期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 考点目录 异面直线所成之角 线面角问题 二面角问题 点到平面距离问题 考点一 异面直线所成之角 例1．（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. （2）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 例2．（24-25高二上·上海·月考）已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2) 【分析】（1）利用柱体表面积和体积公式计算可得结果； （2）由异面直线夹角求法可求得其大小. 【详解】（1）根据题意可得， 所以该直三棱柱的侧面积为； 该直三棱柱的体积为； （2）根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体：    易知，且三角形为等边三角形， 直线与所成的角与直线与所成的角相等，为 即可得直线与所成的角为. 例3．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线可得，即可由线面平行的判定求证， （2）由线线平行可得即为直线与所成角，即可由余弦定理求解. 【详解】（1）连接与交于点，连接． 显然为的中点，所以． 又因为平面平面，所以平面． （2）由（1）可知即为直线与所成角， 在中, , 由余弦定理得． 变式1．（25-26高二上·山西大同·月考）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 变式2．（24-25高一下·广东广州·月考）在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 变式3．（24-25高一下·新疆哈密·期末）如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求三棱锥P－MNC的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由底面，证得，又由，证得平面，得到，得到为二面角的平面角，求得，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由，得到点到平面的距离等于点到平面的距离的，过点作，证得平面，得到为点到平面的距离，在直角中，求得，得到，再由，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）由底面，且底面，所以， 又由，，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. （2）因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的， 过点作， 因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 在直角中，可得，所以， 又由是上靠近点的三等分点，可得， 所以三棱锥的体积为. 考点二 线面角问题 例1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）将平面沿翻折至与平面共面，利用侧面展开图的最短路径求解； （3）过作，垂足为，求证即为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 在中，， 因四棱锥为正四棱锥，则， 则， 则在中，. 故的最小值为. （3）连接交于点，过作，垂足为， 因为正方形，则，则， 因为线段的中点，则为线段的中点， 因，则，， 因为四棱锥为正四棱锥，则底面， 又面，所以， 又，平面，所以平面， 故即为直线与平面所成角， 在中，在中， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 例2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）通过中位线定理证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行关系将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过解三角形求解； （3）利用线面垂直，从而确定线面角，再通过几何法求解. 【详解】（1）证明：连接交于点， 分别为，的中点， ， 平面，且平面， 平面； （2）， 与所成角大小等于与， 为的中点， ，即与所成角的大小为； （3）连接，过作于点， 平面，且平面， ，又且,且两直线在平面内， 平面， 平面， ，又，且，,且两直线在平面内， 平面， 直线与平面所成角大小等于， 正方体的边长为， . 例3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论； （2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可. 【详解】（1）连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 变式1．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论., 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . 变式2．（24-25高一下·吉林长春·期末） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）点在平面上的射影恰好落在上，推导出，从而平面，进而，由此能证明平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为，结合边长即可计算求解． 【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 变式3．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，直三棱柱中， ，为线段的中点. (1)求证：平面; (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，交于点，连接，由直三棱柱的特征可得为的中点，则，利用线面平行的判定定理可得证； （2）取中点，连接，则，利用线面垂直的判定定理可证得平面，则平面，由此可知所求线面角即，根据边长关系求出其正切值即可. 【详解】（1） 连接，交于点，连接， 三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则为的中点， 为线段的中点，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接，则， 三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则， 平面，平面， 平面，则平面. 所以直线与平面所成角即为. , 在中，. 考点三 二面角问题 例1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 例2．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，，，分别是，的中点．    (1)证明：直线平面； (2)求平面与底面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，得到，根据线面平行的判定定理即可证出线面平行. （2）根据二面角的定义找出二面角对应的平面角，在直角三角形中利用三角函数求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，，    ∵为的中点， ∴，且 又，， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴直线平面. （2）∵平面，平面， ∴， ∵，∴， 又，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴即为平面与底面所成的锐二面角的平面角， 在中，，则， 则， 故平面与底面所成的锐二面角的余弦值． 变式1．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点． (1)求证：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)要证面面垂直,只需找到线面垂直即可.根据已知条件很容易发现,即面,从而得证平面平面. (2)由第一问可知,,,所以为二面角的平面角.然后利用余弦定理求出余弦值即可. 【详解】（1）四边形是直角梯形,, ,，, 平面,平面, ,又,,平面, 平面,又平面,平面平面. （2）由(1)可知平面, ,平面,,, 为二面角的平面角. ,,. ,二面角的余弦值为. 变式2．（25-26高二上·海南儋州·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由底面可得，进而得到平面，然后得到平面，最后由面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点， 又点为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面； （2）依题意，底面，底面，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以； 因为，点为棱的中点，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以平面平面； 所以平面与平面夹角为，即平面与平面夹角的余弦值为0. 变式3．（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，和所在平面垂直，且，，． (1)求证：； (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得； （2）取线段的中点，求证或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，在中计算余弦值即可. 【详解】（1）因和所在平面垂直，， 平面平面，平面， 则平面， 又平面，则； （2）取线段的中点，连接， 因平面，平面，则，，， 因，则， 则，，则或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角， 因，则，则， 在中，， 故, 故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为. 考点四 点到平面距离问题 例1．（25-26高三上·上海嘉定·月考）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，确定为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可. （2）利用等体积法，结合的面积即可求解. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 例2．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． （2）①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②在中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 例3．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过取的中点，构造辅助线，利用中位线和平行线的传递性，结合面面平行的判定定理证明面面平行，进而得到线面平行． （2）取的中点，将点到平面的距离转化为点到直线的距离，点到直线的距离即为点到平面的距离，利用线面垂直的性质和三角形面积公式进行计算． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示． 因为分别为的中点，所以． 因为四边形是正方形，所以，所以． 因为在平面外，平面， 所以平面，平面． 因为都在平面内且相交，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）取的中点，连接，如图所示． 因为分别为的中点，所以， 所以平面即为平面． 因为平面，平面，所以． 因为四边形为正方形，所以． 因为，所以平面， 所以点到直线的距离即为点到平面的距离． 因为，且平面，， 所以四边形为矩形，所以， 所以点到直线的距离为． 因为为的中点，所以点到平面的距离为． 变式1．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 变式2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）在四棱锥中，,，平面，为的中点，为的中点，. (1)取中点，证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一证，利用平面证，结合，利用线线垂直推出平面，得，可得，再由线线垂直可证平面； （2）先证明平面，通过计算求出相关边长和三角形面积，利用等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在中，，则. 而，则在等腰三角形中，①. 又在中，， 则， 因为平面，平面，则， 又，即，，平面， 则平面，因为平面，所以，因此②. 又，且平面，由①②知平面； （2）在中，，， 又，平面，平面， ， 在中， ， 设点到平面的距离为， 则， ，即点到平面的距离为. 变式3．（24-25高二下·江苏连云港·期中）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，先证四边形BCEF是平行四边形，可得CEBF，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）取PB的中点H，连接AH，利用线面垂直的判定定理与性质证明AH⊥平面PBC，确定点A到平面PBC的距离为AH，再求之即可． 【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD＝1， 又BC∥AD，AD＝2BC＝2，所以EFBC，EF＝BC， 则四边形BCEF是平行四边形，所以CEBF， 又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE平面PAB． （2）取PB的中点H，连接AH， 因为PA＝AB，所以AH⊥PB， 因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC， 因为BCAD，AB⊥AD，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，又AH⊂平面PAB， 所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC，即点A到平面PBC的距离为AH. 在等腰直角△PAB中，AHPB， 故点A到平面PBC的距离为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 考点目录 异面直线所成之角 线面角问题 二面角问题 点到平面距离问题 考点一 异面直线所成之角 例1.(25-26高二上·上海嘉定·月考)如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A,B,C,D,的棱AB,BC,CC,CD,的 中点，且EF与HG相交于点Q D H D.. F E B (I)求异面直线EF与AB,所成角的大小 (2)求证：点0在直线DC上； 例2.(24-25高二上·上海月考)己知如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB1AC,AB=AC=AA,=1. B (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线AB与AC所成的角 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 例3.(24-25高一下·浙江·期中)如图，E为正方体ABCD-A,B,CD,的棱A4,的中点 D C A B E D A-- (1)求证：AC/平面BED; (2)求直线AC与ED所成角的余弦值. 变式1.(25-26高二上山西大同月考)如图所示，在正方体ABCD-ABCD,中 D A D A E B (I)求AC与BC所成角的大小： (②)若E,F分别为AB,AD的中点，求AC!与EF所成角的大小 2 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 变式2.(24-25高一下广东广州月考)在空间四边形ABCD中，AB=CD,点M、N分别为BD、AC的中点 A B D (I)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为O,求直线AB与MN所成角的大小 变式3.(24-25高一下·新疆哈密·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC,若二面角P-AB-C的大小 为30°，AB⊥BC,AC=2,PC=1,M是PA上靠近点A的三等分点，N是PB上的一点，且PB=4PN. N M B (I)求直线BC与直线PA所成角的余弦值； (2)求三棱锥P-MNC的体积. 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 考点二 线面角问题 例1.(24-25高一下·江苏南通·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2, PA=PB=PC=PD=32,E为棱AB的中点，F为△PAD内（含边界）的动点. B (I)若F为AD的中点，求证：EF∥平面PBD; (②)若点F在线段PA上运动，求BF+DF的最小值； (3)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值. 例2.(24-25高一下·湖南衡阳期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E,F分别为AD,CD,的中点. D A B E D B (I)证明：EF/平面ABCD. (2)求异面直线AF与BC,所成角的大小. (3)求直线BD与平面D,EF所成角的余弦值. 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 例3.(24-25高一下·重庆渝北期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为AA,的中点 D C A E B (1)若点F满足2FD,=D,D,求证：E,B,F,C,四点共面； (2)求直线AB与平面EBC所成角的正弦值 变式1.(24-25高一下·河北秦皇岛·期末)已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD 上的射影是AC与BD的交点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形 D A B (I)求证：AC⊥PD; (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为O,求sin0的取值范围 J 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 变式2.(24-25高一下·吉林长春·期末) 如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,将△ABD沿BD折起，使得点A到达点A的位置，点A在平面BCD上的 射影O恰好落在CD上. (I)求证：AD⊥平面A'BC; (2)求直线A'C与平面BCD所成的角 变式3.(24-25高一下·吉林长春·期末)如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC，AA=AB=BC=2,D为线 段AB,的中点 a.> B B (1)求证：AC1平面BDC; (2)求直线DC,与平面BB,CC所成角的正切值 6 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 考点三 二面角问题 例1.(25-26高一下·湖南株洲·期中)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD,AF1IDE, DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°. D (I)求证：AC⊥平面BDE; (2)设二面角F-BE-D为a,求sina. 例2.(2026·上海长宁·二模)如图，P是圆锥顶点，O是底面圆心，点A、B在底面圆周上，OA⊥OB, 0A=0B=1 B (1)若圆锥的侧面积为2π，求圆锥的体积； (2)若直线PA与平面P0B所成角为30，求二面角P-AB-O的平面角的正切值 > 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高二上，安徽合肥期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，LBAD=∠CDA=90° ,PA⊥平面ABCD,PA=AD=AB=2,CD=1,M,N分别是PD,PB的中点. D (1)证明：直线NC∥平面PAD; (②)求平面PDC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值. 变式1.(25-26高二上·甘肃平凉·期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直 角梯形，AB⊥AD,AB∥CD,PC=AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点. D (I)求证：平面EAC⊥平面PBC. (2)求二面角P-AC-E的余弦值. 8 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 变式2.(25-26高二上海南儋州月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面 ABCD,PD=DC=2,点E为棱PC的中点 C D B (1)求证：PA∥平面BDE: (2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值， 变式3.(25-26高二上广东佛山月考)如图，ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD=2, ∠CBA=120°，∠DBC=90°. B D (I)求证：BD⊥AC; (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值. 0 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 考点四 点到平面距离问题 例1.(25-26高三上·上海嘉定·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，己知PD⊥平面 ABCD,且PD=AD=2. B (1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)求点D到平面PAC的距离. 例2.(25-26高二上辽宁·开学考试)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E分别是AB,BB,的中点. C B (1)证明：BC,I平面A,CD. (2)设A4=AC=CB=2√2，AB=4. ①证明：DE⊥平面A,CD. ②求点D到平面ACE的距离. 10 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高二上·河北衡水·开学考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD, PDIMA,E,F分别为MB,PC的中点，且AD=PD=2MA=4. M D B (I)证明：EF∥平面ADPM. (2)求点E到平面ABF的距离. 变式1.(24-25高一下·内蒙古乌兰察布期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD, ABIIDC,AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,F分别为棱CD,PD的中点 B (I)求证：AE⊥平面PBD: (2)求点D到平面PBC的距离. 11 期中培优：异面直线所成之角、线面角、二面角、点到平面距离问题专项训练 变式2.(2425高一下·湖南长沙·月考)在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=LACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥ 平面ABCD,E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4. M D B (I)取PC中点F,证明：PC⊥平面AEF; (2)求点D到平面ACE的距离 变式3.(24-25高二下·江苏连云港·期中)如图，己知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角 梯形，BC//AD,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC=4,E为PD中点， A B C (I)求证：CEI1平面PAB; (2)求点A到平面PBC的距离.