精品解析：吉林长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 在正方体中，二面角的正切值为（    ） A. B. C. D. 5. 已知向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不重合的直线，，和平面，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 10. 已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个段中采取分层抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%，60%，50%，下列说法正确的是（ ） A. 体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B. 体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C. 高二段抽取了15人 D. 估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%（百分比保留一位小数） 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ） A. 取得最小值 B. 当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D. 若，则点O的轨迹长为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 13. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 14. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形边的中点M，沿折叠，将用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少______cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，M为线段的中点，，N为线段上的动点． （1）证明：； （2）当N为线段的中点时，求三棱锥的体积． 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 18. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解. 【详解】点对应的复数， 则， 所以. 故选：D 2. 已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为2，从而可求出其体积. 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B 3. 在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线的特征判断即可. 【详解】对于，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 因为直线都在平面内且不平行，所以直线相交，正确. 故选：. 4. 在正方体中，二面角的正切值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 故答案为：D 5. 已知向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，再根据计算出结果. 【详解】由题意得：， 所以. 故选：C 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 7. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不重合的直线，，和平面，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线和平面的相关性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误； 对于C，若，，，，则或相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确. 故选：AD 10. 已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个段中采取分层抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%，60%，50%，下列说法正确的是（ ） A. 体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B. 体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C. 高二段抽取了15人 D. 估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%（百分比保留一位小数） 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分层抽样的知识求得各年级抽取的人数，由此判断C选项的正确性；根据优秀率判断ABD选项的正确性. 【详解】高三人， 高一抽取人； 高二抽取人，C选项正确. 高三抽取人. 高一体质健康水平不优秀的人数为人； 高二体质健康水平不优秀的人数为人； 高三体质健康水平不优秀的人数为人. 所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段，A选项正确. 高一健康水平优秀的人数为人； 高二健康水平优秀的人数为人； 高三健康水平优秀的人数为人. 所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段，B选项正确. 估计该校学生体质健康水平的优秀率为，D选项错误 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ） A. 取得最小值 B. 当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D. 若，则点O的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设N是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体ABMD的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 【详解】选项A中， 将平面沿翻折到与平面为同一平面，则，当D，M，三点共线时，等号成立，故A正确； 选项B中， 设N是的中点，连接，NB， 而正方体的棱长为2，且分别为的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 选项C中，当时，因为CM，AD，AB两两垂直， 所以四面体的外接球的直径，则，此时外接球表面积，故C错误； 选项D中， 由，所以点O在的中垂面上，设的中点为H， 则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，则， 所以点O在以H为圆心，的半圆上运动，点O的轨迹长为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键的得出点首先在面上，进一步得出可确定的轨迹，由此即可顺利得解. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原平面图即可. 【详解】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边（斜边）AB＝5， 故答案为：5. 13. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为， 则. 故答案为：. 14. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形边的中点M，沿折叠，将用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少______cm． 【答案】24 【解析】 【分析】设正方形边长为，由三棱锥的体积，求出的值即可. 【详解】三棱锥中，为中点，连接， ，则， 平面，，得平面， 设正方形ABCD边长为，则，， ，，， 则，则，， ， 得，即. 所以原正方形铁皮的边长是． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，M为线段的中点，，N为线段上的动点． （1）证明：； （2）当N为线段的中点时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可证； （2）根据，利用棱锥的体积公式可求出结果. 【详解】（1）证明：平面，平面，∴， 又，、平面， ∴平面，又平面，∴， 在中，，M为的中点，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴． （2）． 【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明平面得到是解题关键；（2）中，转化为求是解题关键. 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点，连接、，则（或其补角）为异面直线与所成角，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 在直三棱柱中，， 平面，平面，所以，， 在中，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出或； （2）由得到，故，以由（1）知，，且，由余弦定理，由基本不等式得，求出，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，， 则有， 因为在△ABC中，， 所以化简得：， 又，解得：或； 【小问2详解】 由得：， 则，从而， 因为A为钝角，所以由（1）知，，且， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 又b，c可以无限接近0，所以， 从而， 故△ABD面积的取值范围为． 18. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）48 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）将用表示，再利用数量积的运算律求解. （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值． 【小问1详解】 由， 得， 即， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以． 【小问2详解】 由，得， 则， 所以； 【小问3详解】 依题意， ． 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48． 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【小问1详解】 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $