函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦函数与导数三大核心应用，以恒成立、能成立、零点问题为模块，通过典例与变式构建导数参数求解与零点分析的逻辑训练体系，培养数学推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立求参数问题|3例+3变式|结合单调性求最值，含切线方程基础设问|从函数性质到参数范围，构建“求导-极值-最值”推理链条| |能成立求参数问题|3例+3变式|存在性条件下参数求解，含极值点应用|从恒成立到能成立，形成“全称-特称”命题转化逻辑| |零点问题|3例+3变式|零点个数讨论与证明，含多零点关系探究|从函数单调性到零点存在，建立“导数分析-图像特征-零点判定”模型|

函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 零点问题 考点一 恒成立求参数问题 例1.(2026河南周口模拟预测已知函数八)=n(x+刊-，函数3(-=sinr+m-xa∈R )时论函数的单调性并求最值： (2)若对 x>0,gx)>0 恒成立，求实数“的取值范围： 64nsin-1 (3)已知m∈N,证明：h2-5 n+1 +sin2++sin≤n4 4n 例2.(2026重庆模拟测)已知y=-1+ahx>0) )设函数3到=f+,讨论函数3（的单调性： I-x<Inx (2)当0<x≤1时， f(x),求实数a的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3。(2026江西吉安模拟预测)已知函数f=血r+mx+1山 (1)设m=-5 ()求曲线'=f八在点0处的切线方程， (i)求f的单调区间 2若八)>恒成立，求m的取值范围。 变式1。(2026~甘肃酒泉模拟预测)已知函数=c-m,m∈R )讨论函数的单调性： fx)≥0. (2)若 恒成立，求实数m的取值范围。 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 变式2.(2026广东东莞二模)设a为非负实数，函数 W=tmx-asmx-2xe0写) )当“=0时，求的单调区间： 、f(x) f(x)+b≥0 (2)若 二0恒成立，求+b的最小值 变式3.(2026吉林白山·模拟预测)已知函数fx=nx-x+1,gy=。 0e=g4-f.. 求（刘的最小值： 份法叫s(一》为任xR作底，求实专4的家范 3 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点二 能成立求参数问题 例1.(2026河离壁模拟演测)已知函数八=-a2+1. (讨论的单调性： 2嘴有在e0,使得fs-成立，求。的取值范围。 例2.(25-26高二下山东济南期中)已知函数f=e- ()时论的单调性： ②设函数3到=-血x+a-1.当a>0时，%>0，>0，满足≥g),求a的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3.(25-26高三下江苏扬州月考)已知函数/八=+ax+ahx,实数g>0: )当0=2时，求函数 (x),x=1 在 处的切线方程： 2若存在x∈(0，+切)，使得关于x的不等式f)<2+ar成立，求实数a的取值范围。 变式1.(2026北京石景山一模)已知函数)=c-ar- y=f(x)(0,f(0) (1)求曲线 在点 处的切线方程； (x)R (2)若函数 是上的单调递增函数，求”的值： )若存在>0，使得<1月 成立，求“的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 变式2，(25-26高二下·上海月考)已知函数f(x)= Inx' )求f在L,+四)上的单调区间： 1一zko (2)存在，∈(0，U(L,+o),使得f(x)成立，求实数k的取值范围： 变式3.(25-26高三下辽宁沈阳开￥考试)设=3是函数)=(？+a+be.xeR的一个极值点 b J(x) (①求”与的关系（用“表示），并判断的单调性： (2设a>0'8)=(a2+253为 e,若存在s,∈0,4，使得rs)-g6,1成立，求。的取值范围. 6 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点三 零点问题 例1.(25-26高二下福建厦门月考)已知函数8()=e-r(a∈R). 0)求8在=0处的切线方程： 2时论8到在0+o)上的零点个数 例2.(2026：湖北十堰模拟预测)已知函数f八)=-ar-ar )求函数川的单调区间： (2是否存在正实数“，使得 有且仅有一个零点？若存在，求出“的值：若不存在，说明理由. > 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3。(25-26高二下陕西西安月考)已知函数/到=2x-3x2-36x+a 1)若a=60,求曲线'=f八在2，f(2处的切线方程： 2若八)有三个零点，求“的取值范围。 变式1.(2026河北唐山二模)设函数/()=e-r2-x-1 ,若)有两个极值点，，且<. (I)求a的取值范围： 2当>0时，记为0最大零点 (①)①证明：f有两个零点：②证明：，>2- ()比较2与的大小，并给出证明 P 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 变式2.(25-26高二下·浙江·期中)已知函数 f(x)-tn-ofx-) ()若a=2时，求fx的单调区间 1 (2)若0<a<2,证明fx有三个零点x,x(x<< 3)在(2)的条件下，证明x+)>1 变式3.(25-26高=下北京期中)已知函数f八纠=x+-x-(),其中a为实数 (x) (1)讨论的单调性； 2)若对任意x(-,-刂都有≤1在 恒成立，求实数a的取值范围； -2<a<-1 (x) (3)若 ,试判断”的零点个数、 9函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 零点问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值. (2) (3)证明见解析 【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围； 结合前两问的不等式结论，进行 和的放缩，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，即. 令，则， . 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵， ∴， ∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【分析】（1）对 求导得，根据导数符号分两种情况讨论的单调性，关键是通过导数的零点划分单调区间． （2）先根据时，分析分母，将原不等式变形为，构造函数，利用导数分析其单调性，结合，通过二次求导对原函数的单调性，进而确定的取值范围为． 【详解】（1），的定义域为，， 当时，，在单调递增； 当时，令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）原不等式等价于， ①当时，当时，，， 所以，不合题意； ②当时，原不等式等价于， 等价于 令 则，令，， 注意到：，， 当时，，在单调递减， 所以， 所以在单调递增，所以，不合题意； 当时，，， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，令，则， 所以，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增， 所以，不合题意． 综上所述， 例3．（2026·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解； （2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可． 【详解】（1）函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. （2）（方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设， 则. 令，得， 令，得， 则， 得． 变式1．（2026·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，并根据指数函数性质对的取值进行分类讨论得出函数单调性； （2）结合（1）中已有分析，根据函数单调性得出的表达式，解不等式即可求得实数m的取值范围． 【详解】（1）易知， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，可得； 又因为为增函数， 所以时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 综上可得当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减，不合题意； 当时，恒成立； 当时，结合（1）中分析可知在处取得极小值，也是最小值； 因此， 即可得，解得； 综上可得，实数m的取值范围为 变式2．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2). 【分析】（1）对函数求导并结合余弦函数单调性解不等式即可求得单调区间； （2）根据不等式恒成立构造函数，结合（1）中单调性对参数进行分类讨论求出可求得结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，，令，得， 令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由恒成立，可得， 令，则 因为， 当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 故此时， 所以的最小值为； 当时，， 当时，易得为减函数， 又时，， 由零点存在性定理得，存在，使得， 在上单调递增，在单调递减， 故此时， 此时， 综上可知当时，的最小值为. 变式3．（2026·吉林白山·模拟预测）已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）注意到，由导数知识可得，从而，然后由单调性可得最小值； （2）分，，三种情况，求出在相应区间上的最值可得答案. 【详解】（1）， 令，， ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 从而 ，， 因 ， 则 .令， 则， ， 从而在上单调递减， 则； （2）. 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，即此时； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即此时. 综上可得对恒成立时， 考点二 能成立求参数问题 例1．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的取值范围，讨论函数的单调性. （2）根据（1）问的结果，求出函数的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】（1）. 当时，，则在上单调递增. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 则，不符合题意. 当时，，解得. 故的取值范围为. 例2．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数．当时，，，满足，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，求出这两个函数的最小值，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，则对任意的，此时函数在上单调递增； 当时，由得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，，满足，则， 因为，由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 由（1）可知，当时，若时，即当时， 函数在上单调递增，此时，则，解得， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 令，则，故函数在上单调递增， 此时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 例3．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 变式1．（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 变式2．（25-26高二下·上海·月考）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)减区间，增区间； (2)． 【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可； （2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可． 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 变式3．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）设是函数的一个极值点. (1)求与的关系（用表示），并判断的单调性； (2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调性见解析 (2) 【分析】（1）由=0可得之间的关系；由之间的关系可得，分、，即可确定函数的单调区间； （2）由题意可得，分别求出两函数的值域，可得，求解即可. 【详解】（1）， 由=0，得 故. 因为， 由=0得：， 由于是的极值点， 故，即 当时，， 故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数； 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； （2）由题意，存在[0，4]，使得成立， 即不等式在[0，4]上有解. 于是问题转化为， 由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域. 因为，则， 由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故在[0，4]上的值域为， 而在[0，4]上显然为增函数，其值域. 因为=≥0， 故， ， 从而， 解. 故的取值范围为 考点三 零点问题 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点 【分析】（1）函数求导，求点的斜率，用点斜式解直线方程 （2）令函数值为零，转化为两个函数交点个数问题，构造函数求导，求单调区间和最值 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点. 例2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)是否存在正实数，使得有且仅有一个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)当时，单调增区间为，无单调递减区间； 当时，单调递减区间为，单调递增区间为. (2)存在， 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. （2）当时，根据函数的单调性，由函数的极小值为0求的值. 【详解】（1），令， 当时，，故，即，则在单调递增； 当时，令，则（负根舍去）， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，在递减，递增，最小值为， 依题意，有即， 也即，可得， 令，则在上单调递增，又因， ，故. 验证：当时，代入可得， 此时在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 故有且仅有一个零点. 综上，存在正实数，使得仅有一个零点. 例3．（25-26高二下·陕西西安·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，根据图象趋势与零点情况，即得不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为， 所以所求切线方程为，即. （2）因，令，得或. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因时，；当时，， 由有三个零点，可得， 故的取值范围是. 变式1．（2026·河北唐山·二模）设函数，若有两个极值点，且. (1)求的取值范围； (2)当时，记为最大零点. （i）①证明：有两个零点；②证明：； （ii）比较与的大小，并给出证明. 【答案】(1) (2)（i）①证明见解析；②证明见解析；（ii），证明见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用导函数得出单调性，得出，解不等式即可； （2）（i）①结合，分、两种情况探究的单调性，由零点存在性定理以及可证； ②利用和可证； （ii）由化简，构造函数，得出，结合单调性可得. 【详解】（1），令，则， 当时，，此时在上单调递增， 则至多有一个零点，即至多有一个极值点，不符合题意； 当时，由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 先证明：、、， 令，则， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 则，故成立； 因为，所以，则成立； 令，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，则单调递增， 故，故成立； 由以上不等式可得，，，， 故， 因为，由零点存在性定理可知，若有两个极值点， 只需 记， 当时，单调递增；当时，单调递减； 又，则，所以的取值范围为. （2）（i）①易知，由（1）可知， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意． 故在，单调递增，单调递减，且， 由单调性可知， 令，则， 则在上单调递增，则， 则当无限大时， ， 由零点存在性定理可知，存在两个零点0和且，命题得证． ②因为为极值点且， 所以 ，即， 又由①知 ，结合， 有 ， 得，命题得证． （ii）由（*）可知，所以 ， 记， 又，所以，则， 则 ， 所以在单调递增，则，所以， 因为在单调递增，且，所以． 变式2．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数. (1)若时，求的单调区间. (2)若，证明有三个零点. (3)在（2）的条件下，证明. 【答案】(1)单调递减区间是，无单调递增区间 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数研究函数的单调区间即可； （2）求出的单调区间，利用零点存在定理即可证明结论； （3）结合(2)将问题转化为证明由于，要证明结论即证明，构造函数，利用导数研究其单调性和最值即可证明结论. 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，则在递减， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； （2）的定义域为，求导得， 当时，令，解得：，或 在和上递减，上递增， 因且在上递增，则， 又当时，，所以，使得 故存在唯一的，使得， 又 令，则，且. 综上可得，函数有三个零点. （3）要证，即证，，可得 故需证，因为，则， 即需证， 设，则 在上递增，又，即，证毕. 变式3．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2) (3)1 【分析】（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解； （3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）定义域：，. ， 在上单调递增， 在上单调递减； ， ①， 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减； ②，，因为，所以，在上单调递增； ③， + 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得， 如果， 在上单调递增， 当时，， 因为，所以成立； 当，在上单调递减，所以存在， ；不符合， 当，在上单调递增，在上单调递减； 所以存在， ，不符合， 综上，的取值范围是； （3）由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减. 因为， 当， ， 因为，，所以， 所以， 所以， 又，且在上单调递增， 所以存在，使. 又因为， 当时， ， 即，，所以. 因为在上单调递减， 上单调递增， 所以当时，. 综上，有且只有一个零点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $