8.3.2.2 球的表面积和体积题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2.2 球的表面积和体积 题型一 球的体积的有关计算 1．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 2．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（   ） A．平面 B．直线与底面所成的角为60° C．正三棱台的外接球体积为 D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算. 【详解】 设三棱台上下底面中心分别为,.连接,,,, 上下底面均为正三角形，则,. 已知侧棱长,由正三棱台性质可知，上下底面. 直角梯形中，. 选项A，假设平面，而平面，则平面平面， 与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，选项A错误； 选项B，直线与底面的角为与投影的夹角θ， 根据前面计算可知,,,, 在中，，所以，选项B对； 选项C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R. 设，则. 由,，. 在直角梯形中， 则，，即， 所以外接球体积,选项C对； 选项D，因为,,. 交线圆半径，圆心为在底面的投影（）. 底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，选项D对. 故选：BCD. 3．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为______________． 【答案】 【分析】方法一：过正方体对角面作截面，利用勾股定理求半球的半径即可求得其体积； 方法二：将其补成球和内接长方体，根据正方体的棱长求出半球的半径即可求得其体积. 【详解】方法一： 过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为，因为正方体的棱长为，所以，． 在Rt中，由勾股定理，得，即， 所以，故． 方法二： 将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为，球的半径为， 则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得，即， 所以，故． 故答案为： 4．如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，先证明四边形都是平行四边形，得到，再根据等角定理即可得证； （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体，设正方体的棱长为，找到正方体的外接球的直径与正方体的体对角线长的关系，即，再根据正方体及球的体积公式计算，即可求出其体积之比. 【详解】（1） 如图所示，连接， 是长方体，，分别为棱，的中点， 由长方体的性质可知且 ， 四边形都是平行四边形， ， 又因为角的两边与，与方向相同， 所以由等角定理可知，； （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体. 设正方体的棱长为， 正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 所以，即. 所以正方体的体积， 球的体积， 所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为 . 题型二 球的表面积的有关计算 5．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式和改革前后球的外径，分别算出“小球”的表面积和“大球”的表面积，计算出它们表面积之比，即可得到本题的答案． 【详解】因为，， 所以． 故选：C 6．如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 7．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 8．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点：过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，截面称为大圆面；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，，直径将大圆面一分为二，每一部分称为一个半平面.过球心O分别在两个半平面内作和，定义为两个半平面的夹角；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面球面全等.如图2，已知球O的半径为R，记劣弧AB和劣弧AC所在两半平面的夹角为，. (1)请写出，，的值，并猜测的表达式： (2)如图2，再记劣弧BA和劣弧BC所在两半平面的夹角为，劣弧CA和劣弧CB所在两半平面的夹角为.①若，请直接写出球面的面积；②求（用，，，R表示） 【答案】(1)，，；猜测 (2)①，② 【分析】（1）结合图形理解题意，根据的计算公式，分别求出，，，并按照规律猜出的表达式即得； （2）分别计算并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得的解析式，代入，可得①的结果，而②的结果也出来了. 【详解】（1）， ， ． 猜测． （2）① 因为， 所以， 即． 代入，可得此时； ②由①可知，. 题型三 求组合多面体的表面积 9．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 10．“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【答案】AB 【分析】对于A选项，直接观察几何体即可判断选项正误； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，然后通过面积公式计算即可判断选项正误； 对于C选项，通过求解正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离，并将该距离与比较即可判断选项正误. 对于D选项，通过比较正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离与正方体的中心和半正多面体三角形侧面的距离是否相等，即可判断选项正误 【详解】对于A选项，该半正多面体共有24条棱，12个顶点，故A项正确； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，所以表面积为，故B项正确； 对于C选项，正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离为2，，故C项错误； 对于D选项，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离为，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点构成棱长为1的正四面体，所以该正四面体的高，故半正多面体不存在内切球，故D项错误. 故选：AB 11．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为__________；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为________. 【答案】 27 【分析】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则可求出其表面积；该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，求出外接球半径为 ，两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则中间部分的体积为 ，设其内切球半径为 ，由 ，求出 ，即可得到体积的比值. 【详解】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ; 该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看， 是 的中心， 是球心， 则 ，则 ， ， 设外接球半径为 ，则 ， 又 ，解得 , 两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ， 大正四面体的体积为 则每个小正四面体的体积为 ， 则中间部分的体积为 ， 设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ， 故外接球和内切球体积之比为 故答案为：；. 12．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积； （2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料. 【详解】（1）球的表面积为. 正四棱柱的表面积为. 正四棱台的表面积为. 故这种型号的奖杯的表面积为. （2）因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为 ， 所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为. 因为为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂， 所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料. 题型四 求组合旋转体的表面积 13．素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 14．如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球表面积体积，即可组合得解几何体的表面积体积. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，A选项错误； 几何体底面积为，B选项正确； 几何体的表面积为，C选项错误； 所以所求体积为，D选项正确； 故选：BD. 15．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为______. 【答案】 【分析】由题意判断形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱，由球和圆柱的表面积公式求出形成的几何体的表面积． 【详解】由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱， 因为正方形的边长为1，， 所以球的半径为1，圆柱的底面半径为1，母线长为1， 则形成的几何体的表面积为： ， 故答案为： 16．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是，圆柱筒长.    (1)这种“浮球”的体积是多少? (2)要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶20克，那么共需涂胶约多少克? 【答案】(1) (2)克 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果； （2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积， 进而确定所需胶的质量. 【详解】（1）该半球的直径， “浮球”的圆柱筒直径也是，， 两个半球的体积之和为， 又， 该“浮球”的体积是. （2）上下两个半球的表面积， “浮球”的圆柱筒侧面积为， 个“浮球”的表面积为， 个“浮球”的表面积的和为， 每平方厘米需要涂胶克， 共需要胶的质量为（克）. 题型五 多面体与球体内切外接问题 17．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 18．已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（    ） A．边长为的正方体 B．底面半径和高均为的圆锥 C．棱长均为的四面体 D．半径为的球 【答案】AC 【分析】画出对应图形，放入体对角线为的正方体研究A；放入棱长为的正四面体研究B、C；放入内切球研究D. 【详解】设扇形所在圆半径为，对于A，设正方形边长为，如图1， 则可容纳的最长对角线，故A正确； 对于C，如图2，当圆锥底面与三个圆弧都相切时， 切点和构成一个边长为2的正四面体， 的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以可以容纳，故C正确； 对于B，如图2，同C分析，的外接圆半径为， 不可以容纳，故B错误； 对于D，如图3，设球半径为， 将此时的圆面截出来，可知两圆内切： 则， 解得，比0.84小，故D错误. 故选：AC. 19．已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 20．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的三边长分别为，，， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩余部分几何体的体积． （2）由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 题型六 求组合体的体积 21．青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】B 【分析】分析可知，圆柱的底面半径和高均为米，利用柱体和球体的体积公式计算即可得解. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米， 因此，此鼎的容积为立方米. 故选：B. 22．陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 【答案】BCD 【分析】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得. 【详解】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： ，故A错误； 对于B，由题意，剩下几何体的体积为： ，故B正确； 对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点， 设外接球的半径为，由图知，， 则圆柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，设该实心球的半径为，依题意，， 即得，则，故D正确. 故选：BCD. 23．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是______，体积为______． 【答案】 【分析】该组合体的表面积是，体积是，求出即可． 【详解】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是． 故答案为：；. 24．祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 【答案】 【分析】根据题意“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积，根据三视图的数据即可求解. 【详解】如图，构造一个几何体“M”，将与帐篷同底等高的正四棱柱挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥， 用平行于底面的平面截帐篷和该几何体． 设截面到帐篷底面的距离为，易得其截面的对角线长为，所以其面积为， 截几何体“M”得“回字形”截面面积也是， 因此，由祖暅原理知帐篷与几何体“M”的体积相等， 体积． 题型七 求旋转体的体积 25．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，旋转后得到的几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，利用圆台和球的体积公式求解. 【详解】连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A.    26．如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 【答案】/ 【分析】根据曲线形状可得出旋转一周形成的曲面所围成的几何体，再由体积公式计算即可. 【详解】易知旋转所形成的几何体是以底面半径为1，高为2的圆柱被挖去了上下两个半球，且半球的半径为1， 因此围成的几何体的体积是. 故答案为： 27．如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【详解】（1）由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ （2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2.2 球的表面积和体积 题型一 球的体积的有关计算 1．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（   ） A．平面 B．直线与底面所成的角为60° C．正三棱台的外接球体积为 D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 3．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为______________． 4．如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 题型二 球的表面积的有关计算 5．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 7．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 8．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点：过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，截面称为大圆面；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，，直径将大圆面一分为二，每一部分称为一个半平面.过球心O分别在两个半平面内作和，定义为两个半平面的夹角；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面球面全等.如图2，已知球O的半径为R，记劣弧AB和劣弧AC所在两半平面的夹角为，. (1)请写出，，的值，并猜测的表达式： (2)如图2，再记劣弧BA和劣弧BC所在两半平面的夹角为，劣弧CA和劣弧CB所在两半平面的夹角为.①若，请直接写出球面的面积；②求（用，，，R表示） 题型三 求组合多面体的表面积 9．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 10．“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 11．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为__________；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为________. 12．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 题型四 求组合旋转体的表面积 13．素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 14．如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 15．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为______. 16．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是，圆柱筒长.    (1)这种“浮球”的体积是多少? (2)要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶20克，那么共需涂胶约多少克? 题型五 多面体与球体内切外接问题 17．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 18．已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（    ） A．边长为的正方体 B．底面半径和高均为的圆锥 C．棱长均为的四面体 D．半径为的球 19．已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 20．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 题型六 求组合体的体积 21．青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 22．陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 23．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是______，体积为______． 24．祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 题型七 求旋转体的体积 25．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 26．如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 27．如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $