广东东莞市石龙中学2025-2026学年第二学期期中考教学质量自查试卷高二数学

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦导数、概率统计、排列组合等核心知识，通过莲藕种植利润、流感概率等真实情境题，考查数学思维与应用意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数几何意义、极值点判断、分布列性质|第2题结合导函数图象考查数学眼光| |多选题|3题|导数运算、排列组合应用、三次函数性质|第11题以“拐点”定义考查创新思维| |填空题|3题|排列组合公式、二项式定理、导数最值|第14题切线方程与最值结合，体现数学思维| |解答题|5题|概率分布列、函数单调性与极值、导数证明|18题流感概率应用（数学语言表达现实），19题极值点证明（逻辑推理）|

东莞市石龙中学2025-2026学年度第二学期期中考教学质量自查试卷 高二数学 命题人：唐嘉敏 审题人：屈涛 一、单选题 1．已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 2． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 4．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．360 B．280 C．156 D．150 5．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 8．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（    ） A．共有210种不同的安排方法 B．若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法 C．若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法 D．若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法 11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（    ） A． B．方程有三个根 C．若关于的方程在区间上有两解，则或 D．若函数在区间上有最大值，则 三、填空题 12．若，则________． 13．已知，其中，则________． 14．已知函数，，若，则的最小值为______. 四、解答题 15．在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球． (1)求取球后袋子里白球的个数为1的概率； (2)设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 16．已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. (1)求的值； (2)设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 17．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； (3)若，讨论函数的零点个数. 18．春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 19．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 东莞市石龙中学2025-2026学年度第二学期期中考教学质量自查试卷 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D B D A BD AC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得. 【详解】， ，解得. 故选：C. 2．A 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 3．B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 4．C 【分析】分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可. 【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成， 故可以组成个符合条件的数． 故选：C 5．D 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，同时求得参数，再利用导数判断函数的单调性，从而求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 故利润，， 种植3万千克，利润是，即，解得， 故，，则 ， 故当， ，单调递增；当， ，单调递减； 故当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D. 6．B 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 7．D 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 8．A 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 9．BD 【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则以及复合函数的求导法则求解即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确. 故选：BD. 10．AC 【分析】对于A将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有即可判断，对于B先安排甲，再安排剩下的，利用分步计数原理即可求解，对于C既有男生又有女生则有，再安排参加3项活动，根据分步计数原理即可判断，对于D先安排小红，再安排剩下即可计算. 【详解】对于A：将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有，故A正确； 对于B：若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有中排法， 再将剩下的2项活动安排给剩下的6人有，则共有种排法，故B错误； 对于C：若3人中必须既有男生又有女生，则有，故C正确； 对于D：小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加活动中选一项有种排法， 剩下2项活动安排给剩下6个人，则有，所以共有种排法，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可. 【详解】对于三次函数，则，， 若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以， 依题意的极大值点和极小值点分别为，且有， 所以的对称中心为， 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如下所示：      由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确； 对于C，又，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故C错误； 对于D，由， 若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确. 故选：ABD 12．5 【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：5. 13． 【分析】利用二项式定理，结合赋值法，逐项判断即可. 【详解】对于A，，其中，，解得，项的系数为，故. 故答案为：. 14．2 【分析】求导得到，取得到，计算切线得到答案. 【详解】，则，取，故，， 故切线方程为，取，解得， 故的最小值. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键. 15．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解； （2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列. 【详解】（1）设事件A为“取球后袋子里白球的个数为1”， 则， 所以取球后袋子里白球的个数1的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 16．(1)8 (2)①255，②（也正确） 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【详解】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； （2）在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得. 17．(1)增区间，减区间，极小值为，无极大值. (2)图象见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值； （2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象； （3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果. 【详解】（1）由，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间为，减区间为，， 的极小值为，无极大值. （2）由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下： （3）由题，的零点个数等价于与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与无交点， 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与有2个不同的交点， 综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点， 当时，函数有两个不同的零点. 18．(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 19．【详解】（1）若， 所以， 故切线方程为. （2） 令，其判别式， ①当，即时，恒成立，故， 在上单调递增。 ②当，即时：的两根为， 若，则，，在上单调递减，上单调递增， 若，则，在和上单调递增，上单调递减. （3）因为有两个极值点， 所以有两个不等正实数根，即有两不等正实数根， 故，因为，所以， 设 令，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $