解析几何：面积范围问题、斜率范围问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解析几何：面积范围问题、斜率范围问题专项训练 解析几何：面积范围问题、斜率范围问题专项训练 考点目录 面积范围问题 斜率范围问题 考点一 面积范围问题 例1．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 例2．（2026·上海宝山·模拟预测）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 例3．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 变式1．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 变式3．（2026·四川成都·二模）设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． (1)求的离心率； (2)设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 考点二 斜率范围问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 变式2．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 变式1．（25-26高三下·上海·月考）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 变式2．（25-26高三下·河北沧州·月考）平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 变式3．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； (3)已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：面积范围问题、斜率范围问题专项训练 解析几何：面积范围问题、斜率范围问题专项训练 考点目录 面积范围问题 斜率范围问题 考点一 面积范围问题 例1．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意可得，，再结合，求解即可； （2）先求出直线过点且与轴垂直时，；再求直线过点且与轴不垂直时的情况，结合韦达定理、弦长公式、转化思想及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为． 所以，， 解得， 又因为， 解得， 所以椭圆的方程为 （2）当直线过点且与轴垂直时， 则直线的方程为， 由，可得或， 不妨设， 此时； 当直线过点`且与轴不垂直时， 设直线的方程为， （当时，三点共线，不满足题意） 由，可得， 则， 设， 则， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以 ， 令， 则，， 所以 ， 又因为， 所以； 综上，. 例2．（2026·上海宝山·模拟预测）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 例3．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据题目中的右焦点，确定椭圆焦点在轴，可设椭圆的方程为，再根据已知题意求出，，，进而求出椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值，因为，所以只需求出和的面积，因为底都是， 高分别为，两点到直线的距离和，不妨设在直线的上方，求出的取值范围及与的关系，所以，根据的取值范围，最终得到面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. 变式1．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解. （2）（ⅰ）按是否垂直于轴分类，设出直线方程并与椭圆方程联立求出点坐标，消去参数即得轨迹方程；（ⅱ）由（ⅰ）求出线段中垂线方程并求出点坐标，进而求出，再求出目标式的函数关系，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）由，，得， 由椭圆定义得，在中，， 由余弦定理得， 即，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设线段的中点，当直线不垂直于轴时，设其方程为， 由，得，则，， 则，，整理得， 当直线轴时，满足方程， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）依题意，直线不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点， 直线的方程为，即， 则，， ，， ，因此 ，令，函数在上单调递增，值域为， 则，所以的取值范围是. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的离心率和焦距的定义，结合的关系，可得，从而得到标准方程； （2）（i）先设出点的坐标，写出直线的方程，求出它们与直线的交点，再利用的条件，结合双曲线方程联立求解即可； （ii）借助向量的坐标运算判断出三点共线，然后根据直线的倾斜角的范围确定斜率的范围，最后结合面积公式化简，通过换元法即得面积取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为4，即，所以， 由，得， 又因为， 因此双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意知：双曲线的左、右顶点分别为， 设点，有， 则直线，当时，有， 直线，当时，有， 所以，即， 又，即，代入上式化简得：， 两边平方化简得，故，代入双曲线得，因此. （ii）因为右焦点，， 设直线，联立方程组，化简得：，由韦达定理得：，， 又因为，， 且 ， 所以，点三点共线， 设直线，，， 联立方程组，整理得， 所以，， 又 令， 则． 变式3．（2026·四川成都·二模）设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． (1)求的离心率； (2)设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）4 【分析】（1）写出的面积表达式，可得出，即可求出离心率； （2）（i）设，利用两点间距离公式以及二次函数最值可求得当时，取得最大值为，求得，可得出的方程； （ii）对直线的斜率是否存在分类讨论，联立直线与椭圆方程，解得，再由三角形面积关系可求得，利用椭圆范围以及二次函数最值可求得的最大值为4. 【详解】（1）易知， 所以的面积为，可得， 又因为，可知； 故的离心率为 （2）（i）由（1）可知的方程可设为； 设，则，可得，又， 故 因为，所以时，取得最大值为， 即，解得. 故的方程为. （ii）设，则，所以； 当时，此时直线的斜率不存在，可得，， 故， 当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如下图： 联立可得， 解得， 因为，与共底边， 所以 又因为，所以， 可得， 令，因为，所以； 因此； 当时，取得最大值为4， 此时，解得， 因为点在第一象限内，故，即； 综上可知，的最大值为4. 考点二 斜率范围问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解. 【详解】（1）由已知， 解得，所以C的方程为 （2）设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得， 经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 变式2．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点的轨迹方程； （2）（i）求出点、的坐标，直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，点，利用角平分线定理得出，结合两点间的距离公式解出的值，即可证得结论成立； （ii）先证明、、三点共线，可得出，根据点在第二象限求出的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得，平方化简得，即． （2）（i）令，代入，得，解得，故、， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得： ，则， 所以，解得， 故，故， 设点，则， 由题意得，， 因为平分，由角平分线定理得，即， 化简得，即，解得， 所以点在定直线上． （ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 将直线与曲线的方程联立得：， 所以，， 故，则， 由（i）得，则，故、、三点共线． 又因为、、三点共线，即与点重合，所以， 因为点在第二象限，则，解得， 所以． 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】（1）因为是的焦点，所以，得. （2）由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. （3）由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 变式1．（25-26高三下·上海·月考）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)是，； (3) 【分析】‘（1）根据题目条件列出方程，求出，得到双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出与的比值； （3）求出与的范围，结合函数单调性求取值范围. 【详解】（1）由题意可设双曲线：， 则， 解得，所以双曲线的方程为. （2）设，，直线的方程为， 由得， 则，，且， 所以 ； (或由韦达定理得，即， 所以 ) 即与的比值为定值. （3）设直线：， 由得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论得， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在和上严格减， 故， 故的取值范围为. 变式2．（25-26高三下·河北沧州·月考）平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）首先设抛物线上任意一点为，利用两点间距离公式表示该点到的距离平方，转化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求最小值，进而求出. （2）（i）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理得到和，再写出直线的方程，分析定点. （ii）先求的外接圆圆心的坐标，再表示出直线的斜率，结合的取值和的范围求斜率范围. 【详解】（1）设抛物线上任意一点为. 由得. 则点到点的距离的平方为 . 令，. 其对称轴方程为.① 当，即时，在处取得最小值，即， 由题意知的最小值为，则， 即.解得或. 因为，所以.② 当，即时，在区间上单调递增； 在处取得最小值，此情况无解. 综上所述，，故抛物线的方程为. （2） （ⅰ）由（1）知的方程为，点的坐标为. 设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，即. 设，，则，. 由题意知点的坐标为，直线的方程为. 因为，，所以， 代入得直线的斜率为， 整理得，即， 将代入得， 所以直线恒过定点. （ⅱ）设的外接圆圆心为， 则到，，三点的距离相等，即， 由得， 也即. 因为，代入得 ， ， 也即. 因为点在抛物线上，且在轴上，故， 所以，解得. 同理，由可得. 由，化简得. 因为直线与抛物线交于两点，且构成三角形，故， 所以，即. 因为，所以. 由得，也即， 将代入得， 则点的轨迹方程为（其中）. 设直线的斜率为，则，所以. 将轨迹方程代入，得. 令， ， 令.因为， 当时，，即在上单调递增，又， 故当时，，函数在上单调递增，则， 又，即，解得或. 综上所述，直线斜率的取值范围是. 变式3．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； (3)已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用离心率和联立方程组即可求得，得出结果； （2）设,根据面积关系可得，代入椭圆方程即可得； （3）设直线,, 联立方程并利用韦达定理得出满足即可，解不等式可得答案. 【详解】（1）由题意知,,即，且 又，解得; 即椭圆C的方程为. （2）设, 则 因，可得， 代入椭圆方程得， 因P为椭圆在第一象限，则. （3）设直线,，如下图：    联立方程，整理可得， 因此, 因为，可得 易知若使得恒成立，即 因为则， 可得，即 所以 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $