精品解析：广东惠州市惠州中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

惠州中学2025级高一年级5月期中数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150 分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ） A. 平面ABCD B. 平面PBC C. 平面PAD D. 平面PCD 4. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 28 D. 56 7. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ） A. 点G为的重心，若，则 B. 若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C. 若点O为内一点，且，则 D. 若，则的最大值为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数，则 C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 13. 若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________． 14. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为_______． 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）当时，求k的值； （2）当时，求k的值； （3）若向量且，求实数x，k的值． 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 18. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2025级高一年级5月期中数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150 分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，所以. 2. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 3. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ） A. 平面ABCD B. 平面PBC C. 平面PAD D. 平面PCD 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 由四边形ABCD为矩形得， 因为， 所以平面PAD． 又平面PCD， 所以平面平面PAD． 故选：C 4. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 5. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于A，若，，，则或异面，故A错误； 对于B，若，则存在直线，使得， 由于，则，可得，故B正确； 对于C，若，，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，设， 只有当时，才能得到，故D错误. 故选：B. 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 28 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，， 所以该棱台的体积是. 7. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 8. 在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ） A. 点G为的重心，若，则 B. 若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C. 若点O为内一点，且，则 D. 若，则的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】A项，利用重心到顶点和其对边中点的距离之比为 即可得到结果； B项，使用二次方程的性质证明若 有两解则 ，在 的条件下构造出两解即可；C项，利用向量之间的比值 即可求出面积比； 项，直接证明 即可否定结论. 【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则， 故，即，，所以，A正确； 选项B：首先，且必有两种可能的取值，而满足，即， 故关于的方程必有两个不同的正数解，从而判别式为正数，且两根之积为正数， 即，，结合，得， 另一方面当时，确有两解，所以的取值范围是，B正确； 选项C：若点为内一点，且，延长交于点， 故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而， 即，所以，故，C正确； 选项D：由于， 故由数量积定义得， 由余弦定理化为， 整理得，则，当且仅当时等号成立. 故，即最大值为，D错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数，则 C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数的相关概念及几何意义逐项判断可得答案. 【详解】. 对于A，z在复平面内对应的点为，位于第三象限，A错误； 对于B，因为，所以，所以，B正确； 对于C，z的共轭复数为，C错误； 对于D，的虚部为，D正确. 故选:BD. 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积及利用向量数量积求夹角余弦值的计算方法，可逐个判断选项正误． 【详解】对于A：因为， 由余弦定理， 所以，故A正确； 对于B：因为点在BC上，且， 所以，故B正确； 对于C：因为为AB的中点，， 所以， 则 ，故C不正确； 对于D：由已知，，又，所以， 又， 则， 所以，故D不正确. 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A用等体积法求体积判断；B作出截面图形可判断；C当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球可判断；D把问题转化为线段最值问题即可． 【详解】A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又， 平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 故到平面的距离为，故三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为定值，正确； B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，正确； C：当点和重合时，三棱锥的外接球，即为正方体的外接球， 故外接球的半径为，故外接球的体积为，正确； D：设点到平面的距离为，由， 又，则， 知点到平面的距离， 当在线段上运动时，， 当为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． 13. 若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】首先用坐标表示，再求模. 【详解】，所以. 故答案为；5 14. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图，第一条路径穿过棱，求出此时最短路线长；第二条路径是穿过棱和棱，求出此时最短路线长；第三条路径是穿过棱和棱，求出此时最短路线长并比较大小可得答案． 【详解】由已知得， 只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图， 第一条路径穿过棱，如下图，此时最短路线长为； 第二条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为； 第三条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为． ， 通过比较可知，最小． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题结合生活实际情景考查空间几何体，要求学生了解空间几何体的结构特征，会根据生活实际情境解决路线最短问题． 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）当时，求k的值； （2）当时，求k的值； （3）若向量且，求实数x，k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由，可得，解得． 【小问2详解】 因为，所以，解得． 【小问3详解】 因为， 所以，解得． 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【小问1详解】 证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． 【小问2详解】 如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得； （2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 18. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，求得，即可求解. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在长方体中，且，可得四边形为正方形， 所以为线段中点， 因为点为的中点，则， 又因为平面，且平面，则平面. 【小问2详解】 解：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，且点P为的中点，则， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以，所以故直线与平面所成角为. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简得到，结合和谐向量的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，由，求得，（ⅰ）利用余弦定理和基本不等式，求得，结合，即可求得的最大值；（ⅱ）由，求得，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量为和谐函数的和谐向量， 因为， 所以的和谐向量为. 【小问2详解】 解：由和谐向量的和谐函数为， 因为，可得，其中，可得 所以，解得. （ⅰ）在中，因为，由余弦定理得， 又因为，则，即，当且仅当时“=”成立， 因为点为的重心，可得， 所以 ，即的最大值为. （ⅱ）因为平分且与交于点，可得， 即， 即，即，所以， 由正弦定理，可得， 则 ， 因为则为锐角三角形，可得，解得， 令，可得，则， 所以 ， 由，可得，由于函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以长度的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $