202年广东省中考数学冲刺卷（佛山市专用）

**基本信息** 结合芯片技术、电动汽车等时代素材与杨辉数学题、英歌舞非遗等文化元素，通过动态几何、新定义运算等梯度设计，考查抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形对称、科学记数法等|第3题芯片运算能力结合科学记数法，第7题杨辉数学题考查方程建模| |填空题|5/15|平行线性质、圆内接三角形、反比例函数等|第15题四边形翻折动态问题，考查空间观念| |解答题|8/75|解直角三角形、统计与概率、二次函数与圆综合等|第21题英歌舞评分统计考查数据意识，第23题二次函数与圆综合考查推理能力与创新意识|

2026届广东省中考数学冲刺卷（佛山市专用） （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先区分正负，再比较两个负数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵正数大于，大于负数， ∴，且和都大于选项中的两个负数，只需比较和的大小， ，，且， 两个负数比较，绝对值大的数更小， ， 可得四个数的大小关系为， 最小的数是． 2．以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3．2025年，中国芯片市场发生重大变化．根据最新报告，国产与芯片厂商的市场份额首次攀升至，某型号国产的运算能力高达（是衡量计算机性能的一个重要单位），．将这种型号国产的运算能力表示为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴. 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，，原计算错误，故此项不符合题意； B选项，，原计算正确，故此项符合题意； C选项，，原计算错误，故此项不符合题意； D选项，，原计算错误，故此项不符合题意； 故选：B． 5．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 6．崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． 7．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 8．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 【答案】B 【分析】先根据题意设出一次函数解析式，代入已知两组对应值求出解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设续航里程为电池容量为的函数解析式为． 将，代入解析式得： ， 解得：， ∴函数解析式为 ， ∵ 函数是一次函数，不是反比例函数，∴ A错误． 当时，， ∴当电池容量为时，续航里程约为， ∴ B正确． 电池容量每增加，续航里程增加，行驶途中增加续航里程，电池容量不会增加，∴ C的说法错误． ∵ 题目说明电池容量与续航里程仅近似满足一次函数关系，给出的数值为近似值，无法确定函数一定经过原点，∴ D错误． 9．对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是正确列出不等式组． 根据新定义运算，先列出不等式组，再求解． 【详解】解：由， 得， 解得， 由， 得， 解得， ∴原不等式组的解集为． 故选：A． 10．如图，在中，，，．正方形的顶点，分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（  ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， 当点落在上时， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴； 当时，重叠部分即为正方形，故； 当时，设交于M，交于N， 如图： ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， ∴当时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有B符合题意． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 【答案】15 【分析】根据垂直平分线可知，进而可知周长． 【详解】解：在中，边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴ 的周长 ． 13．如图，内接于，，，则的半径为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解三角形． 根据圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理解得，继而得到答案． 【详解】解：∵内接于，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴的半径为. 14．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得点、关于原点中心对称，求出，即的横坐标为，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B， ∴点、关于原点中心对称， 即， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵点在第二象限， ∴的横坐标为． 将代入反比例函数，得， 因此点的坐标为． 15．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【答案】 【分析】添加辅助线，构造四边形为正方形，再由勾股定理求解出的长度，再由面积的最小时，则该三角形的高最小，再由翻折可得点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，根据点三点共线时，最小，作辅助线构造等腰直角三角形，设，再表示出其他相关的边长，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点到的距离最小时，的面积最小． 过点作交的延长线于点，如图， 即当最小时，的面积最小． ∵是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 过点作于点，过点作于点，连接，如图， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得（舍掉）， ∴， ∴当时，的面积最小． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（本题满分7分） 计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 17．（本题满分7分） 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的三个顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图． (1)在上作出一点，使点是中点，过点作一条直线，使，交于点； (2)根据以上信息，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据网格特征，找出以为对角线的正方形，连接该正方形的另一条对角线，找到两对角线的交点，即为点，再将点向左平移2格得到，作直线，根据三角形中位线的判定与性质，可得直线即为平行线； （）由勾股定理求出的长，根据作图可知，为中点，所以，，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图，点和直线即为所求做； （2）解：由网格可知：， 由作图可知，，为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．（本题满分7分） 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作地面于点，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据矩形的判定和性质得出米，，根据平行线的性质得出，结合锐角三角函数的定义求得米，求出米，结合锐角三角函数的定义求得米，即可求解． 【详解】解：过点作地面于点，交的延长线于点，如图， 根据题意可得，，米，， ∵，， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵，， ∴， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 在中，，， 则（米）， ∴（米）． 故这棵树的高度约为米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条 (2)还需投入1175万元资金更新生产线的设备 【分析】（1）设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元，再列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线． ， 解得， 答：该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条． （2）解：设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元． ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 答：还需投入1175万元资金更新生产线的设备． 20．（本题满分9分） 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据：“直径所对的圆周角等于”可得，则可得，再根据切线的性质可得，进而可得，根据圆周角定理可得，进而可得． 方法二：先证明，则可得，根据圆周角定理可得，进而可得． （2）方法一：先由勾股定理得，再证，则可得，进而可得求得的长； 方法二：由垂径定理得，再由勾股定理得，再证 则可得，进而可得求得的长． 【详解】（1）（1）方法一： 是的直径， ， ， 是的切线，，即：， ， ， 由圆周角定理得， ； 方法二： 是的直径， ， 是的切线， ， 为和的公共角， ， ， 由圆周角定理得， ； （2）方法一： 在中，由勾股定理得：， ， ， 由圆周角定理得， ∴， 又∵， ， ，即， 解得． 方法二： ，， ， 直径垂直平分， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，即， 解得． 21．（本题满分9分） 英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据． 在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下： 甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表 培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差 甲 乙 丙 (1)填空： ， ； (2)请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由． (3)为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？ (4)如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重． 【答案】(1)， (2)乙，理由见解析； (3)乙； (4)例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度 【分析】本题主要考查了数据分析和统计的知识点，包含中位数、众数的定义与计算，方差的统计意义，加权平均数的计算，以及统计评价方案的合理设计． （1）先根据丙的扇形图占比，算出不同得分对应的评委人数，将所有得分从小到大排序，找到中位数，再从甲、乙得分条形图中统计乙的个评委的所有打分，找出出现次数最多的得分，找到众数； （2）方差的统计意义是衡量数据的波动程度，方差越小，数据的波动越小，稳定性越高，先算出甲的方差，再对比三人的方差大小，方差最小的对象表现最稳定，评委评价一致性最高； （3）按照题目给定的权重，分别将三人的理论成绩乘以对应权重、技艺实践成绩乘以对应权重后求和，得到各自的综合成绩，对比大小后选出综合成绩最高的人选； （4）新增的维度需要贴合英歌舞传承人的实际需求，权重分配要保证原有核心考察项的占比不被过度削弱，同时覆盖传承人需要具备的其他重要能力，保障选拔的综合素质更全面． 【详解】（1）解：计算丙的各分数评委人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：； 统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数； 所以，． （2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高． 理由如下：由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，． ． ． ， ． 评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高． （3）解：甲青年的综合成绩为， 乙青年的综合成绩为， 丙青年的综合成绩为． ， 乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象． （4）解：例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度． 评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（本题满分13分） 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它的对角顶点 的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四 边形为双垂四边形．如图1，在四边形中 ，是对角线，，则四边形为双垂四边形，记作双垂四边形． 【理解】 (1)如图1，在双垂四边形中，若，则 _________， _________， _________； (2)【应用】在双垂四边形中，已知，点 E 在线段 上，且， ①如图2，若，，求的值； ②如图3，在下方取一点F，使，且 ，求 的面积． 【答案】(1)12，， (2)①；② 【分析】（1）由，，可得，，再由直角三角形性质可得，最后由勾股定理可得； （2）①过点作，垂足为点，先证明，可得，求出，设，则，设，由，得出，再由勾股定理求出，得出，再求解即可； ②过作于，连接，由得出再证明得出 求出 最后再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ， 故答案为：12，，； （2）解：①过点作，垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 设， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ； ②过作于，连接， ， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 23．（本题满分14分） 如图1，二次函数的图象上有一动点，过点作轴，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于两点，其中，已知点的横坐标为． (1)当时，求的长； (2)求证：无论为何值，始终经过轴上的定点； (3)如图2，点在轴上，，以线段为边作正方形．当与线段有交点时，求正方形的面积的取值范围． 【答案】(1)的长为 (2)证明见详解 (3)或 【分析】（1）当时，即点的横坐标为，得，过点作轴于点，连接，可知，再根据垂径定理及勾股定理求解即可； （2）根据题意得到，过点作轴于点，连接，得，从而得到可知，再根据垂径定理及勾股定理得到，得到，分两种情况去绝对值讨论即可得证； （3）由（2）知，得，分两种情况：①当时，此时；②当时，此时；分析正方形的面积临界值求解即可． 【详解】（1）解：当时，即点的横坐标为，则， ∴， 过点作轴于点，连接，如图所示： 由垂径定理可得， 以点为圆心，为半径作圆，与轴交于两点， ， 在中，由勾股定理可得， ； （2）证明：当点的横坐标为时，， ∴， 过点作轴于点，连接，如图所示： ， 由垂径定理可得， 以点为圆心，为半径作圆，与轴交于两点， ， 在中，由勾股定理可得， ①当时，，， ∴， ； ②当时，，， ∴， ； ∴始终经过轴上的定点； （3）解：如图所示： 由（2）知， ∴， ①由（2）知，当时，， 当与线段有交点时，，则最小值为，即当点与点重合，， ∴正方形的面积满足； ②由（2）知，当时，， 则， ∴， 当与线段有交点时，，则，解得， ， 最大值为，；最小值为，； ∴正方形的面积满足； 综上所述，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省中考数学冲刺卷（佛山市专用） （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 2．以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．2025年，中国芯片市场发生重大变化．根据最新报告，国产与芯片厂商的市场份额首次攀升至，某型号国产的运算能力高达（是衡量计算机性能的一个重要单位），．将这种型号国产的运算能力表示为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 6．崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． 7．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 9．对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 10．如图，在中，，，．正方形的顶点，分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（  ） A．B．C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，，，，则_______． 12．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 13．如图，内接于，，，则的半径为_______． 14．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 15．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（本题满分7分） 计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 17．（本题满分7分） 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的三个顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图． (1)在上作出一点，使点是中点，过点作一条直线，使，交于点； (2)根据以上信息，求线段的长度． 18．（本题满分7分） 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 20．（本题满分9分） 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 21．（本题满分9分） 英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据． 在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下： 甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表 培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差 甲 乙 丙 (1)填空： ， ； (2)请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由． (3)为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？ (4)如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（本题满分13分） 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它的对角顶点 的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四 边形为双垂四边形．如图1，在四边形中 ，是对角线，，则四边形为双垂四边形，记作双垂四边形． 【理解】 (1)如图1，在双垂四边形中，若，则 _________， _________， _________； (2)【应用】在双垂四边形中，已知，点 E 在线段 上，且， ①如图2，若，，求的值； ②如图3，在下方取一点F，使，且 ，求 的面积． 23．（本题满分14分） 如图1，二次函数的图象上有一动点，过点作轴，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于两点，其中，已知点的横坐标为． (1)当时，求的长； (2)求证：无论为何值，始终经过轴上的定点； (3)如图2，点在轴上，，以线段为边作正方形．当与线段有交点时，求正方形的面积的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $