数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦数列递推与单调性两大核心考点，通过精选例题与变式题构建从基础到综合的知识逻辑链，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列递推问题|3例+3变式|求通项、前n项和、单调性判断及综合证明|从递推关系构造新数列到函数与数列结合，体现概念生成到应用拓展| |数列单调性及其应用|3例+3变式|通项求解、求和、不等式证明、与函数单调性结合|从数列单调性判断到与等比数列、不等式综合，强化逻辑推理与模型意识|

数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 考点目录 数列递推问题 数列单调性及其应用 考点一 数列递推问题 例1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 例2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对已知递推式进行变形，得出，进而进行分式相加求出的通项公式； （2）先求出的通项公式，进而求出，结合的单调性证明结论． 【详解】（1），即， ， 当时，， ， 则这个等式相加得， ， ， 当时，满足该式， ． （2）证明：， ， 为递增数列， ， 综上可得，． 例3．（25-26高二下·广东汕尾·期中）设为数列的前n项和，且．数列满足，． (1)求数列和通项公式； (2)记为数列的前n项和． （i）求； （ii）若，求n的最小值． 【答案】(1)，； (2)（i）（ii）4． 【分析】（1）利用前n项和与第n项的关系求出，根据给定的递推公式，利用构造常数列求出. （2）（i）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得；（ii）法1，确定数列的单调性并依次计算即可；法2，等价变形不等式，再构造函数并确定单调性求解. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 而，满足上式，因此； 由，得，即， 则数列是常数列，，因此， 所以数列和通项公式分别为和. （2）（i）由（1）得， ， 于是， 两式相减得， 所以. （ii）法一：由，得，则数列单调递增， 而，，，，， ，，，， 所以n的最小值为4． 法二：由，得，即， 令，则，即， 即为减函数，而，，，， 所以n的最小值为4. 变式1．（2026·河南·三模）已知函数，正项数列满足． (1)求函数的最值与零点； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. (2)数列为递减数列，理由见详解； (3)证明见详解 【分析】（1）先对求导，判断导数正负，结合单调性，进而可求最值和零点； （2）先利用作差法得到，利用（1）可得到数列的单调性即可； （3）令，求导，进而令，利用导数得到，再利用累乘法结合放缩法可得，利用等比数列前项和公式求解得证. 【详解】（1）因为，， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 且，当时，，当时，， 所以在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. （2）数列为递减数列，理由如下： 由题意，， 由（1）知在上单调递减，则，即， 令，则，所以，即， 又函数在R上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列. （3）令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以当时，，即. 所以，故在上单调递增，且， 令，则，即，又， 所以，所以，即， 当时，，又， 所以， 所以. 变式2．（2026·湖南长沙·一模）已知有穷数列 满足， 其中，且最后一项 (1)当，且时，求的取值范围； (2)当时，如果足够大， （i）证明：数列为单调递减数列； （ii）探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）证明见详解；（ii）存在一组，理由见详解. 【分析】（1）根据解不等式即可； （2）（i）构造函数，利用导数证明其单调递减即可；（ii）利用递推关系代入消去，然后令，构造函数，利用导数证明其单调递增，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）因为，且，所以， 解得，即的取值范围为. （2）（i）， 记，则， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时， ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即，所以为单调递减数列. （ii）假设存在连续三项成等差数列，则， 又，所以，， 代入得， 令，则，整理得， 令，则， 由（i）可知，，即，整理得， 则，即函数在上单调递增， 又时，时， 故存在使得， 因为足够大，所以取，即时，成等差数列， 由上述证明过程和数列单调递减可知，数列中有且只有一组连续三项构成等差数列. 变式3．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列满足，. (1)证明：； (2)设，证明：数列为递减数列； (3)设为数列的前项和，求，其中表示不超过的最大整数（）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件得出，利用放缩可得，结合累加法可证； （2）化简，结合判断正负性即可； （3）根据得出，根据，得出， 以及，进一步得出，构造函数，令，得出，即可求出，最后得出. 【详解】（1）因为，，所以， 则，即， 则， 则， 又，所以， 若，则，则， 因为，所以恒成立， 故对任意恒成立； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，， 则，故， 则，故数列为递减数列； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以，故， 因为，， 所以， 则 ， 令，则， 则在上单调递增，故，即， 令，则，则， 故， 则， 则，则，则， 故，故. 考点二 数列单调性及其应用 例1．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以 例2．（2026·陕西榆林·三模）已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 例3．（2026·甘肃金昌·三模）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据与的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出​的取值范围． 【详解】（1）的定义域为， ， ，其中， 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）因为，所以， 所以由（1）知是的极小值点，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （ii）当时，， 由（1）知是的极小值点，所以，即， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，，由（1）知的极小值点， 因为是等比数列，所以公比，所以. 令，则， 当时，，， 因为， 所以时，，，， 又，，所以，， 时，， 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 所以的取值范围是． 变式1．（2026·贵州黔西南·二模）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，, (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）利用等比数列的定义，代入化简即可求解， （3）利用放缩法得，即可由等比数列求和公式得解. 【详解】（1），， ，故. （2），因此是等比数列，且公比为， （3）由（2）可知是等比数列，且公比为，首项为， 故，故，故， 由于，故， 因此. 变式2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解； （2）裂项相消法求和即可 【详解】（1）两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以， 故， （2）， 所以. 变式3．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 考点目录 数列递推问题 数列单调性及其应用 考点一 数列递推问题 8an+12,n为奇数 例1.(2026·广东佛山模拟预测)已知数列{an}满足：a1=2，an1= ,n为偶数 ,设b,=a2n+4. 2 (1)求b,b2,b的值： (②)判断数列{b}的单调性并说明理由； (3)求数列{an}的前2n项和. 例2.2024河北衡水拟预测》已知在数列a,中，4=1，常-轻 n+2 (I)求{an}的通项公式： (2)若6，=2n+1 ,数列，的前n项和为工，证明：子≤工<1. 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 例3.(25-26高二下广东汕尾·期中)设Sn为数列{an}的前n项和，且S。=2n2+n.数列bn}满足b=1, bn+1=bn+2×3"-1. (I)求数列{an}和{bn}通项公式； ②记工为数列异的前”项和 (i)求Tn; (i)若T>7,求n的最小值. 变式1.(2026-河南三模)已知函数f)=e-1-xe,正项数列a,满足a=le=e-1 an。 (1)求函数∫(x)的最值与零点： (2)判断数列an}的单调性并说明理由； （⑧设数列a的前n项和为8，求证S>1 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 变式2.(2026湖南长沙.一模)已知有穷数列{x}满足x1=log。xn-log。e,其中a>1,且最后一项 xm≤0(m≥22) (I)当a=e,且m=2时，求x,的取值范围； (2)当a>e2时，如果m足够大， (1)证明：数列{xn}为单调递减数列： ()探究数列{x}中是否存在连续三项成等差数列若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由 变式3.(2026陕西咸阳二模)已知数列an}满足a(a+1-an)=1,a1=2. ()证明：an≥V2n+2 ②设b。=普，证明：数列b,}为递减数列： (3)设Sn为数列 日的前碳和，灯S280g小其国表示不想过×的放大整续(e。097e2981》 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 考点二 数列单调性及其应用 例1.(2026江苏苏州模拟预测)已知数列a}的前项和为Sn,若S+S-=2S。-a,a(n≥2，neN),a=1, 1 a=2 (I)求{an}的通项公式： ②记数列4的前吸和为，汪明：工< 例2.2026陕西检林三校)已知正项数列a满足4=2+3aa-2=0 (I)求{an}的通项公式： 1 (2)记bn= 0g2an·l0g2an 一，求数列{b}的前项和Sn 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 例3.（2026：甘肃金昌三模)设函数fn(x)=x-2(n+an)lnx.空，n∈N,数列a,的各项都是正数. (I)讨论fnx的单调性； (2)己知a1是∫nx)的极小值点. (i)若an>n,且a,=2,求数列an}的通项公式； (ii)若数列{an}是等比数列，求a,的取值范围. 变式1.（2026-贵州黔西南二枚)已知数列a,满足：4=2，且对任意nN,有0-2 a+2 (1)求a,a4,并比较大小： 2②)证明：数列，-1 是等比数列； La,+1 (3)记数列 的前项和为Sn,证明：Sn>n-1. 5 数列递推问题、数列单调性及其应用专项训练 变式2.026澜商K沙模)已知数列a,满起4=2，且a22+aeN (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=an·an1,求数列{bn}的前n项和Sn. 变式3.(25-26高三下·四川绵阳阶段检测)已知数列{an}满足a,+2a2+3a,+…+nan=(n-1)2”+1n∈N (1)求{a}的通项公式： (2)在an和am1之间插入n-1个数，使这n+1个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为b,求数列 的前n项 和Tn 6