命题大赛 吉林省四平市高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册+第二册第五章一元函数的导数及应用）

**基本信息** 以科技前沿与现实应用为情境，原创性强，全面覆盖选择性必修3（计数原理、概率统计等）及导数内容，通过探究、跨学科等题型考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|二项式系数（题1）、条件概率（题4）、导数应用（题7）|结合“校园灯光节能”“学习平板检测”等情境| |多项选择|3/18|超几何分布（题9）、二项式定理（题10）、函数单调性（题11）|辨析概念，考查逻辑推理| |填空|3/15|二项式系数（题12）、条件概率（题13）、导数几何意义（题14）|基础与应用结合| |解答|5/77|组合数（题15）、数学建模（题16）、独立性检验（题17）、开放探究（题18）、导数综合（题19）|跨学科（题16）、新情境（题17）、开放题（题18）梯度设计|

高二数学下学期阶段测试参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(原创) 在开展“校园灯光节能”模型研究时，某小组把一排 盏路灯中被选中调光的方案数按选中盏数 分组，发现每组方案数正好对应 展开式中的二项式系数。若第 组对应的方案数为 ，则它的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】B 【难度】0.80 【知识点】组合数、二项式系数与实际方案数对应 【详解】第4组对应从8盏路灯中选3盏，方案数为 ，故选B。 2．(原创) 某图像压缩算法把多项式 展开式中 项的系数绝对值作为一个“压缩阈值”。这个阈值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】二项式展开式通项、指定项系数及符号处理 【详解】 展开式通项为 。 令 ，得 ，所以 项系数为 ，绝对值为80，故选D。 3．(原创) 某校科创节要把 个不同的传感器分配到 个不同的实验基站，每个基站至少有 个传感器。已知传感器 与 不能放在同一个基站，则不同的分配方案数为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】D 【难度】0.58 【知识点】分类加法、分步乘法、有限制的分配问题与容斥思想 【详解】 不考虑限制时，5个不同传感器分到3个不同基站且每站至少1个的方案数为 。 若传感器A与B在同一基站，先选它们所在基站，有3种；其余3个传感器要使另外两个基站都非空，方案数为 ，故不合要求的方案数为 。符合条件的方案数为 ，故选D。 4．(原创·新情境题) 某批次学习平板要经过“屏幕检测”和“续航检测”。随机抽取一台，屏幕检测合格的概率为 ；若屏幕检测合格，则续航检测合格的概率为 ；若屏幕检测不合格，则续航检测合格的概率为 。已知这台平板续航检测合格，则它屏幕检测合格的概率为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】A 【难度】0.70 【知识点】条件概率、全概率思想、贝叶斯公式 【详解】 设事件 表示屏幕检测合格，事件 表示续航检测合格。由贝叶斯公式， ，故选A。 5．(原创) 设随机变量 ，且 。若 ，则 等于（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】二项分布的期望、参数求解、概率计算 【详解】 由 且 ，得 ，所以 。于是 。 又 ，故 ，故选D。 6．(原创) 某校高二一次数学测验成绩 近似服从正态分布 。统计显示 ，且 。若从同一总体中随机抽取 名学生，则成绩低于 分的人数约为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】正态分布的对称性、区间概率转化、频数估计 【详解】 由 且 ，可得 。 抽取500名学生，成绩低于68分的人数约为 ，故选B。 7．(原创) 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 。则 在区间 上的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】A 【难度】0.60 【知识点】导数的几何意义、参数确定、函数在闭区间上的最值 【详解】。由点 处切线斜率为0，得 ，所以 。 此时 ，。在区间 上，函数在 上递增，在 上递减。 在 处取得极大值，即最大值 ，故选A。 8．(原创) 已知函数 。若方程 在区间 内恰有两个不同实数解，则 的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】利用导数研究函数单调性与方程根个数、参数范围 【详解】 由 得 ，其中 。设 ，则 ，所以 在 上递减，在 上递增，最小值为 。 要使方程在 内恰有两个不同实数解，需 ，故选C。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得相应分，有错选得0分） 9．(原创) 下列说法正确的是（　　） A．从含有 件合格品、 件不合格品的总体中不放回抽取 件，若 表示抽到合格品的件数，则 服从超几何分布，且 B．若 ，则 C．若随机变量 相互独立，则 D．若 ，则事件 与事件 一定互斥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】超几何分布、二项分布、方差性质、独立与互斥辨析 【详解】 A项为超几何分布，且 ，正确；B项符合二项分布概率公式，正确；C项由独立性得 ，正确；D项 说明事件A与B独立，不能推出互斥，错误。故选ABC。 10．(原创) 关于二项式定理与杨辉三角，下列结论正确的是（　　） A．在 的展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等 B． 的展开式中各项系数之和为 C． 的展开式中 项的系数为 D．当 时， 的展开式中奇次项系数之和为 【答案】AD 【难度】0.62 【知识点】杨辉三角、二项式系数性质、系数和、奇偶项系数和 【详解】 A项中第5项与第7项二项式系数分别为 与 ，二者相等，正确；B项中令 ，各项系数之和为 ，错误；C项 ， 项系数为 ，错误；D项由令 与 可知奇次项系数之和为 ，正确。故选AD。 11．(原创) 已知函数 ，。下列说法正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． D．曲线 在点 处的切线与直线 平行 【答案】ABC 【难度】0.55 【知识点】导数判断单调性、函数不等式、切线斜率与平行关系 【详解】 ，故A正确，且 在 上单调递增，B正确。又 ，对 有 ；同时 等价于 ，成立，故C正确。，曲线在点 处的切线斜率不是1，与 不平行，D错误。故选ABC。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．(原创) 在 的展开式中， 项的系数为____________。 【答案】-448 【难度】0.70 【知识点】展开式指定项系数求解 【详解】 项系数为 。 13．(原创) 从 名女生、 名男生中随机抽取 人参加志愿讲解。已知抽到的人中至少有 名男生，则其中恰有 名女生的概率为____________。 【答案】 【难度】0.66 【知识点】古典概型、条件概率、组合计数 【详解】 已知至少抽到1名男生，样本空间中符合条件的情况数为 。 其中恰有2名女生的情况数为 ，所以所求概率为 。 14．(原创) 已知函数 （）。若曲线 在点 处的切线经过点 ，则 ____________。 【答案】2 【难度】0.62 【知识点】导数的几何意义、切线方程、参数求解 【详解】，，所以 。 切线方程为 。将点 代入，得 ，所以 。 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(原创·探究题)（15分）某图书馆对一排 个互不相同的书架进行电子标签巡检。若从中选出 个书架贴上临时芯片，方案数记为 。为了观察规律，工作人员先记录了 时的书架编号如下表。 书架编号 1 2 3 4 5 6 7 8 是否贴芯片 （1）写出 的表达式，并说明 的组合意义； （2）当 时，求“贴芯片的书架个数为偶数（含 个）”的方案数； （3）利用 的展开式证明 ，并用一句话解释这个等式在“统计所有芯片使用次数”中的意义。 【答案】（1）从 个互不相同的书架中选出 个贴芯片，方案数为 。 等式 的组合意义是：选出 个书架贴芯片，等价于确定剩下 个书架不贴芯片。 （2）128 （3）由二项式定理， 。 两边求导，得 。 令 ，得 。 意义：左边表示把所有“贴 个芯片”的方案各贡献 次芯片使用次数后相加；右边表示先指定一个书架使用芯片，再让其余 个书架自由选择是否贴芯片，二者统计的是同一总量。 【难度】0.60 【知识点】组合数意义、偶数子集计数、二项式定理求导恒等式及组合解释 【详解】 （1）从 个互不相同的书架中选出 个贴芯片，方案数为 。 等式 的组合意义是：选出 个书架贴芯片，等价于确定剩下 个书架不贴芯片。 （2）当 时，贴芯片个数为偶数的方案数为 。 （3）由二项式定理， 。 两边求导，得 。 令 ，得 。 意义：左边表示把所有“贴 个芯片”的方案各贡献 次芯片使用次数后相加；右边表示先指定一个书架使用芯片，再让其余 个书架自由选择是否贴芯片，二者统计的是同一总量。 评分细则： · 第（1）问4分：写出 得2分；写出 或 得1分；能解释“选贴芯片书架”与“选不贴芯片书架”互补得1分。 · 第（2）问5分：写出偶数项求和 得2分；能利用二项式性质或偶数子集与奇数子集相等求和得2分；结果128得1分。 · 第（3）问6分：正确写出二项式展开式得1分；正确求导得2分；令 得出恒等式得1分；能结合芯片使用次数说明左、右两边统计意义得2分。 分等级答题示例： 等级 答题表现示例 可给分 A等 公式、偶数方案数、求导证明与实际意义均完整，语言清楚。 13-15分 B等 能算出主要结果，但组合意义或“统计使用次数”的解释不够完整。 9-12分 C等 只写出若干组合数或只得到128，缺少证明过程与解释。 5-8分 D等 对组合意义理解错误，未形成有效计算或证明。 0-4分 16．(原创·跨学科题)（15分）某校在“数学建模与人工智能”社团活动中设置 道任务题：两道基础题 每题答对得 分，一道拓展题 答对得 分；答错不得分，不倒扣分。某同学独立完成三题，答对 的概率分别为 。设该同学本次任务得分为随机变量 。 （1）求 ； （2）写出 的分布列，并求 ； （3）若规定得分不低于 分才能参加展示，已知该同学获得展示资格，求他答对拓展题 的概率。 【答案】（1）（2）分布列见解析，E(X)=(3)1 【难度】0.62 【知识点】相互独立事件、分布列、数学期望、条件概率 【详解】 设基础题A、B得分之和为 。则 ， ， 。 拓展题C答对得4分的概率为 ，答错得0分的概率为 。 （1） 。 （2） 的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 所以 。 （3）记 A={X≥6} 为“获得展示资格”事件，B={答对拓展题C}。若拓展题C未答对，则两道基础题即使全对，总分最高也只有4分，不可能满足 X≥6，故 A⊆B。因此 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=P(A)/P(A)=1。 评分细则： · 第（1）问4分：列出 的两种互斥情况得2分；概率运算正确得1分；结果 得1分。 · 第（2）问6分：列出 的全部可能取值0、2、4、6、8得1分；各概率全部正确得3分；分布列格式完整得1分；数学期望 正确得1分。 · 第（3）问5分：正确设 A={X≥6}，B={答对拓展题C} 得1分；说明未答对C时最高只能得4分、不可能获得展示资格得2分；写出 A⊆B 或 A∩B=A 得1分；得出 P(B|A)=1 得1分。 分等级答题示例： 等级 答题表现示例 可给分 A等 能按互斥分类列全分布列，期望和条件概率计算准确。 13-15分 B等 分布列有1个概率小错，但解题思路正确，条件概率基本正确。 9-12分 C等 只会用期望线性性质求 ，分布列或条件概率缺失。 5-8分 D等 未区分基础题和拓展题，概率模型混乱。 0-4分 17．(原创·新情境题)（15分）某校想了解“是否参加数学错题订正互助小组”与“导数应用题是否达标”是否有关，随机调查了 名高二学生，得到如下 列联表： 参与情况 导数应用题达标 导数应用题未达标 合计 参加互助小组 32 18 50 未参加互助小组 22 28 50 合计 54 46 100 （1）根据表中数据，说明参加互助小组学生的导数应用题达标率与未参加互助小组学生的导数应用题达标率是否相同； （2）计算 的值（结果保留三位小数）； （3）依据 的独立性检验，能否认为“是否参加互助小组”与“导数应用题是否达标”有关？ 附：，其中 。 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】 （1）参加互助小组学生的达标率为 ；未参加互助小组学生的达标率为 。 两者不相同，且参加互助小组学生的达标率更高。 （2） 。 （3）有关。 【难度】0.64 【知识点】2×2列联表、达标率比较、卡方统计量计算、独立性检验结论 【详解】 （1）参加互助小组学生的达标率为 ；未参加互助小组学生的达标率为 。 两者不相同，且参加互助小组学生的达标率更高。 （2）由表中数据可取 a=32，b=18，c=22，d=28，n=100， 。 （3）因为 ，所以依据 的独立性检验，可以认为“是否参加数学错题订正互助小组”与“导数应用题是否达标”有关。 评分细则： · 第（1）问5分：分别写出两组达标率得3分；比较并说明“参加组更高”得2分。 · 第（2）问5分：正确对应 得1分；正确代入卡方公式得2分；计算结果保留三位小数为4.026得2分。 · 第（3）问5分：找准临界值3.841得1分；完成 的比较得2分；作出“有关”的统计结论且表述为“可以认为”，避免绝对化表述得2分。 分等级答题示例： 等级 答题表现示例 可给分 A等 能正确计算达标率和 ，并用“依据0.05独立性检验，可以认为有关”表述结论。 13-15分 B等 计算过程基本正确，但卡方值保留位数或结论表述略不规范。 9-12分 C等 只比较了达标率，卡方检验代入不完整。 5-8分 D等 混淆行列数据，无法得到有效检验统计量。 0-4分 18．(原创·开放题)（15分）某考试平台对答题卡图像进行识别。一份答题卡第一轮机器识别成功的概率为 ；若第一轮失败，则进入第二轮，第二轮识别成功的概率为 ；若两轮均失败，则转人工核验。各轮识别结果相互独立。第一轮成功用时 秒；第二轮在第一轮基础上再用 秒；转人工核验在两轮基础上再用 秒。设处理一份答题卡的总用时为随机变量 。 （1）求一份答题卡转人工核验的概率； （2）求 的分布列与数学期望； （3）若通过算法改进把第一轮成功概率提高到 （第二轮成功概率与用时不变），要使平均总用时不超过 秒，求 的最小值。 【答案】（1）0.06（2）分布列见解析，E(X)= 7.10秒（3） 【知识点】分阶段概率模型、随机变量分布列、数学期望、期望约束下的参数优化 【难度】0.58 【详解】 （1）转人工核验表示第一轮失败且第二轮失败，故 。 （2） 的可能取值为5、9、34。 ， ， 。 T 5 9 34 P 0.85 0.09 0.06 所以 （秒）。 （3）改进后第一轮成功概率为 。若第一轮失败，则后续平均总用时为 。 故 。 由 ，得 。 所以 的最小值为 。 开放性试题得分要点： · 只要能建立“先机器识别，失败后进入下一流程”的分段概率模型，即可按相应步骤给分。 · 第（3）问允许用树状图、列表法、分类讨论或期望公式求解；核心是正确写出平均用时关于 的表达式。 · 结论必须包含“最小值”并给出 ，只写小数近似值 可酌情给结论分，但不如分数形式规范。 评分细则： · 第（1）问4分：明确转人工的事件含义得2分；概率 正确得2分。 · 第（2）问6分：写出 的三个取值5、9、34得2分；三个概率正确得2分；分布列完整得1分；期望7.10秒正确得1分。 · 第（3）问5分：写出改进后的期望表达式 得2分；列出不等式 得1分；解得 得1分；指出最小值为 得1分。 分等级答题示例： 等级 答题表现示例 可给分 A等 分类清楚，能用树状图或分布列完整呈现流程，平均用时模型准确。 13-15分 B等 前两问基本正确，第（3）问表达式正确但结论或小数近似略有误差。 9-12分 C等 能算出转人工概率，但把转人工总用时或第二轮用时理解错误。 5-8分 D等 未建立分段流程模型，概率与用时混算。 0-4分 19．(原创)（17分）在机器学习模型调参中，常用函数刻画“损失值随参数变化的趋势”。已知函数 ，其中 为实数。 （1）当 时，求函数 的单调区间，并指出其零点个数； （2）求实数 的取值范围，使得对任意 ，都有 ； （3）若函数 在区间 内恰有两个不同零点，求 的取值范围。 【答案】见解析 【难度】0.45 【知识点】导数研究单调性、恒成立问题、函数零点个数与参数范围 【详解】 （1）当 时， 当 时，；当 时，。所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 又 ，所以 是函数的最小值点，函数 只有 个零点。 （2）由题意， 因此 在 上单调递增。 ① 当 ，即 时，对 ，有 ，从而 在 上单调递增，故 ，符合题意。 ② 当 ，即 时，由于 在 上单调递增，所以存在 ，使得 。在 上，， 单调递减，故 ，不符合题意。 综上，，即 。 （3）因为 当 时，， 单调递增，不符合题意。 当 时，令 ，得 。当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 要满足题意，需 即 由前两个不等式得 对第三个不等式，令 则 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。又 ，所以不等式 的解集为 综上， 或 ，即 评分细则： · 第（1）问5分：写出 得1分；正确求导 得1分；判断导数符号并写出单调区间得2分；指出 为最小值点且函数只有1个零点得1分。 · 第（2）问6分：写出 、、 并说明 单调递增得2分；讨论 时符合题意得2分；讨论 时存在下降区间从而不符合题意得1分；得出 得1分。 · 第（3）问6分：求导并分 、 讨论得1分；写出临界点 及单调性得1分；列出 、、 三个条件得2分；解出第三个不等式并说明 得1分；得到最终范围 得1分。 分等级答题示例： 等级 答题表现示例 可给分 A等 不使用洛必达法则，能按导数符号、单调性和端点条件完整讨论，结论准确。 15-17分 B等 前两问基本完整，第（3）问能列出主要条件，但对 的单调性说明略简略。 11-14分 C等 能完成第（1）问和部分第（2）问，第（3）问只列出少量不等式或范围不完整。 6-10分 D等 未利用导数分析单调性，或把“两个零点”误判为任意两个交点，结论错误。 0-5分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期阶段测试 考试时间：120分钟；满分：150分 学校：___________________姓名：___________________班级：_____________　考号：___________________ 应用场景：高二下学期阶段测试（人教A版选择性必修3全册＋选择性必修2导数部分）。 注意事项：本卷共19题，所有试题均围绕计数原理、二项式定理、概率与随机变量、成对数据统计分析、导数及其应用命制；主观题请在对应题目下方答题区域作答。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．(原创) 在开展“校园灯光节能”模型研究时，某小组把一排 盏路灯中被选中调光的方案数按选中盏数 分组，发现每组方案数正好对应 展开式中的二项式系数。若第 组对应的方案数为 ，则它的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．(原创) 某图像压缩算法把多项式 展开式中 项的系数绝对值作为一个“压缩阈值”。这个阈值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．(原创) 某校科创节要把 个不同的传感器分配到 个不同的实验基站，每个基站至少有 个传感器。已知传感器 与 不能放在同一个基站，则不同的分配方案数为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．(原创·新情境题) 某批次学习平板要经过“屏幕检测”和“续航检测”。随机抽取一台，屏幕检测合格的概率为 ；若屏幕检测合格，则续航检测合格的概率为 ；若屏幕检测不合格，则续航检测合格的概率为 。已知这台平板续航检测合格，则它屏幕检测合格的概率为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．(原创) 设随机变量 ，且 。若 ，则 等于（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．(原创) 某校高二一次数学测验成绩 近似服从正态分布 。统计显示 ，且 。若从同一总体中随机抽取 名学生，则成绩低于 分的人数约为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．(原创) 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 。则 在区间 上的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．(原创) 已知函数 。若方程 在区间 内恰有两个不同实数解，则 的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得相应分，有错选得0分） 9．(原创) 下列说法正确的是（　　） A．从含有 件合格品、 件不合格品的总体中不放回抽取 件，若 表示抽到合格品的件数，则 服从超几何分布，且 B．若 ，则 C．若随机变量 相互独立，则 D．若 ，则事件 与事件 一定互斥 10．(原创) 关于二项式定理与杨辉三角，下列结论正确的是（　　） A．在 的展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等 B． 的展开式中各项系数之和为 C． 的展开式中 项的系数为 D．当 时， 的展开式中奇次项系数之和为 11．(原创) 已知函数 ，。下列说法正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． D．曲线 在点 处的切线与直线 平行 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．(原创) 在 的展开式中， 项的系数为____________。 13．(原创) 从 名女生、 名男生中随机抽取 人参加志愿讲解。已知抽到的人中至少有 名男生，则其中恰有 名女生的概率为____________。 14．(原创) 已知函数 （）。若曲线 在点 处的切线经过点 ，则 ____________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(原创·探究题)（15分）某图书馆对一排 个互不相同的书架进行电子标签巡检。若从中选出 个书架贴上临时芯片，方案数记为 。为了观察规律，工作人员先记录了 时的书架编号如下表。 书架编号 1 2 3 4 5 6 7 8 是否贴芯片 （1）写出 的表达式，并说明 的组合意义； （2）当 时，求“贴芯片的书架个数为偶数（含 个）”的方案数； （3）利用 的展开式证明 ，并用一句话解释这个等式在“统计所有芯片使用次数”中的意义。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 16．(原创·跨学科题)（15分）某校在“数学建模与人工智能”社团活动中设置 道任务题：两道基础题 每题答对得 分，一道拓展题 答对得 分；答错不得分，不倒扣分。某同学独立完成三题，答对 的概率分别为 。设该同学本次任务得分为随机变量 。 （1）求 ； （2）写出 的分布列，并求 ； （3）若规定得分不低于 分才能参加展示，已知该同学获得展示资格，求他答对拓展题 的概率。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 17．(原创·新情境题)（15分）某校想了解“是否参加数学错题订正互助小组”与“导数应用题是否达标”是否有关，随机调查了 名高二学生，得到如下 列联表： 参与情况 导数应用题达标 导数应用题未达标 合计 参加互助小组 32 18 50 未参加互助小组 22 28 50 合计 54 46 100 （1）根据表中数据，说明参加互助小组学生的导数应用题达标率与未参加互助小组学生的导数应用题达标率是否相同； （2）计算 的值（结果保留三位小数）； （3）依据 的独立性检验，能否认为“是否参加互助小组”与“导数应用题是否达标”有关？ 附：，其中 。 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 18．(原创·开放题)（15分）某考试平台对答题卡图像进行识别。一份答题卡第一轮机器识别成功的概率为 ；若第一轮失败，则进入第二轮，第二轮识别成功的概率为 ；若两轮均失败，则转人工核验。各轮识别结果相互独立。第一轮成功用时 秒；第二轮在第一轮基础上再用 秒；转人工核验在两轮基础上再用 秒。设处理一份答题卡的总用时为随机变量 。 （1）求一份答题卡转人工核验的概率； （2）求 的分布列与数学期望； （3）若通过算法改进把第一轮成功概率提高到 （第二轮成功概率与用时不变），要使平均总用时不超过 秒，求 的最小值。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 19．(原创)（17分）在机器学习模型调参中，常用函数刻画“损失值随参数变化的趋势”。已知函数 ，其中 为实数。 （1）当 时，求函数 的单调区间，并指出其零点个数； （2）求实数 的取值范围，使得对任意 ，都有 ； （3）若函数 在区间 内恰有两个不同零点，求 的取值范围。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $细目表 高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修3全册＋选择性必修2导数部分）命题双向细目表 总分150分，考试时间120分钟 题号 题型 分值 范围/模块 考查知识点 能力层级 核心素养指向 难度系数 难度等级 命题特色 1 单项选择题 5 选择性必修3：计数原理 组合数、二项式系数与实际方案数对应 理解、应用 数学抽象、数学建模 0.80 容易 原创；生活节能情境 2 单项选择题 5 选择性必修3：二项式定理 二项式展开式通项、指定项系数及符号处理 理解、运算 数学运算 0.68 中等偏易 原创；图像压缩情境 3 单项选择题 5 选择性必修3：计数原理 分类加法、分步乘法、有限制的分配问题与容斥思想 应用、分析 逻辑推理、数学运算 0.58 中等 原创；科创实验基站情境 4 单项选择题 5 选择性必修3：概率 条件概率、全概率思想、贝叶斯公式 应用 数据分析、数学建模 0.70 中等偏易 原创·新情境题；质量检测情境 5 单项选择题 5 选择性必修3：随机变量及其分布 二项分布的期望、参数求解、概率计算 理解、运算 数学运算 0.72 中等偏易 原创 6 单项选择题 5 选择性必修3：正态分布 正态分布的对称性、区间概率转化、频数估计 应用 数据分析 0.66 中等偏易 原创；考试成绩统计情境 7 单项选择题 5 选择性必修2：导数及其应用 导数的几何意义、参数确定、函数在闭区间上的最值 应用、运算 数学运算、逻辑推理 0.60 中等 原创 8 单项选择题 5 选择性必修2：导数及其应用 利用导数研究函数单调性与方程根个数、参数范围 分析、综合 逻辑推理、数学运算 0.52 中等偏难 原创；参数讨论 9 多项选择题 6 选择性必修3：概率与随机变量 超几何分布、二项分布、方差性质、独立与互斥辨析 理解、辨析 数据分析、逻辑推理 0.65 中等偏易 原创；概念综合辨析 10 多项选择题 6 选择性必修3：二项式定理 杨辉三角、二项式系数性质、系数和、奇偶项系数和 理解、推理 数学抽象、逻辑推理 0.62 中等 原创；多结论判断 11 多项选择题 6 选择性必修2：导数及其应用 导数判断单调性、函数不等式、切线斜率与平行关系 分析、推理 逻辑推理、数学运算 0.55 中等偏难 原创；导数综合判断 12 填空题 5 选择性必修3：二项式定理 展开式指定项系数求解 运算 数学运算 0.70 中等偏易 原创 13 填空题 5 选择性必修3：概率 古典概型、条件概率、组合计数 应用、运算 数据分析、数学运算 0.66 中等偏易 原创；志愿讲解情境 14 填空题 5 选择性必修2：导数及其应用 导数的几何意义、切线方程、参数求解 应用、运算 数学运算、逻辑推理 0.62 中等 原创 15 解答题 15 选择性必修3：计数原理与二项式定理 组合数意义、偶数子集计数、二项式定理求导恒等式及组合解释 探究、综合 数学抽象、逻辑推理、数学建模 0.60 中等 原创·探究题；图书馆电子标签情境 16 解答题 15 选择性必修3：概率与随机变量 相互独立事件、分布列、数学期望、条件概率 应用、综合 数据分析、数学建模、数学运算 0.62 中等 原创·跨学科题；AI社团任务情境 17 解答题 15 选择性必修3：成对数据统计分析 2×2列联表、达标率比较、卡方统计量计算、独立性检验结论 应用、分析 数据分析、逻辑推理 0.64 中等 原创·新情境题；错题订正互助小组情境 18 解答题 15 选择性必修3：概率与随机变量 分阶段概率模型、随机变量分布列、数学期望、期望约束下的参数优化 应用、综合、开放 数据分析、数学建模、数学运算 0.58 中等 原创·开放题；答题卡图像识别情境 19 解答题 17 选择性必修2：导数及其应用 导数研究单调性、恒成立问题、函数零点个数与参数范围 综合、探究 逻辑推理、数学运算、数学抽象 0.45 较难 原创；机器学习调参情境；压轴题 合计/加权 150 整卷加权难度系数（按分值加权） 0.61 目标难度区间：0.55—0.65 汇总 命题双向细目表汇总说明 项目 内容 地区 通用地区 年级 高二 学科 数学 学期 下学期 阶段 期末阶段测试 版本+册别+章节 人教A版选择性必修3全册＋选择性必修2导数部分 题量与分值 19题；满分150分 预估整卷加权难度系数 0.61 题型 题量 总分 平均难度系数 单项选择题 8 40 0.66 多项选择题 3 18 0.61 填空题 3 15 0.66 解答题 5 77 0.57 说明：难度系数为预估得分率，数值越大表示越容易。整卷加权难度系数按“分值×难度系数”加权计算，符合高中期末测试0.55—0.65的目标难度。 $