第5讲 一元二次不等式及其应用【7个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及其应用，涵盖解不含参数与含参数不等式、由解集求参数、整数解、恒成立、根的分布及实际应用等核心考点，按“核心知识-方法技巧-真题例题-巩固练习”逻辑架构，通过考点梳理与分层训练帮助学生突破分类讨论、数形结合等难点。 讲义突出分层递进与问题转化策略，如解含参数不等式时通过“二次项系数-判别式-根的大小”三步讨论培养数学思维，实际应用问题通过建立不等式模型训练数学语言表达。设置基础巩固与综合应用练习，配合端点验证等技巧，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第5讲 一元二次不等式及其应用 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】解不含参数一元二次不等式 核心知识 标准形式：（或、、），其中 核心逻辑：利用二次函数图像与x轴的位置关系，结合开口方向判断解集 判别式：，决定二次函数与x轴的交点个数 方法技巧 1.化标准形式：先将不等式整理为（）的形式，若，两边同乘并改变不等号方向 2.求对应方程的根：解，根据的情况判断根的个数 3.画图像定解集： 时，开口向上：取两根之外，取两根之间 无实根时，则恒成立，无解 4.特殊形式速解： 的解集为 的解集为 【经典例题1】（2026·湖北·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求得，求定义域得，再求集合并集即可. 【详解】，解得， 所以， 函数的定义域为， 所以， 所以 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）若集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得和或，结合集合并集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，即，解得或， 所以或，所以或. 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得，故. 对于集合，根据指数函数和二次函数图象解不等式得， 故. 所以. 【巩固练习2】（2024·河北衡水·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式得到、后，利用交集定义即可得解. 【详解】由可得，解得或，故或， 由可得 ，解得，故， 故. 【巩固练习3】（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，若，则集合B可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得 若，则，故A选项不符合题意； 若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，故D选项不符合题意． 【题型2】 解含参数一元二次不等式 核心知识 不等式中含有参数（如中含参数），需分类讨论参数对解集的影响 分类依据：二次项系数的符号、判别式的符号、根的大小关系 方法技巧 1.分三步讨论： 1.讨论二次项系数：（一次不等式）、、 2.讨论判别式：、、，确定根的个数 3.若，讨论两根的大小关系，确定解集区间 2.特殊值验证：对含参数的解集，可代入特殊参数值验证结果是否合理 3.易错点规避：二次项系数含参数时，不可默认，需先讨论的情况 【经典例题1】（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 【巩固练习2】（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 【答案】 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【巩固练习3】（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 核心知识 已知一元二次不等式的解集，反求参数的值或取值范围 核心逻辑：不等式的解集端点是对应方程的根，利用韦达定理建立参数方程 方法技巧 1.端点为根法： 若不等式的解集为，则是方程的两根，且 若解集为，则是方程的两根，且 2.韦达定理列方程：利用，，建立参数方程组求解 3.开口方向判断：根据解集形式直接确定的符号，避免符号错误 4.恒成立情况处理：若解集为或，则对应或，结合开口方向列不等式 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 【经典例题2】（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 【巩固练习1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 【巩固练习2】（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系可得到之间关系，进而可化简所求不等式为不含参数的一元二次不等式，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】不等式的解集为， 且方程的两根分别为和 ，，即，， ，又， ，解得：或， 的解集为或. 故选：D. 【题型4】 一元二次不等式整数解问题 核心知识 已知一元二次不等式的整数解个数或范围，求参数的取值范围 核心逻辑：结合不等式的解集区间，分析整数点与区间端点的位置关系 方法技巧 1.先求解集区间：解含参数的一元二次不等式，得到含参数的解集区间 2.数轴定位整数点：在数轴上标出解集区间，结合题目要求的整数解，确定区间端点的临界位置 3.列端点不等式：根据整数解的边界，列出区间端点满足的不等式，求解参数范围 4.端点验证：必须验证端点是否可取，避免多解或漏解 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 【经典例题2】（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（    ） A．337 B．338 C．674 D．1012 【答案】B 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分时和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当时，不等式在中无整数解； 当时，因为， 所以， 则不等式在内只有1个整数解1或2， 而， 则在中可能有个整数解. 故选：B 【巩固练习3】（25-26高一上·福建厦门·月考）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为 ，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 【题型5】 一元二次不等式恒成立（或有解）问题 核心知识 恒成立：对所有（或指定区间），（或）恒成立 有解：存在（或指定区间），使（或）成立 核心逻辑：转化为二次函数的最值问题，结合开口方向和判别式求解 方法技巧 1.对全体实数恒成立 恒成立：且（或） 恒成立：且（或） 2.对指定区间恒成立 方法1：转化为函数最值： 在上恒成立 在上恒成立 方法2：分离参数法：将参数与变量分离，转化为求另一侧函数的最值 例：分离出，求右侧函数的最大值 3.有解问题 在上有解 在上有解 补集思想：有解问题可转化为“无解问题”的补集，简化计算 【经典例题1】（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 【经典例题2】（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 【巩固练习1】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【巩固练习2】（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“，都有一元二次不等式”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的形式求的取值范围. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以 . 故选：A 【巩固练习3】（25-26高一上·广东深圳·期中）若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题知命题的否定为真命题，分离参数求分式的最值，再利用换元法和基本不等式求解即可. 【详解】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以，当且仅当即，即时取等号， 所以. 故答案为：. 【题型6】 一元二次方程根的分布在其他模块的应用（重难点） 核心知识 一元二次方程的根分布问题，即根据根的位置（如都在区间内、一正一负、都大于k等），求参数的取值范围 核心逻辑：结合二次函数的图像，从开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号等方面分析 方法技巧 1.核心分析要素： 开口方向：的符号 判别式：（有实根的前提） 对称轴位置：与区间的关系 区间端点函数值符号：如、的正负 2.常见分布模型： 两根都大于： 两根都在区间内： 一根大于，一根小于：（无需讨论判别式） 3.应用场景：常结合函数零点、解析几何、数列等模块，转化为根的分布问题求解参数范围 【经典例题1】（24-25高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【分析】先根据判别式确定方程有两个不相等实根的条件，再结合二次函数的根分布和韦达定理，即可求解. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 【经典例题2】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围. 【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象，    由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 故答案为： 【巩固练习1】（23-24高一上·重庆·月考）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是__________ 【答案】 【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程等价于， 设，可得， 即方程等价于在上有两个不等的实根， 设， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【巩固练习2】（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 【答案】 1 【分析】①令，则方程有两个不等的实根，，数形结合，根据的图象得出结果；②由韦达定理代入求值即可. 【详解】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，    （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴，    且，，， ∴， 故答案为：；1. 【点睛】求解复合函数零点问题的方法： (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出两个图像； (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数再根据个数与的图像特点，决定参数的范围. 【巩固练习3】（24-25高二下·辽宁·期末）（多选）若函数既有极大值又有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程有两个不等的正根，根据一元二次方程相关知识直接求解即可. 【详解】的定义域为， 因为若函数既有极大值又有极小值， 所以方程有两个不等的正根， 所以，解得， 所以A和C正确，B和D错误. 故选：AC 【题型7】 一元二次不等式的实际应用 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 【经典例题2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200（万元）； (2) (3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元） 【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可； （2）对进行分类讨论写出的解析式； （3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较. 【详解】（1）（万元）. 所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元. （2）当时，， 当时，不妨设降价元，购进产品全部售出， 则，得到， 所以， 当时，， 所以 （3）由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是450（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是500（万元）， 当时，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是910（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）. 【巩固练习1】（23-24高一上·陕西榆林·月考）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 【巩固练习3】（25-26高二下·河北承德·月考）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 【答案】(1) (2)当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率； （2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策； 【详解】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语， 所以甲得10元奖金的概率为. （2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30， ． 所以的期望 记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30， . 所以的期望 故 当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 2．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 3．（江苏盐城市2026届高三数学考前指导卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 解不等式得或，∴ 或. ∴ . 4．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元法，将方程转化为一元二次方程，讨论方程解的个数对应上的解的个数，从而确定a的取值范围． 【详解】因为，则； 令，则可整理为：； 故在区间有两解 等价于在上的解，对应有两个不同的解； 当或时，一个t对应上的一个解， 当且时，一个t对应上的两个解； 分离参数：， 令，对称轴为，； 与对称的点为；，， 当时，与有一个交点， 此时，一个t对应上的两个解； 当时，，一个t对应上的一个解，不合题意； 当时，或，对应或两个解，符合题意； 当时，与有两个交点，即t有两个值， 此时，一个t对应上的两个解， 则在区间上，x有4个解，不合题意，舍去； 当时，，此时对应上的两个解，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． 7．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 8．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、填空题 10．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先由方程有两个不等实根通过判别式求得的上限，再利用韦达定理表示，求出在上的最小值，结合恒成立条件列不等式求得a的下限，合并得到取值范围。 【详解】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得， 根据韦达定理，得到， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即，解得， 所以. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，其中，则的值为___________． 【答案】 【分析】由，可得.令，则或.由，得.此方程有两个不等实根，所以其中一根定为或.根据韦达定理可得另一根，代回，可求出，从而得到的值. 【详解】由，可得， 所以，即， 即. 所以恰有三个不同的实数解.设. 令， 当时，；当时，. 所以或. 由，得，即. . 设方程的两个实根为，且有一个根为或. 若，则，解得. 因为，所以. 由，得，解得； 由，得，即，解得或. 所以. 若，则，方程无解. 综上所述，. 故答案为：. 三、解答题 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 14．（23-24高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【详解】（1）二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 17．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18．（25-26高一下·北京·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第5讲 一元二次不等式及其应用 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】解不含参数一元二次不等式 核心知识 标准形式：（或、、），其中 核心逻辑：利用二次函数图像与x轴的位置关系，结合开口方向判断解集 判别式：，决定二次函数与x轴的交点个数 方法技巧 1.化标准形式：先将不等式整理为（）的形式，若，两边同乘并改变不等号方向 2.求对应方程的根：解，根据的情况判断根的个数 3.画图像定解集： 时，开口向上：取两根之外，取两根之间 无实根时，则恒成立，无解 4.特殊形式速解： 的解集为 的解集为 【经典例题1】（2026·湖北·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）若集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·河北衡水·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，若，则集合B可以为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 解含参数一元二次不等式 核心知识 不等式中含有参数（如中含参数），需分类讨论参数对解集的影响 分类依据：二次项系数的符号、判别式的符号、根的大小关系 方法技巧 1.分三步讨论： 1.讨论二次项系数：（一次不等式）、、 2.讨论判别式：、、，确定根的个数 3.若，讨论两根的大小关系，确定解集区间 2.特殊值验证：对含参数的解集，可代入特殊参数值验证结果是否合理 3.易错点规避：二次项系数含参数时，不可默认，需先讨论的情况 【经典例题1】（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【巩固练习2】（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 【巩固练习3】（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 核心知识 已知一元二次不等式的解集，反求参数的值或取值范围 核心逻辑：不等式的解集端点是对应方程的根，利用韦达定理建立参数方程 方法技巧 1.端点为根法： 若不等式的解集为，则是方程的两根，且 若解集为，则是方程的两根，且 2.韦达定理列方程：利用，，建立参数方程组求解 3.开口方向判断：根据解集形式直接确定的符号，避免符号错误 4.恒成立情况处理：若解集为或，则对应或，结合开口方向列不等式 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【经典例题2】（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【巩固练习1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【巩固练习2】（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【题型4】 一元二次不等式整数解问题 核心知识 已知一元二次不等式的整数解个数或范围，求参数的取值范围 核心逻辑：结合不等式的解集区间，分析整数点与区间端点的位置关系 方法技巧 1.先求解集区间：解含参数的一元二次不等式，得到含参数的解集区间 2.数轴定位整数点：在数轴上标出解集区间，结合题目要求的整数解，确定区间端点的临界位置 3.列端点不等式：根据整数解的边界，列出区间端点满足的不等式，求解参数范围 4.端点验证：必须验证端点是否可取，避免多解或漏解 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【经典例题2】（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（    ） A．337 B．338 C．674 D．1012 【巩固练习3】（25-26高一上·福建厦门·月考）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【题型5】 一元二次不等式恒成立（或有解）问题 核心知识 恒成立：对所有（或指定区间），（或）恒成立 有解：存在（或指定区间），使（或）成立 核心逻辑：转化为二次函数的最值问题，结合开口方向和判别式求解 方法技巧 1.对全体实数恒成立 恒成立：且（或） 恒成立：且（或） 2.对指定区间恒成立 方法1：转化为函数最值： 在上恒成立 在上恒成立 方法2：分离参数法：将参数与变量分离，转化为求另一侧函数的最值 例：分离出，求右侧函数的最大值 3.有解问题 在上有解 在上有解 补集思想：有解问题可转化为“无解问题”的补集，简化计算 【经典例题1】（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【巩固练习1】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“，都有一元二次不等式”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·广东深圳·期中）若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【题型6】 一元二次方程根的分布在其他模块的应用（重难点） 核心知识 一元二次方程的根分布问题，即根据根的位置（如都在区间内、一正一负、都大于k等），求参数的取值范围 核心逻辑：结合二次函数的图像，从开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号等方面分析 方法技巧 1.核心分析要素： 开口方向：的符号 判别式：（有实根的前提） 对称轴位置：与区间的关系 区间端点函数值符号：如、的正负 2.常见分布模型： 两根都大于： 两根都在区间内： 一根大于，一根小于：（无需讨论判别式） 3.应用场景：常结合函数零点、解析几何、数列等模块，转化为根的分布问题求解参数范围 【经典例题1】（24-25高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【经典例题2】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【巩固练习1】（23-24高一上·重庆·月考）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是__________ 【巩固练习2】（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 【巩固练习3】（24-25高二下·辽宁·期末）（多选）若函数既有极大值又有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】 一元二次不等式的实际应用 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【经典例题2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【巩固练习1】（23-24高一上·陕西榆林·月考）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高二下·河北承德·月考）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（江苏盐城市2026届高三数学考前指导卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 10．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，其中，则的值为___________． 三、解答题 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 14．（23-24高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 17．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 18．（25-26高一下·北京·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $