湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

衡阳县一中2023-2024学年下学期高一期中考试题 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，，且，则角B的大小是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（   ） A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为 C．函数在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 10．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则此三角形有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．， ， B．，， C．，， D．，， 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设函数，，，若，则实数的取值范围是_____________ . 13．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为_________________ 14．两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点，测得，，则两点之间的距离为____________ . 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知向量；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数． (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值． 16．（15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，求周长的取值范围. 17．（15分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．    (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 18．（17分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求角； （2）证明不可能等于3． 19．（17分）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 数学答案及解析 1．【答案】A 【解析】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 2．【答案】D 【解析】设，则， 即，由于，故，解得， 则， 故选：D 3．【答案】D 【解析】由，得的定义域为， 又，故为偶函数，