精品解析：吉林吉林市毓文中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 2. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为与共线，故，故. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：A. 4. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误. 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 5. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：，得， 由正弦定理：. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型. 6. 如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱锥的性质，求出棱锥的高，进而根据体积最大且高为定值得出最大半径，进而利用圆锥的体积公式计算圆锥体积的最大值． 【详解】已知正四棱锥的所有棱长均为，则底面为边长为的正方形， 作在底面的投影，连接， 则为圆锥底面的圆心和底面的中心，即为圆锥的高， ， 圆锥的高固定， 当底面半径最大时体积最大，底面半径的最大值为， ． 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 8. 已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可. 【详解】对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确. 对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误. 对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确. 对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若有两解，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A；根据余弦定理即可判断B；由已知得，结合正弦函数的性质判断C；根据三角形解的个数有判断D． 【详解】A：由正弦边角关系得，又， 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，正确， B：若，则，即， 所以为钝角，则为钝角三角形，错误； C：由三角形为锐角三角形，则，则， 所以，正确， D：由有两解，则，正确． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足 ，且，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由，故，故，故A正确； 对于B，由的夹角为锐角，得且不共线，则， 解得且， 所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件， 故B错误； 对于C，如图设，，由，得， 取的中点，连接，则有，所以， 即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为， 由重心的性质可知，所以，则，故C错误； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量， 所以，， 所以，即，所以为等腰三角形， 又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量的夹角为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案. 【详解】， 所以． 故答案为：. 13. 已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 14. 已知是锐角的外接圆圆心, 则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设的中点为D，则有，代入，可得（*），由得， 将（*）式两边同乘以，化简得， 即，由正弦定理及上式得， 因为，所以， 所以=== =，故答案为. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2） ；（3）， 【解析】 【详解】（1）由于 为纯虚数，故 且，解得， （2） ,则 ， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故 ，即， 则 ， 因此且，解得， 16. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长 （3）若，，为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，，再由余弦定理，求得，即可求解； （3）根据题意，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. 【小问3详解】 解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【小问1详解】 证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； 【小问2详解】 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以 ； 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 18. 如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小； （3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）时，的面积最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，在中根据余弦定理求出，并得到为直角三角形，进而求出是正三角形，即可得出结论； （2）设，由结合面积公式，以及在中由正弦定理，分别求出，从而得到关于的方程，求解即可； （3）设，由（2）将用表示，在中根据正弦定理，将用表示， 面积可表示为关于的函数，利用三角恒等变换，结合正弦函数的有界性，即可得出结论. 【详解】解：（1）因为，所以． 在中，，，， 由余弦定理，得，即． 因为，所以，， 所以是正三角形，其周长为6，即防护网的总长度为． （2）设，因为， 所以，即． 在中，由， 得．由，得． 因为，所以，，即． （3）设，由（2）知． 在中，由，得， 所以 ， 当，即时，的面积最小， 且最小值为． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． （1）分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； （2）若向量（，，）， 证明： （3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 【答案】（1）5；0 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，因为， 故不共线，又， 所以 ； 又，，所以，故共线， 所以 ； 【小问2详解】 当，不共线时，； 当，共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以，共线时，关系依然成立， 因为向量，且向量， 则， 所以， ， 所以； 【小问3详解】 如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，， 则， 由可得，则. 设，（，，），即得 ，则得， 由可得，即， 由（2）可得 , 因，由可得， 即，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 6. 如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 8. 已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 10. 在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若有两解，，，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足 ，且，则为等边三角形 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量的夹角为，则___________ 13. 已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 14. 已知是锐角的外接圆圆心, 则实数的值为_____. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 16. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长 （3）若，，为的平分线，求的长． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 18. 如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小； （3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． （1）分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； （2）若向量（，，）， 证明： （3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $