第7-12章期末高频易错题综合复习卷一-2025-2026学年七年级数学下册满分培优讲练测（苏科版）

**基本信息** 聚焦七年级下册期末高频易错点，整合代数运算、几何变换与实际应用，通过分层设计与创新情境，提升数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|幂运算、方程、平移旋转|结合清代数学问题考查方程建模，培养数学眼光| |填空题|6|整式化简、命题判断、折叠角度|新定义运算题发展符号意识，强化数学思维| |解答题|8|方程组求解、几何证明、方案设计|“美妙角”概念融合折叠与角度推理，运输方案题体现应用意识，落实数学语言表达|

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年七年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为苏科版七年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年七年级数学下册同步满分培优讲练测 第7-12章期末高频易错题综合复习卷一 一、选择题 1．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 3．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 5．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 7．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．在厨房的橱柜里的两个层板之间的间距为36厘米．现有若干个完全相同的杯子竖直叠放，已知8个杯子竖直叠放在一起总高度为42厘米，2个杯子竖直叠放在一起总高度为18厘米．则两个层板之间最多可以竖直叠放几个杯子（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 11．计算的结果为__________． 12．若计算的结果中不含项，则的值为__________． 13．下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 14．如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠（提示：此时折痕平分使得点，分别落在点，处，若，则的度数是______． 15．小明在某景点文创店花了170元买书签和冰箱贴，已知每张书签20元，每个冰箱贴30元（两样都买），他购买的方案有_____ 种． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 三、解答题 17．计算或化简 (1)； (2)． 18．解方程组： (1) (2) 19．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①__，__；②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 20．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 21．种水果每袋5元，种水果每袋12元， (1)小华用120元买了、两种水果共17袋，求、两种水果分别买了多少袋． (2)若小华用125元购买、两种水果（两种都要买）恰好用完，则、两种水果各可以买多少袋？ 22．某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 23．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 24．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年七年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为苏科版七年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年七年级数学下册同步满分培优讲练测 第7-12章期末高频易错题综合复习卷一 一、选择题 1．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的性质，底数相同幂相等时指数相等，即可推导出和的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．若，，，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则，将所求式子变形为已知幂的组合形式，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， 已知，，， 代入得，， ∴． 3．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式加减、积的乘方、单项式乘法、幂的乘方，依次计算各选项结果，即可得到符合要求的选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴ A不符合题意； B、，∴ B不符合题意； C、，∴ C符合题意； D、，∴ D不符合题意． 4．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 即. 5．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用角的和与差计算求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 6．我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据甜果和苦果的总个数得到第一个方程，再分别计算两种果实的单价，根据总花费得到第二个方程即可 【详解】解：由题意得 7．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：对于选项A：不等式两边同加上一个数，不等号不变，故A正确，不符合题意； 对于选项B：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故B正确，不符合题意； 对于选项C：∵， ∴， 又∵， ∴，故C正确，不符合题意； 对于选项D：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故D不正确，符合题意． 8．在厨房的橱柜里的两个层板之间的间距为36厘米．现有若干个完全相同的杯子竖直叠放，已知8个杯子竖直叠放在一起总高度为42厘米，2个杯子竖直叠放在一起总高度为18厘米．则两个层板之间最多可以竖直叠放几个杯子（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据“8个杯子摞在一起有42厘米高，2个杯子摞在一起有18厘米高”求出一个杯子的高度，两个杯子摞在一起，杯口间的距离，然后根据“总高度不超过36厘米”列出不等式求解即可． 【详解】解：设一个杯子的高为x厘米，两个杯子摞在一起，杯口间的距离为y厘米， 根据题意，得， ∴， 设在一个层板上可以摞着放m个杯子， 根据题意，得， 解得， ∴在一个层板上最多可以摞着放6个杯子． 9．下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据垂线，平行线的相关性质，对顶角的概念，平行公理，逐一进行判断即可. 【详解】解：① 该命题未限定“在同一平面内”，该结论仅在同一平面内成立，因此原命题是假命题； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少条件，因此是假命题； ③ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④ 两个相等的同位角，不是对顶角但相等，因此原命题是假命题； ∴ 四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 10．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据给出的各式归纳出一般规律，再将所求式子对照规律，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数， 则中，最高次项为，对应规律得 ， 即， ∴把，代入规律得． 二、填空题 11．计算的结果为__________． 【答案】 【详解】解： ． 12．若计算的结果中不含项，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式法则与合并同类项，理解结果中不含项即项的系数为0是解题的关键，先根据多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，令项的系数为0，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ， 计算结果中不含项， ， 解得． 13．下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 【答案】② 【分析】根据平行线的判定、直角的性质、实数的性质和平行公理，逐一判断每个命题的真假即可．本题考查命题真假的判断，熟练掌握相关基础定理和性质是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角相等，两直线平行，是假命题． 平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行． ②如果两个角是直角，那么它们相等，是真命题． 所有直角都等于，因此所有直角都相等． ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 若两个实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数． ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题． 平行公理为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 14．如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠（提示：此时折痕平分使得点，分别落在点，处，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ， ， 由折叠得： ． 15．小明在某景点文创店花了170元买书签和冰箱贴，已知每张书签20元，每个冰箱贴30元（两样都买），他购买的方案有_____ 种． 【答案】3 【分析】设购买x张书签，y个冰箱贴，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出他购买的方案有3种． 【详解】解：设购买x张书签，y个冰箱贴， 根据题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， 答：他购买的方案有3种． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 三、解答题 17．计算或化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法与除法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行化简，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入消元法，解方程组即可； （2）加减消元法，解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②，得：，解得：； 把代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）解：， ，得：； 解得： 把代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 19．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①__，__；②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)①3，5；② (2)见解析 【分析】（1）根据题目所给的新定义进行解答即可； （2）根据题意可得，，，则得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， ， 故答案为：3，5； ②根据题意可得：， 解得：； （2）解：，，， ，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则． 20．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 21．种水果每袋5元，种水果每袋12元， (1)小华用120元买了、两种水果共17袋，求、两种水果分别买了多少袋． (2)若小华用125元购买、两种水果（两种都要买）恰好用完，则、两种水果各可以买多少袋？ 【答案】(1)买了种水果袋，种水果袋 (2)可以买种水果袋，种水果袋或买种水果袋，种水果袋 【分析】（1）设买了种水果袋，种水果袋，再列二元一次方程组求解即可； （2）由题可知，再结合为正整数列举求解即可． 【详解】（1）解：设买了种水果袋，种水果袋， ， 解得， 答：买了种水果袋，种水果袋； （2）解：由题可知，为正整数， 时，； 时，； 答：可以买种水果袋，种水果袋或买种水果袋，种水果袋． 22．某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A：20吨/次，B：15吨/次； (2)方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完 【分析】（1）设A种货车每辆每次可以运送物资x吨， B种货车每辆每次可以运送物资y吨，依题意，得到二元一次方程组并求解即可； （2）设安排A种货车a辆，B种货车b辆，可将全部货物一次运完，依题意，得到，得到，推导出a为3的倍数，且，得到或6，再分类计算求解即可． 【详解】（1）解：设A种货车每辆每次可以运送物资x吨， B种货车每辆每次可以运送物资y吨，依题意，得 ，解得， 答：A种货车每辆每次可以运送物资20吨， B种货车每辆每次可以运送物资15吨． （2）解：设安排A种货车a辆，B种货车b辆，可将全部货物一次运完，依题意，得 ， 则， ∴， ∵，且a，b都是正整数， ∴必须是正整数，且， ∴a为3的倍数，且， ∴或6， 当时，， 当时，， 答：方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完． 23．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 24．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $