广东惠州市惠州中学2025-2026学年高二第二学期5月期中考试数学试题

惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试 数学试题（答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B B A D AC ACD ACD 1.【解】因为Sn=2n2-3,所以4=S3-S,=15-5=10.故选：C. 2【1因为P(5>0-子妆P5<G)-子收P6三G三8)-分子6放海：A 2918 3.【解】由题设f'(x)=6x-"(3),可得f"(3)=18-"'(3),故f(3)=9, 所以f(x)=6x-9,故'(1)=-3， 4.【解】由题意得=3，c2=a2+b=25,所以a=4,b=3,所以所求双曲线的标准方程为 a4' x2y2=1.故选B 169 5.【解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，即上+十c=1解得c=} 42 4 已知随机变量X的期望为1，可得B()=0x+aX1+b 。2x+b×1.化简可得：2a+b=4 2 a b a b 4 b b a 4 b a 根据基本不等式，有40+b≥2,406=2×2=4 b a\ba 所以1A,4ab>14+4)=2,当且仅当b=。，即0=10=2时等号成立.故选：C.一 b aA 6【解1先将6名同学分为112,2或11,3的四组，共有CCCC+CCCC=65种， AiA A 再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有A4=24种，所以共有65×24=1560种.故选B 7.【详解】当x∈R时，f(-x)=(-x)-2cos(-x)=x2-2cosx=f(x),所以f(x)是为偶函数， 又f'(x)=2x+2sinx,当x>0时，令g(x)=2x+2sinx,则g'(x)=2(1+c0sx)≥0， 所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以∫'(x)>∫'(0)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， f1og2=f(-1og,2)=f0og,2), 又0cg2c1e,31.bg,3<ae,4=225.所以g2J0g,ja 第1页共6页 故选：A 8.【解】由题意，可知：当x=0时，g(0)=f(0)-0=0,故x=0为g(x)的1个零点； 故当x≠0时，函数g(x)有4个零点，即g(x)=f(x)-2ax=0有4个非0实数根， 即2a= 2+2x+路x<0 学x>0 有4个非0实数根， 即y=2a与h(x) x2+2x+号x<0 图象有4个交点， x2,x>0 Inx 当x<0时，h)=2+2x+器=cx+12+六≥六 当x>0时，则h()=,令h(=0得x=e, 所以当x∈(0，e)时h()>0,当x∈(e,+∞)时h(x)<0, 则函数h()在(0，e)单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 米2 20 y=h(x) 又h(e）=,h(1)=0,x→0时h()→0，x→+∞时h()→0， 且x>1时h()>0,x→0时，h6)→ 2e ,所以h(x)图象如图所示： y=2a ☑20 由图可得品<2a<六解得品<a<衣故选：D, 9.【解】根据二项式定理 的通项公式为T41=C28-*(←1x, 对于A,常数项为Cg24(-1)=1120,故A正确； 对于B,第四项的系数为C28-3(-1)3=-1792,第六项的系数为C28-5(-1=-448,故B错误： 对于C,因为n=8,所以各项的二项式系数之和为28=256，故C正确； 对于D,令x=1,各项的系数之和为1，故D错误.故选：AC. 10,【解】由题意可知P4)-P(A)-P氏A)-P(BA)-手P(C4)-P(B4)-子，A正确，B 错误； P(BA,)=1,P(B)=P(4)P(BA)+P(4)P(®4)+P(4)P(B)=15C正确： 14 P=智--合正：做达m X- 15 第2页共6页 1【详解】因为a1=2a,+2,所以a1+2=2a,+2,又因为4+2=2，所以+2-2， 41+2 所以数列{a,+2}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a+2=2”,即a=2”-2, 所以a+a,+a++a0=(2+2+2）-2×10 21-29）-20=2026,故A正确： 1-2 由于bn=2log2(2+a)=2log22+2”-2)=2n,b=2,bn+1-bn=2, 所以数列{b,}是首项为2，公差为2的等差数列，即bn=2n, 假设{b}中存在连续三项成等比数列，设为：b,b+1,b+3,则[2(k+1)]=2k.2(k+2), 化简得：4=0，即等式无解 所以{b}中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于4=25-2=30，bs=2×15=30,所以☑=b5,故C正确： 数列{a}的项在数列{b}中对应的位置满足：a,=2*-2=2, 即n=2-1-1,即{bn}中被去掉的项为： k=2,n=1,即第一项b=2,k=3,=3,即第三项b3=6, k=4,n=7,即第七项b2=14, k=5,n=15,即第十五项bs=30, 所以6+4，++c=6+6,+4:人4+h,+6,)=13x2+26）2=1822=160,故D 正确。 12.-2. 13.18 14(0 6 12.【解】令x=0,则a=(1-2×0)7=1, 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1-2×1)7=-1, 所以a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-2.故答案为：-2. 13.【解】当A,B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A,B插空，共有AA=12种排法； 当A,B相邻时，将A,B看作一个整体，并且A在B的右边， 相当于3个人排队，则不同的排法有A=6种；所以共有12+6=18种.故答案为：18 第3页共6页 14【解】由意得x∈(0孕，令厨数g(y=C,而f)amr>f0. sinx 求导得gG=f9in二/9osx-osf)amx-fa>0. sinx sin'x 则局数2)在(0孕上单调端增，8冷=一 6 -=2 6 不等式f(x)<2sinx一 f0四<2台g()<g(乃，因此0<x< ，所以x的范围为(0，) sinx 6 15.【解】(：a,4是函数=x+9-10的两个零点， .a1,a3是方程x2-10x+9=0的两根， 又公比大于1，故1=1，as=9,则q=3 ∴.等比数列{an}的通项公式为m=3”1. (2)由(1)知bm=log3a,+n十2=2n+1, ∴.数列{bm}是首项为3，公差为2的等差数列， ∴.b1+b3+…+bm=2+2n≥80， 解得n≥8或n≤-l0(舍)， 故n的最小值是8. 16.【解】(1)设“甲队以3：0，，3：1,3：2胜利”分别为事件A,B,C, 33327 (2)X的可能的取值为0,1,2,3. 则=0=0+例- ==Pc=27 e到-月g图图 X的分布列为 0 1 2 3 16 3> 27 27 B00=0×16+1×4+2X4+3×-7 27 27 27 99 第4页共6页 17.【解】(1)X的可能取值为0,1,2， c993pw=g-05PK=2Fc0’ P(X=0)= Cξ10 所以随机变量X的分布列为 10 3 其数学期望为E(X)=0x子+1×+2X 14 10 105 (2)用B表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”， 用A,(i=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是i”, A,A,A,两两互斥，∑A=2, i=0 ia咖6-品Pa)-3P40 由个减率公式，-宫)加（启答号号品答易 -n 50 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为 27 50 18【解】设G0,由条件知，=3得c=3. 又c=3,所以a=2,b2=a2-c2=1 a2’ 故E的方程为+y=1, 4 (2)当1Lx轴时不合题意，故设1：y=x-2,P(x1,y1),Q2,y）. 将y=在-2代入+y2=1得1+4kx2-16k+12=0. 4 当4=16(43-3)>0时，则k3 1十4R:=12 x1十x2=16k 1+4k2 W-=VG+P-4=44k2-3 42+1 从而PO=V1+kw-刘=4+14-3 4k2+1 第5页共6页 又点0到直线P0的距离d=+ 2 所以△OPQ的面积Sao%=dIPO=44k2-3 42+1 4 设N4-3=t则P0,sre生4什4 t 因为什4>4，当且仅当仁2，即k=±7时等号成立，且满足0 2 所以，当△OPO的面积最大时，1的方程为=Y -2或y=- 2 2t2 19.【解】(1)因为f(x)=ae2x+(a-2)e-x,则f'(x)=2ae2x+(a-2)e-1, 由题意可得：f'(0)=2a+(a-2)-1=-3,解得a=0. (2)因为f(x)的定义域为(-m,+∞)，且f'(x)=2ae2x+(a-2)e-1=(ae-1)(2e+1), (i)若a≤0，则f(x)<0,可知f(x)在(-o,+∞)单调递减； (i)若a>0,令f'(x)=0,解得x=-lna, 当x∈(-oo,-lna时，f"(x)<0;当x∈(-ha,+o)时，f'(x)>0; 可知f(x)在(-o,-lna)单调递减，在(-lna,+o)单调递增： 综上所述：当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(-o,+o): 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(-o,-na),单调递增区间为(-lna,+o). (3)由(2)可知：当a≤0时，函数f(x)在(-o,+o)上为减函数， 则f(x)至多有一个零点，不合题意，所以a>0, 此时函数f(x)的单调递减区间为(-o,-lnad),单调递增区间为(-lna,+∞)，当x→-m,f(x)→+o, 当x→+0，f(x)→+0， 若函数国两个零点，则fm=fha)-1-la<0, 令8回=1-日ha,8回=京日0，可知g@在0o)l单调递指，H)-0, 则不等式g(a)<0的解集为(0,1)，所以a的取值范围为(0,1). 第6页共6页惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.已知数列{a}的前n项和Sn=2n2-3,则a3=() A.6 B.8 C.10 D.12 2.已知5~N8,g),若P(5>10)=2,则P(6≤5≤8)=() 9 7 7 9 C. D.- 18 18 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),满足f(x)=3x2-xf'(3)+2,则f1)=() A.8 B.-8 C.3 D.-3 4.已知双曲线C:片-1c0,60的嵛近线方程为v= 74, 且其右焦点为(5,0)，则双曲 线C的标准方程为() A卫=1 B=1 =1 D:=1 916 169 34 43 5.设正数ab,随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则上+2最小值为() a b 大 0 a b 1 4 A.1 B.2 C.2 D.4 6.为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现 将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1 名同学，则不同的分配方案的种数为( A.1200 B.1560 C.2640 D.4800 7.已知函数f)=t-2cos,则f2W),fb2fe:)的大小关系是() A.o ）8.ig2小kf2se3 c.f0</22D.s/I8<e3 8. 已知函数f(x) （+20+器xx≤0 Inx> ,g(x)=f(x)-2ax,若函数g(x)有5个零点，则 实数a的取值范围为( A.(品) B. (品) c.() D.(品) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错 的得0分. 9在2：的展开式中，下列说法正确的 A.常数项是1120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 10.有三个相同的箱子，分别编号1,2,3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱 内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从 三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件A表示“取到i号箱(=1,2,3)”，事件B表示“摸 到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则() APB4)-号 B.P(B 4)+P(C4)=P(4) c.P(B)=15 11 D.P(4B)- 4 11.已知数列{a},a=0,a+1=2a.+2(n∈N),数列{b}满足b.=21log2(2+a).若在数 列{也}中去掉所有与数列{a}中某项的值相同的项，余下的项组成数列{c},则() A.41+a+43++40=2026 B.{bn}中存在连续三项成等比数列 C.as=bis D.C1+C3++C0=160 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+asx5+a6x6+ax7,则a1+a2+a3+ as+as+a6+a7= 13.A,B,C,D四个人排成一排，当A,B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有 种 14.已知定义在(0，牙上的函数f()满足f停=-1，且f()amx>f),f(四是f(w的 导数，则使得不等式f(x)<2sinx成立的x的范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知{a}是公比大于1的等比数列，am,s是函数)=x十9-10的两个零点. (1)求数列{a}的通项公式； (2)若数列{bm}满足bm=log3十n十2，且b1十b2十b3十…+bm≥80，求n的最小值. 16.(本小题满分15分) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队 获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2假设各局比赛结果相互独立 (1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率； (2)若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利 方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及均值 17.(本小题满分15分) 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设 经验先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名 教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程。 (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和数学 期望： (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率， 18.(本小题满分17分) 已知点10一2椭圆E:+若=1@b>0的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点，直线AF 2 的的车为0为座标原点 (1)求E的方程： (2)设过点A的动直线1与E相交于P,Q两点，当△OPQ的面积最大时，求1的方程. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e-x. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线x-3y=0垂直，求a的值： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.