相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与性质综合应用及实际测量，通过分层典例构建从几何推理到现实建模的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似的判定与性质综合|3例+3变式|综合几何证明与计算，涉及四边形、三角形动态变换及作图|从相似判定（AA/SAS/SSS）到性质应用（比例线段/面积比），构建“判定-性质-综合迁移”逻辑链| |相似三角形的实际应用|3例+3变式|结合标杆、平面镜、影子等测量情境的应用题|以相似模型（平行投影/中心投影/反射）为核心，实现“模型抽象-数据关联-问题解决”的应用闭环|

相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用专项训练 相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似三角形的实际应用 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在四边形中，点E在边上，且，，的延长线交于点G，F是延长线上一点，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，作于点M，交于点N，若，． ①当，时，求的长； ②求证：． 例2．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在中，，是的中线，在上取点E，连接，，且． (1)若． ①求的长； ②求的面积； (2)如图2，延长交于点F，求的值． 例3．（2026·湖南怀化·一模）如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式1．（2026·江西·三模）如图，在平行四边形中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，在上作点，使． 变式2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）在四边形中，点P是对角线上一点． (1)若四边形是菱形，且，以为边向右侧作等边，如图1．当点E在菱形内部时，连接，求证：． (2)若四边形是正方形，以为直角边向右侧作等腰，其中，如图2．当点E恰好在边上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 变式3．（2026·河南周口·三模）综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． (1)观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； (2)类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若，，请直接写出的值． 考点二 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 例2．（2026·山东青岛·一模）如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，则______． 例3．（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 变式1．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 变式2．（2026·陕西安康·一模）陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅．登塔遥望，古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点．某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度．如图，电视塔前有一棵高米的树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上，请你求出陕西广播电视塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 变式3．（2026·陕西榆林·二模）文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用专项训练 相似的判定与性质综合、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似三角形的实际应用 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在四边形中，点E在边上，且，，的延长线交于点G，F是延长线上一点，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，作于点M，交于点N，若，． ①当，时，求的长； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）证明，即可得． （2）①证明，即可求解． ②证明是等腰直角三角形，再证明，即可证出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴． （2）解：①∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ②证明：∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 例2．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在中，，是的中线，在上取点E，连接，，且． (1)若． ①求的长； ②求的面积； (2)如图2，延长交于点F，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先由中线和直角三角形斜边中线性质，得出；再在中用勾股定理求；最后用求出线段长．②利用等面积法，由两种面积表达式求出点到的垂线段高；再以为底、所求高为高，代入面积公式计算面积． （2）先利用同角余角相等推出角相等，结合公共角证明两个三角形相似；再设参数表示各线段，由相似三角形对应边成比例列等式，求出；最后代入化简得到的值． 【详解】（1）解：①是的中线， 为边的中点， ，， ， 在中，， ， ． ②过点作于， ， ， ， ． （2）解：是的中线， 为边的中点， 又， ， ， ， 又， ． 又， ， ，即． 设，则， 在中， ， ∴，， ，， ． 例3．（2026·湖南怀化·一模）如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求，,进而可求证全等； （2）通过证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（2026·江西·三模）如图，在平行四边形中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，在上作点，使． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长，交于点M，根据平行四边形的性质可知点O为的中点，然后可得是三角形中位线，则有，进而问题可求解； （2）连接，并延长，交的延长线于一点G，连接，交于一点P，然后问题可求解． 【详解】（1）解：所作的中点如图所示： （2）解：所作点P如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）在四边形中，点P是对角线上一点． (1)若四边形是菱形，且，以为边向右侧作等边，如图1．当点E在菱形内部时，连接，求证：． (2)若四边形是正方形，以为直角边向右侧作等腰，其中，如图2．当点E恰好在边上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，最后利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数可得，即；同理可得，易证，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， 又∵， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： ∵是正方形， 是等腰直角三角形， ，即， 同理：是等腰直角三角形，， ， ， 又∵， ， ， ，即． 变式3．（2026·河南周口·三模）综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． (1)观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； (2)类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若，，请直接写出的值． 【答案】(1)①（答案不唯一）② (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用同角的余角相等，，即可得到结果； （2）利用可证得，即可推出； （3）分在左侧和右侧两种情况讨论，利用线段的比例关系、勾股定理、三角形相似（全等），求解的值． 【详解】（1）解：①（答案不唯一）②， 理由如下： 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以，，， 因为于，于， 所以，，， 所以，， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 如图，过点作于，过点作于， 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以，，， 因为于，于， 所以，，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． （3）解：分两种情况： 当在左侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ， ， ． 当在右侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即 解得， ， ， ． 考点二 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 例2．（2026·山东青岛·一模）如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可证，，再利用相似三角形对应边成比例推导即可； （2）作，，分别交直线于点，，通过证明，，得到，，再证明，结合已知，计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：如图，作，，分别交直线于点，， 同理，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 例3．（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 变式1．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 【答案】千佛铁塔的高度为 【分析】延长交于点F，利用勾股定理求出，然后证明出四边形是矩形，得到，，，证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴千佛铁塔的高度为． 变式2．（2026·陕西安康·一模）陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅．登塔遥望，古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点．某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度．如图，电视塔前有一棵高米的树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上，请你求出陕西广播电视塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】245米 【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 米，米，米， ， 解得米， 米， 米 ，， ． ， ， ， 即， 解得米， 答：陕西广播电视塔的高度为245米． 变式3．（2026·陕西榆林·二模）文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出，根据相似三角形的性质可得，再由，可求出，最后根据可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 解得， 文元塔的高度为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $