精品解析：广东惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

惠州市华罗庚中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 试卷分数：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间中直线、平面平行的判定定理与性质定理，逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确； 对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误； 对于D，若，则或与异面，故D错误. 4. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 5. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 6. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 7. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由，得是等腰直角三角形，斜边米， 在中，，由正弦定理得， 则米，，因此是等边三角形，米. 8. 在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，，所以，故D错误 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 11. 若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】由， 又，则，故. 13. 在中，已知，角______. 【答案】 【解析】 【详解】因为中，已知， 由余弦定理得， 因为，所以. 14. 正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为________ cm2. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得侧面等腰梯形的上底、下底边长及腰长，即可求出等腰梯形的高即正六棱台斜高，代入面积公式，可求出侧面积，根据上下底面均为正六边形，即为6个全等的等边三角形组成，代入面积公式，即可求出底面积，相加即可得答案. 【详解】如图在正六棱台中， 由题意， 所以侧面的等腰梯形的高即正六棱台斜高，且为， 所以梯形的面积为， 故正六棱台的侧面积为； 由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，即为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为， 同理下底面积为 ， 所以该正六棱台的表面积是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，与的夹角为 （1）求; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，进而得，再由数量积的定义可得； （2）直接根据数量积求向量的模可得. 【小问1详解】 由，得 ， 又因为与的夹角，由平面向量数量积的定义：. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 因此. 16. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中. （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】（1）面积为，周长为 （2）体积为，表面积为 【解析】 【分析】（1）画出原图，根据原图计算出平面四边形的面积及周长； （2）判断出旋转形成的几何体的结构，进而求得体积和表面积. 【小问1详解】 依题意，， 所以，画出原图如下图所示： 所以面积为， ，所以周长为. 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周， 所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图： 所以体积为. 表面积为 . 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18. 在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； 【小问3详解】 因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，， 当时，， 所以当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 19. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． （1）求证：平面 （2）若，求四棱锥的表面积． （3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解； （3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解。 【小问1详解】 取中点，连， 因为点为中点， ，且， 同时因为分别是边的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 ， ， ， 根据对称性有，而， 所以， 所以， 所以， 而， 四棱锥的面积. 【小问3详解】 由（1）知平面， 平面平面，平面， ，， 又，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市华罗庚中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 试卷分数：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 7. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 8. 在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11. 若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________ 13. 在中，已知，角______. 14. 正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为________ cm2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，与的夹角为 （1）求; （2）求. 16. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中. （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 18. 在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 19. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． （1）求证：平面 （2）若，求四棱锥的表面积． （3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $