斜率定值问题、线段长定值问题、面积定值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 高中数学三轮冲刺专项训练，聚焦斜率、线段长、面积三类定值问题，通过典例与变式构建解析几何定值证明的思维体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率定值问题|3例+3变式|椭圆/双曲线中双斜率关系证明|从曲线方程推导到斜率公式应用，通过联立方程与韦达定理构建等量关系| |线段长定值问题|3例+3变式|距离/弦长/中垂线长度计算|基于距离公式，结合中点坐标与参数方程进行长度恒等变形| |面积定值问题|3例+3变式|三角形/四边形面积证明|运用坐标转换与对称性，通过面积公式推导实现几何量的定量分析|

斜率定值问题、线段长定值问题、面积定值问题专项训练 斜率定值问题、线段长定值问题、面积定值问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 线段长定值问题 面积定值问题 考点一 斜率定值问题 例1．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． (1)求的方程； (2)设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）为定值1；（ⅱ）证明见解析， 【分析】（1）由题意得到，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）（ⅰ）设点的坐标为，由对称性得到坐标，再结合斜率公式即可求解；（ⅱ）设，联立椭圆方程，由（ⅰ），结合韦达定理代入，得到关系式，进而可求解. 【详解】（1）因为为等腰三角形，所以． 故直线的方程为． 由点到直线的距离为，得，解得． 所以， 所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1），设点的坐标为， 则中点坐标，直线的方程为． 由题意得，解得 即． 则可得，． 所以． （ⅱ）由题意直线斜率不为0， 设直线的方程为，与联立可得． 由（ⅰ）知点的坐标为，设点的坐标为， 根据根与系数的关系可得，①． 由（ⅰ）知，则，即可得， 根据直线方程可得， 化简可得， 将①代入可得，则可得或， 将其代入直线可得直线恒过定点或定点． 因为点在直线上，则点，在直线的同侧，与条件矛盾，舍去． 所以直线恒过定点． 例2．（2026·浙江金华·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆C上的动点，是直线上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点O到直线的距离均为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明： (3)求周长的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）利用原点到直线的距离列方程，结合根与系数关系证得； （3）求得周长的表达式，利用换元法以及函数的单调性求得周长的最小值． 【详解】（1）∵，∴, 因此椭圆C的标准方程为：. （2）直线，即， 原点O到直线距离为1，由点到直线距离公式：①； 平方整理得：， 同理：， ∴、是方程两根，由韦达定理得：. （3）∵， ∴， 同理：，， ，由①可得；， 同理：， ∴ ∵，， ∴， ∵，∴，∴， 令，，设，， ∴，，∴在单调递减， ∴△PAB的周长的最小值为. 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求解可得； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出，再代点求解得到双曲线的标准方程. （2）（i）根据题意，过双曲线E上点M的切线，利用斜率公式直接化简可得； （ii）由，故，因为，，又因为，代入，求得. 【详解】（1）因为双曲线离心率为， 则， 又因为过点，则，得， 所以双曲线E的方程为； （2）（i）根据题意，点，过双曲线E上点M的切线， 则，， 所以，，， 则， 则； （ii）由， 故， 又（为点到直线l的距离）， 则， 因为，， 又因为，代入， 得，又因为， 化简得， 即， 则， 可得， 因为， 所以， 即，因为点不可能为双曲线顶点，即， 又，所以. 变式2．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 变式3．（2026·辽宁大连·三模）已知双曲线的实轴长为2，两渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程． (2)当时，过点作斜率为的直线与交于两点，设左焦点为，记的斜率分别为，为轴上一定点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点，的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 【答案】(1)或 (2)（i）证明见解析 （ii）的坐标为，. 【分析】（1）由双曲线实轴长得，根据渐近线夹角分情况求出，即可得到双曲线的方程； （2）（i）写出过的直线方程，与双曲线联立得韦达定理，将用交点坐标表示后代入目标式化简，即可证明为定值； （ii）由中点性质得坐标，根据圆的性质得坐标，设坐标代入目标式，令结果与无关即可求出坐标和定值. 【详解】（1）由实轴长得，双曲线渐近线为. 两渐近线夹角为，故渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 双曲线的方程为：或 . （2）当时，双曲线的方程为：，左焦点为. （i）设直线，，联立与得： ， 由韦达定理得. ，代入化简：， 代入韦达定理结果得：，为定值，得证. （ii）中点. 因为是中点（在圆上，）， 故坐标为. 设，则. 化简目标式： ， 由（i）中推导可得，代入得： ，要使该式为定值，需，得，代入得定值为. 故的坐标为，的定值为. 考点二 线段长定值问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 【答案】(1) (2) (3)，定值为 【分析】（1）根据题意列出等式即可求解； （2）根据题意求出过点的两条切线，利用弦长公式即可求解； （3）联立直线与抛物线，根据得到直线经过定点，再根据直线得到动点的运动轨迹即可求解. 【详解】（1）设，由，可得，通分可得，解得， 所以曲线的方程为：. （2） 如图所示，设点，过的切线为， 联立得，由，，得， 所以切线方程为，代入得， 同理，抛物线在处切线方程：， 切线过得，直线的方程为， 联立得所以，， . （3） 如图所示，设直线的方程为，设，， 联立抛物线方程可得：，由韦达定理得：，， ，， 由得：得， 所以化简得：， 直线方程为：即恒过定点：， 直线，且恒过定点，所以． 动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，， 所以平面内存在定点，使得为定值，定值为． 例2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值，证明见解析 【分析】（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可. （2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即可得到直线的方程. （3）结合（2）求出、及点，分别求出、，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）由双曲线的离心率为2，得，即. 渐近线方程为， 则右焦点到其中一条渐近线的距离为，则. 又，即，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，. 设过的直线方程为，，. 联立，整理得， 则，. 直线方程为，直线方程为， 联立解得 ， 即点的横坐标为. 同理可得，点的横坐标为. 所以直线的方程为. （3）为定值. 证明：由（2）知，，，则. 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即. . ， 所以. 而， 所以. 故为定值，该定值为2. 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）为定值. 【分析】（1）应用两点间距离及点到直线距离化简计算求解轨迹方程； （2）（i）方法1：当直线斜率不存在求出点，再代入计算得出定值，当直线斜率存在时，设直线方程联立得出韦达定理结合得出，计算得出定值； 方法2：设，则，联立得出韦达定理应用为同理得出，代入计算求解；（ii）应用面积法计算求解即可. 【详解】（1）设动点，则， 点到直线的距离，由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）（i）方法1： 证明：若直线的斜率不存在，可设其方程为， 若设，则，代入曲线的方程中，得，则此时， 若直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程，得，整理得， 则，且， 所以， 所以， 因为，则有，所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值． 综上可知，始终为定值 方法2： 当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的即得． 因此， 即为定值． 综上可知，始终为定值． （ii）原点到直线的距离为定值，证明如下： 设原点到直线的距离为 由三角形面积公式可知： 化简可得，从而， 由（i）知，则，即： 综上可知，原点到直线的距离为定值； 变式1．（2026·安徽·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用双曲线的基本性质求解； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，从而得到线段的中垂线方程.令，得到点坐标，再根据列方程求解； （3）假设直线方程，分别与双曲线方程、渐近线方程联立，再结合两点间的距离公式化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得 所以双曲线的标准方程： （2） 设直线方程 与双曲线方程联立可得 ，，则， 则中点，直线， 所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为： 令，得 又有，则，解得 所以的值为. （3） 由（1）知右焦点，渐近线方程： 设直线: 联立可得： 联立得；联立得 所以 所以为定值. 变式2．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意求得椭圆的方程为，设，，进而根据基本不等式求得，再算面积即可； （2）设，，进而根据，，三点共线，结合向量表示求得，再根据两点间的距离公式求解即可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，， 所以椭圆的方程为，如图， 设，，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积，即面积的最大值为. （2）设，，则，，三点共线， 所以，即，解得， 所以， ， 所以. 变式3．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（i）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解； （ii）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解，当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得， 又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得： ， 则由得：， 化简得：， 则，为上述方程的两个根，故， 而，所以. （ii）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 设过点的切线方程为，代入双曲线方程， 由（i）得，又， 得，解得，代回化简得过点的切线方程为， 同理，过点的切线方程为， 所以得，， 所以切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（i）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即. 综上，为定值1. 考点三 面积定值问题 例1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知椭圆的焦点坐标分别为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点. (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用椭圆的定义解得，进而得，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证. （3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 解得，又，所以， 所以的方程为； （2）设，则， 由，解得 ， 所以， 所以， 所以 ，， 所以的面积为定值； （3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为， 当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，所以； 当时，由共线，得，即， 整理得 . 而， 当且仅当时取等号，所以. 综上所述，直线在轴上的截距的最小值为. 例2．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 例3．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合构造方程求出，进而得出点坐标，进而求出． 【详解】（1）设的焦距为，右顶点，上顶点， 离心率为，， ，， ，解得，故， ， 的标准方程为． （2）由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，， 由题意可知点为线段的中点，， ， ； ②设，直线的方程为， 由，得， ， 为线段上的动点， ， ， ，故， 三点共线， ， 又， ， 将代入上式并化简，得： ， 即 ，解得， 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去； 当时，直线的方程为， ，， 又，得， ． 变式1．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据椭圆上下顶点的距离得出短半轴的长度，再利用离心率与长半轴、短半轴的关系求出长半轴，从而得到椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程，与椭圆方程联立求得交点的坐标；求出直线与轴的交点，进而写出直线的方程，点在上，由垂直条件得出的纵坐标为常数，由此得到的面积为定值. 【详解】（1）由题意，上、下顶点 ，故，得， 离心率，且 ， 代入 ，得 ，解得 ，故 ，所以椭圆方程为 . （2）依题意，，，过斜率为的直线（）， 与椭圆方程联立： 解得（对应）或，则. 得， 直线与轴交于点，令得，故. 点，直线的斜率，所以直线方程为， 点在上，可设 ，由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ，即 ，解得， 于是，因此点的纵坐标为定值， 而 ，所以的面积 所以的面积为定值. 变式2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）由题干所给蒙日圆，结合椭圆离心率，建立方程求解即可； （2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，点差法求出，由在椭圆内部，求出的范围即可； （3）设，表示出直线，到的距离，则可表示出，平方之后代入，以及椭圆方程，化简为，要使得与无关，则可得分子分母对应系数成比例，求得以及定值. 【详解】（1）由题意，解得， 则椭圆的方程为. （2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ， 则斜率为， 由点差法：两式相减得， 代入，得, 由于在上，故， 联立得， 在椭圆内部，代入椭圆不等式：， 解得. （3）设，满足，即， 联立得，， 由于直线：，则到的距离， 则 平方得， 代入以及， 整理得 ， 要使得与无关，则，得， 代入得，则. 所以存在使得时，的面积为定值1. 变式3．（25-26高三上·山西阳泉·月考）已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）设，，利用相关点法求解即可； （2）设MN方程为：，将椭圆方程齐次化，令，转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合和定比定理求出，将的坐标代入椭圆方程，两式相加转化为关于的方程组，结合求解，然后由圆的面积公式可得. 【详解】（1）设，，因为D为PQ的中点，所以． 因为在圆上，所以， 所以曲线E的方程为：．    （2）设，因为的斜率存在，所以， 设MN方程为：，椭圆方程齐次化：， 所以， 令，则，则，是其两根，所以 又，且，所以， 所以，所以， 则①， ，②③：④， 由①④得，，     2 学科网（北京）股份有限公司 $斜率定值问题、线段长定值问题、面积定值问题专项训练 斜率定值问题、线段长定值问题、面积定值问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 线段长定值问题 面积定值问题 考点一 斜率定值问题 例1．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． (1)求的方程； (2)设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 例2．（2026·浙江金华·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆C上的动点，是直线上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点O到直线的距离均为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明： (3)求周长的最小值． 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 变式2．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式3．（2026·辽宁大连·三模）已知双曲线的实轴长为2，两渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程． (2)当时，过点作斜率为的直线与交于两点，设左焦点为，记的斜率分别为，为轴上一定点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点，的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 考点二 线段长定值问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 例2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 变式1．（2026·安徽·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 变式2．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 变式3．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 考点三 面积定值问题 例1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知椭圆的焦点坐标分别为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点. (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值. 例2．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 例3．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 变式1．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 变式2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式3．（25-26高三上·山西阳泉·月考）已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $