C（0，6）， ∴， ∴， ∴点D为或． ③若DA＝DC， 设OD＝x，则DC＝DA＝OD+OA＝x+3， 在Rt△DOC中，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+3）2， 解得：， ∴点D为， 综上所述：点D的坐标为或或（3，0）或． 18．如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）． （1）当l1＞l2时，直接写出x的取值范围 x＜2　 ；直线l2的表达式为 　　 ； （2）点M是直线OC上的一点，若将△DCM沿DM折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标； （3）若点Q为x轴上一点，连接BQ，且△BDQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）x＜2，； （2）或； （3）Q的坐标为（3，0）或（6，0）或或． 【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线l1：y＝﹣3x+3上， ∴m＝﹣3×2+3＝﹣3， ∴B（2，﹣3） ∴当l1＞l2时，x的取值范围x＜2； 设直线l2的解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， ∴， ∴； 故答案为：x＜2，； （2）∵l1：y＝﹣3x+3， 当y＝0时，x＝1， ∴D（1，0）， 当点M在y轴正半轴时，如图， 设M（0，m），则OM＝m，CM＝OC﹣OM＝3﹣m， ∵C（0，3），D（1，0）， ∴， 由折叠得，， ∴， 在Rt△C′OM中，C′O2+OM2＝C′M2， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为； 当点M在y轴负半轴上时，如图， 设M（0，n），则，C′M＝CM＝3﹣n， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； ∴点M的坐标为或； （3）设Q的坐标为（a，0）， ∵D（1，0），B（2，﹣3）， ∴BD2＝（2﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10，BQ2＝（2﹣a）2+（﹣3﹣0）2＝a2﹣4a+13，QD2＝（1﹣a）2＝a2﹣2a+1； 如图， ①当BQ＝BD时，BQ2＝BD2， ∴a2﹣4a+13＝10 ∴a＝3，或a＝1（此时Q与点D重合，不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，0）， ②当QD＝QB时，QD2＝QB2， ∴a2﹣4a+13＝a2﹣2a+1 ∴a＝6， ∴点Q的坐标为（6，0）； ③DQ＝DB时，DQ2＝DB2， ∴a2﹣2a+1＝10， ∴，或， ∴点Q的坐标为（3，0）或（6，0）或或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点D（0，6）． （1）求直线CD所对应的函数表达式； （2）点P为直线CD上一动点，若S△PAC＝2S△OAB，求点P的坐标； （3）点M为线段AB上一点，点N为y轴正半轴上一点，若△MNC是以MN为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】（1）直线CD为y＝2x+6； （2）P（﹣1，4）或P（﹣5，﹣4）． （3）点M的坐标为（2，2）或（4，1）． 【解答】解：（1）由题意，设直线CD为y＝kx+b， ∵直线l与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点D（0，6）， ∴． ∴． ∴直线CD为y＝2x+6． （2）由题意，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（6，0），B（0，3）． ∴OA＝6，OB＝3． ∴S△OABOA•OB＝9． ∵点P为直线CD：y＝2x+6上一动点， ∴可设P（m，2m+6）． 又∵C（﹣3，0）， ∴AC＝6﹣（﹣3）＝9． ∴S△PACAC•|2m+6||2m+6|＝2S△OAB＝18． ∴|2m+6|＝4． ∴m＝﹣1或m＝﹣5． ∴P（﹣1，4）或P（﹣5，﹣4）． （3）设点M（n，）， ①当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F． ∴∠CEM＝∠MFN＝90°． ∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°， ∴∠ECM＝∠FMN， 又∵CM＝NM ∴△CEM≌△FMN（AAS）， ∴ME＝NF． ∴n， 解得n＝2， ∴M（2，2）． ②当∠CNM＝90°时，如图，过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F． 同理可证：△CEM≌△FMN， ∴CF＝NE，ME＝NF． 设N（0，a） ∴|n|＝|a|，|a|＝3， 解得：n＝4或0或﹣12， ∵a≥0， ∴n＝4， ∴M（4，1）． 综上所述，点M的坐标为（2，2）或（4，1）． 类型四：一次函数中存在直角三角形问题 20．如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）． （1）求直线b和直线c的解析式； （2）若P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设直线b的解析式为：y＝kx， 把（2，2）代入y＝kx得，k＝1， ∴直线b的解析式为：y＝x； 设直线c的解析式为：y＝kx+b， 把点（2，2），点（0，3）代入得，， ∴， ∴直线c的解析式为：yx+3； （2）∵当x＝t时，y＝x＝t；当x＝t时，yx+3 t+3， ∴E点坐标为（t，t+3），D点坐标为（t，t）． ∵E在D的上方， ∴DEt+3﹣t t+3，且t＜2， ∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD＝DE或PE＝PD． t＞0时，PE＝DE时，t+3＝t， ∴t，t+3， ∴P点坐标为（0，）， ①若t＞0，PD＝DE时，t+3＝t， ∴t．∴P点坐标为（0，）； ②若t＞0，PE＝PD时，即DE为斜边，∴t+3＝2t， ∴t，DE的中点坐标为（t，t）， ∴P点坐标为（0，）． 若t＜0，PE＝DE和PD＝DE时，由已知得DE＝﹣t，t+3＝﹣t，t＝6＞0 （不符合题意，舍去）， 此时直线x＝t不存在． ③若t＜0，PE＝PD时，即DE为斜边，由已知得DE＝﹣2t，t+3＝﹣2t， ∴t＝﹣6，t0， ∴P点坐标为（0，0） 综上所述：当t时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）； 当t时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）； 当t＝﹣6时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）． 21．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知点A（0，2），B（2，0），C（1，0） （1）若点P（x，y）是线段AB上的动点，求△OPB的面积S，用含x的代数式表示． （2）若D（1，m），当△ACD为等腰三角形时，求点D的坐标． （3）若D（1，m），当△ACD为直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（0，2），B（2，0）分别代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2， 所以S2×y＝﹣x+2（0≤x＜2）； （2）AC， 当CA＝CD时，|m|，解得m或，此时D点坐标为（1，）或（1，）， 当AD＝AC时，，解得m＝0（舍去）或m＝4，此时D点坐标为（1，4）； 当DA＝DC时，12+（m﹣2）2＝m2，解得m，此时D点坐标为（1，）， 综上所述，D点坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，）， （3）当∠ADC＝90°时，AD∥x轴，则点D的坐标为（1，2）； 当∠CAD＝90°时，则AD2+AC2＝CD2，即12+（m﹣2）2+5＝m2，解得m，此时D点坐标为（1，）， 综上所述，D点坐标为（1，2）或（1，）． 22．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D． （1）求点C的坐标； （2）已知点P是直线CD上的动点， ①若△POC的面积为4，求点P的坐标； ②若△POC为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）C（﹣1，4）； （2）①P1（﹣3，4），P2（1，4）；②P（0，4）或P（16，4）． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵直线AB与x轴交于点A（﹣3，0）与y轴交于点B（0，6）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+6， 把（m，4）代入y＝2x+6，得2m+6＝4， ∴m＝﹣1， ∴C（﹣1，4）． （2）解：①∵OD⊥CP， ∴， ∵直线CD∥x轴交y轴于点D，C（﹣1，4）， ∴OD＝4， ∴CP＝2， ∴P1（﹣3，4），P2（1，4）； ②∵∠OCP一定不是直角， 当∠OPC＝90°时，点P恰好在点D， ∴P（0，4）， 当∠POC＝90°时， ， 由题可得OC2＝1+42＝17，OP2＝42+DP2＝16+DP2，CP2＝（1+DP）2， ∵CP2＝OC2+OP2， ∴（1+DP）2＝17+16+DP2， ∴DP＝16， ∴P（16，4）， 综上所述，所有满足条件的点P的坐标为（0，4）或P（16，4）． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点C，与y轴交于点A． （1）求△AOC的面积； （2）点P是直线AC上的动点，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F，E，若PF＝2PE，请求出点P的坐标； （3）点B（，）在直线AC上，坐标轴上存在动点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）S△AOC＝6， （2）点P的坐标为（，）或（，）． （3）M点坐标是（，0），（0，），（，0）． 【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝2， ∴OA＝2， ∵当y＝0时，x+2＝0， 解得：x＝6， ∴OC＝6， ∴S△AOCOA．OC＝6， ∴△AOC 的面积是6． （2）∵PF＝2PE， ∴设P（a，2a）， ∴2＝2a， ∴a， ∴P（，）． 当P在第二象限时，同法可得P坐标为（a，﹣2a），a， ∴p（，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）． （3） 当∠CAM＝90°，与x轴交于M1， 设AM1的函数关系式是：y＝kx+2， ∴M1（，0）， ∴CM16， 在Rt△ACM1中，由勾股定理得， AC2， ∴22+62+22+（）2＝（6）2， ∴k＝3， ∴AM1的函数关系式是：y＝3x+2， M1（，0）， ∵当∠ABM＝90°，与x轴交于M2，与x轴交于M3， ∴设BM2的函数关系式y＝3x+b， 又直线BM2过点B， ∴3b， ∴b， ∴y＝3x， ∴当y＝0时，3x0， ∴x， ∴M2（，0），M3（0，）， 综上所述，当△ABM是以AB为直角边的直角三角形时，坐标轴上存在M点坐标是（，0）， （，0），（0，）． 24．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根（OA＜OB） 请解答下列问题： （1）求线段AB的长； （2）点C是直线AB上一点，且3S△OBC＝2S△OAC，求直线OC的函数解析式； （3）在（2）条件下，点C是线段AB上的点，在直线AB上是否存在点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：方程x2﹣14x+48＝0变形为： （x﹣6）（x﹣8）＝0， 解得：x1＝6，x2＝8， ∵OA＜OB， ∴OA＝6，OB＝8， ∴AB， （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 把B（﹣8，0），A（0，6）代入解析式中，得：， 解得：k，b＝6， 所以直线的解析式是yx+6； 所以点C的坐标为（x，）， 因为3S△OBC＝2S△OAC， 当C点在线段AB上时， 8×（x+6）×3＝2（﹣x）， 解得x； ∴C（，）， ∴直线OC的解析式为yx； 当C点在AB延长线上时， 8×（x﹣6）×3＝2（﹣x）， 解得x＝﹣24； ∴C（﹣24，﹣12）， ∴直线OC的解析式为yx； 当C点在BA的延长线时， 8×（x+6）×3＝2x， x＝﹣24（舍）； 综上所述：OC的解析式为yx或yx； （3）当点C的坐标为（﹣24，﹣12）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形， 则可得点P的坐标为（）； 当点C的坐标为（）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形， 则可得点P的坐标为（）． 综上所述，点P的坐标为（）（）． 类型五：一次函数中存在平行四边形问题 25．一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象过点P（﹣3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； （2）已知点C（﹣1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）．图象见详解；（2）D（﹣4，1），D（2，﹣1），D（4，1）． 【解答】解：（1）将点P（﹣3，2）坐标代入y＝kx+1（k≠0）得： 2＝﹣3k+1， 解得：， ∴一次函数解析式为：． 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴B（0，1）． 一次函数图象如下： （2）由图象可知：D（﹣4，1），D（2，﹣1），D（4，1）． 26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点C（5，0），点B在第一象限内，BA⊥y轴，且AB：OA＝3：2． （1）求直线BC的表达式． （2）如果点A、B、C、D可以构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】（1）直线BC的表达式为y＝4x﹣20； （2）点D的坐标为（﹣1，0）或（11，0）或（1，8）． 【解答】解：（1）∵AB：OA＝3：2，A（0，4）， ∴BA＝6， ∵BA⊥y轴， ∴B（6，4）， 设直线BC的表达式为y＝k x+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝4x﹣20； （2）当AB是平行四边形的边时， ∵AB∥CD，AB＝CD＝6， ∴点C（5，0）， ∴D（﹣1，0）或（11，0）； 当AB是平行四边形的对角线时，则AD∥BC，AD＝BC， ∵A（0，4）， ∴D（1，8）． 综上，点D的坐标为（﹣1，0）或（11，0）或（1，8）． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题： （1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上； （2）在直线A1C1的右侧找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请求出P点坐标． 【答案】（1）A1（，3），A1在直线yx+4上． （2）P点的坐标为（3，3）或（5，﹣3）． 【解答】解：（1）如图作A1H⊥x轴于H． 在Rt△A1OH中，A1H＝3，∠A1OH＝60°， ∴OH＝A1H•tan30°， ∴A1（，3）， ∵x时，y4＝3， ∴A1在直线yx+4上． （2）把y＝0代入yx+4得，0x+4， 解得x＝4， ∴M（4，0）， ∵A1（，3），C1（2，0）， 由图象可知，当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标为（3，3）或（5，﹣3）． 28．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线yx+2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵直线y＝2x+4交x轴于点A， ∴当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， ∵直线yx+2交x轴于点B， ∴当y＝0时，x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 由，得， ∴点C的坐标为（，）， ∴AC， BC， AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6， ∵AC2+BC2＝（）2+（）2＝62＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为（，），（，）或（，）， 如图所示， 当CD1∥AB时， ∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（，）， ∴AB＝CD1＝6， ∴D1的坐标为（，）； 当AC∥DB2时， 设直线AC的函数解析式为y＝kx+b， ，得， 即直线AC的函数解析式为y＝2x+4， 设直线BD2对应的函数解析式为y＝2x+c， ∵点B（4，0）在该直线上， ∴0＝2×4+c，得c＝﹣8， ∴直线BD2对应的函数解析式为y＝2x﹣8， ∵点D2的纵坐标为， ∴2x﹣8， 解得x， ∴D2的坐标为（，）； 当CD3∥AB时， ∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（，）， ∴AB＝CD3＝6， ∴D3的坐标为（，）； 由上可得，点D的坐标为（，），（，）或（，）． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点（2，3）的直线y＝kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l与x轴交于点C． （1）求直线l的表达式； （2）点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由y＝kx+2过点（2，3），得3＝2k+2， 解得k， 所以可设直线l：yx+b， 由于直线l是直线y＝kx+2下移3个单位所得， 所以直线l过点（2，0）， 则02+b，得b＝﹣1， 所以直线l的表达式为yx﹣1． （2）由yx﹣1可得点C的坐标是（2，0）， 过点A作BC的平行线交l于点E，过B作AC的平行线交l于点F，交直线AE于点M， 则ACBM、ACFB、ABCE都为平行四边形，即交点M、E、F即为所求的点． 由ACBM为平行四边形得BM＝AC＝6，所以M（﹣6，2）， 由ACFB为平行四边形得BF＝AC＝6，所以F（6，2）， 由ABCE为平行四边形得AB＝CE， 设E（x，x﹣1）， 由AB＝CE，得， 即x2﹣4x﹣12＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝6， 所以点E的坐标是（﹣2，﹣2）或（6，2）． 综上，点D的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，2）或（﹣6，2） 30．如图，△ABC的边AC所在的直线为直线y＝kx，边BC所在的直线为直线y＝﹣3x+b，顶点A、B的坐标分别为A（1，1），B（7，3）． （1）求k，b的值； （2）已知某一次函数的图象过点C与AB相交于点M，若△ACM与△BCM的面积相等，求这个一次函数的解析式； （3）若点D是y轴上一点，点E是直线AC上一点，且以A、B、E、D四点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1）k＝1，b＝24； （2）y＝2x﹣6； （3）E（﹣6，﹣6）或（6，6）或（8，8）． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx经过点A（1，1），直线y＝﹣3x+b经过点B（7，3）． ∴k＝1，﹣3×7+b＝3， ∴k＝1，b＝24； （2）解得， ∴C（6，6）， ∵一次函数的图象过点C与AB相交于点M，△ACM与△BCM的面积相等， ∴M是AB的中点， ∵A（1，1），B（7，3）， ∴M（4，2）， 设这个直线的解析式为y＝mx+n， 把M、C的坐标代入得，解得， ∴这个一次函数的解析式为y＝2x﹣6； （3）以AB为边或对角线进行分类讨论： ①如图1，当AB是平行四边形的边，且在y的负半轴上时，AE∥BD，AE＝BD， 设直线BD为y＝x+p， 把B（7，3）代入得3＝7+p，解得p＝﹣4， ∴D（0，﹣4）， 由于点B（7，3）先向左平移7个单位，再向下平移7个单位得到D（0，﹣4）， ∴点A（1，1）向左平移6个单位，再向下平移7个单位得到E（﹣6，﹣6）； ∴点E的坐标为（﹣6，﹣6）； 如图3，当AB是平行四边形的边，且在y的正半轴上时，DE∥AB，DE＝AB， 由于点B（7，3）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到C（6，6）， ∴点A（1，1）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到（0，4）， ∴点（0，4）就是D点，C就是E点， ∴点E的坐标为（6，6）； ②如图2，当AB是平行四边形的对角线时，AE∥BD，AD＝BE， 同理求得D的坐标为（0，﹣4）， 由于点B（7，3）先向左平移7个单位，再向下平移7个单位得到D（0，﹣4）， ∴点A（1，1）向右平移7个单位，再向上平移7个单位得到E（8，8）； ∴点E的坐标为（8，8）； ∴E（﹣6，﹣6）或（6，6）或（8，8）． 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0． （1）求：S△AOB的值； （2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标； （3）在（2）的条件下，当AD＝2时，在坐标平面内是否存在一点P，使以B，E，F，P为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）18； （2）（0，﹣6）； （3）（14，﹣8），（﹣14，20），（﹣14，﹣4）． 【解答】解：（1）由题意可得：m+n＝0，n﹣6＝0，解得m＝﹣6，n＝6， ∴A（﹣6，0），B（0，6）， ∴S△AOBAO•BO6×6＝18； （2）如图所示，过点E作EG⊥x轴于G， ∵△EDB为等腰直角三角形， ∴DE＝DB，∠EDB＝90°， ∴∠EDG+∠ODB＝180°﹣90°＝90°， ∵EG⊥GD， Rt△EGD中，∠GED+∠EDG＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GED＝∠ODB， 在△EDG和△DBO中， ， ∴△EDG≌△DBO（AAS）， ∴DG＝BO＝6，EG＝OD， 设AD＝a， ∴OD＝OA+AD＝6+a＝EG， ∴OG＝OD+DG＝6+a+6＝12+a， ∴E点的坐标为（﹣12﹣a，6+a）， ∵A（﹣6，0）， 设EA：y＝kx+b， 代入点A和点E的坐标得：， 解得， ∴EA的解析式为y＝﹣x﹣6， ∴当x＝0时，y＝﹣6， ∴EA与y轴的交点F坐标为（0，﹣6）； （3）存在，点P的坐标为：（14，﹣8），（﹣14，20），（﹣14，﹣4）， ∵AD＝2，E点的坐标为（﹣12﹣a，6+a）， ∴E（﹣14，8）， 又F（0，﹣6），B（0，6），B、E、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 设P（a，b），当BF为平行四边形的对角线时，， 解得：a＝14，b＝﹣8，则P（14，﹣8）， 当BE为对角线时，， 解得：a＝﹣14，b＝20，则P（﹣14，20）， 当EF为对角线时，， 解得：a＝﹣14，b＝﹣4，则P（﹣14，﹣4）， 综上所述，点P的坐标为：（14，﹣8），（﹣14，20），（﹣14，﹣4）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数中的面积问题与存在性质问题 类型一：一次函数中的面积问题 类型二：一次函数与四边形 类型三：一次函数中存在等腰三角形问题 类型四：一次函数中存在直角三角形问题 类型五：一次函数中存在平行四边形问题 类型一：一次函数中的面积问题 1．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）求A点坐标； （2）在x轴上是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与x轴，y轴相交于点A（6，0）和点B（0，12），与直线y＝x相交于点C． （1）求k，b的值和点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，A（m，0），B（n，0），且m，n满足（m+2）2+|n﹣2|＝0，直线AC恰好是一次函数的图象，CB⊥x轴于B． （1）求点C的坐标，并求△ABC的周长； （2）在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：与x轴交于点A；直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点B（0，4），与直线l1交于点． （1）点A的坐标为　 　 ； （2）求直线l2的表达式； （3）直线BC上是否存在动点P，使得△PAD的面积等于△ACD面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y2＝mx+m（m＞0）与l1交于点E，若点E坐标为（1，n）． （1）直接写出E的坐标和m的值：　 　 ； （2）当y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ； （3）在x轴上是否存在点P，使直线EP把△ACE分成面积之比为1：3的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二：一次函数与四边形 7．如图，直线CD的函数解析式为，四边形ABOD是正方形，直线CD交x轴于点F，点D在y轴上，过点C作CE⊥DF且交x轴于点E．求证：∠ADC＝∠EDC． 8．如图为边长是2的正方形ABCD，点P在CD上，且从点C运动到点D，设CP＝x，四边形ABPD的面积为y． （1）求y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5？ 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，4）的直线y＝kx+6与x轴交于点B，四边形AOBC是平行四边形． （1）填空：k＝　 　 ，OC＝　 　 ； （2）动点P从点O出发，沿对角线OC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿对角线OC向终点O运动，运动速度都是每秒个单位长度．设两个点的运动时间为t秒，在点P，Q运动过程中，当时，求出t的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，四边形AOCB是平行四边形． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线AC所对应的函数表达式． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　 　 ； （2）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （3）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，点B，点P在射线BA上（点P不与点A、B重合），过点P分别作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，设四边形PCOD的周长为d，点P的横坐标是m． （1）当时，求点P的坐标； （2）求d与m之间的函数关系式； （3）直接写出四边形PCOD是正方形时m的值． 13．如图1，直线l1：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． （1）求点C，D的坐标； （2）求四边形BACD的面积； （3）若直线l2：y＝ax﹣2a+4将四边形BACD分成面积相等的两部分，请求出a的值． 、 类型三：一次函数中存在等腰三角形问题 14．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式； （2）当S△ABP＝2时，在第一象限内找一点C，使△BCP为等腰直角三角形，求点C的坐标． 15．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值． 16．在直角坐标平面系xOy中（如图），点C（﹣1，0）在x轴上，一次函数y＝kx+2的图象经过点，与x轴和y轴分别相交于点A、B． （1）求线段AB的长； （2）求点C到直线y＝kx+2的距离； （3）如果点Q在x轴上，且使得△BCQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一点，若S△ABG：S△ACG＝1：2，请求点G的坐标； （3）已知D点是x轴上一点，且△ACD是等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 18．如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）． （1）当l1＞l2时，直接写出x的取值范围 　 　 ；直线l2的表达式为 　 　 ； （2）点M是直线OC上的一点，若将△DCM沿DM折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标； （3）若点Q为x轴上一点，连接BQ，且△BDQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点D（0，6）． （1）求直线CD所对应的函数表达式； （2）点P为直线CD上一动点，若S△PAC＝2S△OAB，求点P的坐标； （3）点M为线段AB上一点，点N为y轴正半轴上一点，若△MNC是以MN为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 类型四：一次函数中存在直角三角形问题 20．如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）． （1）求直线b和直线c的解析式； （2）若P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，求点P的坐标． 21．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知点A（0，2），B（2，0），C（1，0） （1）若点P（x，y）是线段AB上的动点，求△OPB的面积S，用含x的代数式表示． （2）若D（1，m），当△ACD为等腰三角形时，求点D的坐标． （3）若D（1，m），当△ACD为直角三角形时，求点D的坐标． 22．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D． （1）求点C的坐标； （2）已知点P是直线CD上的动点， ①若△POC的面积为4，求点P的坐标； ②若△POC为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点C，与y轴交于点A． （1）求△AOC的面积； （2）点P是直线AC上的动点，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F，E，若PF＝2PE，请求出点P的坐标； （3）点B（，）在直线AC上，坐标轴上存在动点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 24．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根（OA＜OB） 请解答下列问题： （1）求线段AB的长； （2）点C是直线AB上一点，且3S△OBC＝2S△OAC，求直线OC的函数解析式； （3）在（2）条件下，点C是线段AB上的点，在直线AB上是否存在点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五：一次函数中存在平行四边形问题 25．一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象过点P（﹣3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； （2）已知点C（﹣1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点C（5，0），点B在第一象限内，BA⊥y轴，且AB：OA＝3：2． （1）求直线BC的表达式． （2）如果点A、B、C、D可以构成平行四边形，求点D的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题： （1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上； （2）在直线A1C1的右侧找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请求出P点坐标． 28．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线yx+2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点（2，3）的直线y＝kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l与x轴交于点C． （1）求直线l的表达式； （2）点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 30．如图，△ABC的边AC所在的直线为直线y＝kx，边BC所在的直线为直线y＝﹣3x+b，顶点A、B的坐标分别为A（1，1），B（7，3）． （1）求k，b的值； （2）已知某一次函数的图象过点C与AB相交于点M，若△ACM与△BCM的面积相等，求这个一次函数的解析式； （3）若点D是y轴上一点，点E是直线AC上一点，且以A、B、E、D四点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0． （1）求：S△AOB的值； （2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标； （3）在（2）的条件下，当AD＝2时，在坐标平面内是否存在一点P，使以B，E，F，P为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $