精品解析：吉林长春市第二实验中学2025-2026学年度下学期高一期中考试数学试题

2025—2026学年度下学期期中考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为. 2. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，根据为直角可得，解出的值即可得出点的坐标. 【详解】设点，则， 由为直角可得，即， 因此，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：A 3. 已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则；（2）若，，，，则； （3）若，，则；（4），，则． 上面四个命题正确的有（ ） A. （1），（3） B. （2），（4） C. （1），（2），（4） D. （1），（3），（4）． 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面平行的性质，线面平行的性质，线面垂直的性质即可判断各选项. 【详解】在（1）中,若，，由面面平行的性质可得，，故（1）正确； 在（2）中，由，，，则， 又因为，且，所以，故（2）正确； 在（3）中，若，，则或为异面直线，故（3）错误； 在（4）中，，，根据线面垂直的性质可得，故（4）正确； 故选：C. 4. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 5. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径， 设底面圆的半径为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：． 故选：A 6. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示， 因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 7. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径. 【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故选：A 8. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得：，设，，，利用三角形面积公式可求出的值，进而可得三边的长，求出周长可判断A；由余弦定理求出角结合三角形内角和可判断B；由正弦定理可判断C；将两边平方计算可判断D，进而可得正确选项. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， 所以， 整理可得，所以，可得：， 所以，， 对于A：的周长为，故选项A正确； 对于B：由余弦定理得：，因为，所以，所以，所以三个内角满足，故选项B正确； 对于C：由正弦定理知，外接圆直径，故选项C正确； 对于D：如图，所以， 所以，即，解得：，所以的中线的长为，故选项D不正确； 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律即可判断A；根据向量夹角的求解即可判断BC；根据投影向量的计算即可判断D. 【详解】A，因为， 当，反向共线时等号成立，故A正确； B：，由与的夹角为锐角得，， 所以，则. 当与共线且同向时，，解得， 所以的取值范围是，B不正确； C，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故C错误； D：在上的投影向量的坐标为： ，故D正确. 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以是负实数，则，故A正确； 令，，因为，则， 所以，即，所以，故B正确； 假设，，满足， 但是，是虚数不能比较大小，故C错误； 假设，由于，满足，但是，故D错误. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A当为中点，为中点时，作出截面判断；B当点重合时，利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；C当为中点，为中点时，利用面面平行的判定定理求证；D求出点的轨迹即可. 【详解】A选项，当为中点，为中点时， 在上取点Q ，使，在上取点T ，使 连接、，则，则四边形为平行四边形，则, 在平面内过点作，交于N，则, 连接，则同理可证, 则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误； B选项，当点重合时，平面， 若是线段的中点，则为和的交点， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证，， 因为平面，所以平面， 即平面，故B正确； C选项，当为中点，为中点时，平面平面， 因为，平面，平面，则平面， 因为，又平面，平面，则平面， 又，则平面平面，故C正确； D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 取线段的中点，连接，则平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上， 该圆分别交于点， 因为，所以，则， 故点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理证明，然后由直角三角形的性质判断球心位置，然后可得体积. 【详解】因为，，，， 所以， 所以， 由直角三角形的性质可知，的中点到的距离相等，即为球心， 所以球的半径为，所以球的体积. 故答案为： 13. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果． 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 14. 记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先对，进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系式计算得出，再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为的关系式，最后用换元法，结合基本不等式计算求解得到最小值. 【详解】，得， 由正弦定理得，， 化简得，. 若，则为钝角，且， 则中至少有一个小于零， 即中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以. 因为， 所以. 令，则，且，即. 因为，所以，即， 所以，即， 所以. 所以的最小值为. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）若，求实数的值： （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据模长求出数量积，结合垂直可求答案； （2）先求，再求，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，即； 因为，所以， ，，解得. 【小问2详解】 ， ， 所以， 设与的夹角为，所以. 16. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】（1），正西方向；（2）东偏北，分钟． 【解析】 【分析】（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位； （2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知，，， 在中，由余弦定理得：， ， 由正弦定理得：， 即， 解得：， ， 船在船的正西方向． （2）由（1）知，， 设分钟后缉私艇在处追上走私船， 则，， 在中，由正弦定理得：， 解得：， ， 是等腰三角形， 缉私艇沿东偏北方向行驶分钟才能最快追上走私船． 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． （1）求b； （2）若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角，再利用正弦定理即可求解； （2）结合条件结合余弦定理化简可求出，的值，再利用等面积法得即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以；又因为外接圆半径， 则由正弦定理可得. 【小问2详解】 由（1）知，，，且， 由余弦定理可得，化简得， 所以，， 的平分线交AC于D，则， 在中，由等面积法得， 即， 即 所以. 18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）设棱与平面交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，根据线线平行可得平面平面，由此能证明直线平面； （2）由条件平面平面，根据面面垂直的性质证明平面，由此证明结论； （3）作点满足，则与的交点即为与平面的交点，从而可求得的值， 【小问1详解】 证明：取中点，连， ，是的中点， ，, 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面， ，平面, 平面平面， 平面，直线平面； 【小问2详解】 因为，所以，又，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 【小问3详解】 作点满足，则,,,四点共面， 又，所以， 所以四边形是平行四边形，则，又， 所以，即，，，四点共面，平面平面， 则与平面的交点必定在上， 所以与的交点即为与平面的交点， 所以，所以， 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. （1）求AD； （2）求点D到平面PBC的距离； （3）设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. 【小问2详解】 在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则；（2）若，，，，则； （3）若，，则；（4），，则． 上面四个命题正确的有（ ） A. （1），（3） B. （2），（4） C. （1），（2），（4） D. （1），（3），（4）． 4. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 5. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 8. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____ 13. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 14. 记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）若，求实数的值： （2）求与的夹角的余弦值. 16. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． （1）求b； （2）若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）设棱与平面交于点，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. （1）求AD； （2）求点D到平面PBC的距离； （3）设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $