精品解析：江西南昌市第二中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学期中试卷 命题人：曹玉璋 审题人：刘三红 一、单选题 1. 若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是平面内的一组基底，所以不共线， 选项A：假设与共线，显然，则存在实数， 使得，即， 因为不共线，所以，无解，即假设不成立， 所以与不共线，可以作为平面的一组基底； 选项B：，即与共线，所以不能作为平面的一组基底； 选项C：，即与共线，所以不能作为平面的一组基底； 选项D：，即与共线，所以不能作为平面的一组基底. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 4. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可. 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，即. 故选：D 5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角可求，再结合正弦定理求. 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，可化为， 又， 所以，因为，， 所以，又， 所以， 又. 故选：C. 6. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，根据平面向量的运算法则，可得 . 故选：B． 7. 已知，，分别为三角形ABC中角，，的对边，已知，，，则的面积等于（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到的关系，根据以及求解出的值，再根据三角形面积公式即可求解出的面积. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形面积的求解，难度一般.求解三角形面积时，注意公式的选择，选择两边及其夹角已知的一组公式. 8. 如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 二、多选题 9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C，由题可得即可判断；对于D，根据投影向量的概念结合条件即得. 【详解】对于A，因为，且，所以与向量共线的单位向量为，故错误； 对于B，因为，所以，即，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故正确； 对于C，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，故错误； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量的坐标为，故正确. 故选：BD. 10. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 11. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】应用同角平方关系、二倍角余弦公式得，A将代入求区间，根据正弦型函数的性质即可求，B、C讨论与的递增区间的关系，结合已知区间的长度为，分析不同情况下的的取值范围，进而确定最大、小值，D由题设知，或，，结合区间长度即可求t. 【详解】． A：当时，由，得，此时， ∴，，于是，正确． 由可得，所以函数的单调递增区间为． 当，即时，则有，而， ∴，即． 当，即时，． ∵函数的最小正周期，而区间的长度为，即， ∴由正弦函数的图象与性质可知，的最大值为，最小值为，故B正确，C错误． D：当时，必有，或，，由于区间的长度为，即，所以，即，错误． 故选：AB 【点睛】关键点点睛：求解最值的关键是想到将区间放到函数的单调递增区间上和函数的关于对称轴对称的区间上考虑；判断D的关键是能够结合的值域和的取值得到，或，，从而得到结果． 三、填空题. 12. 已知，，点满足，则点的坐标是_______ 【答案】 【解析】 【详解】设，因为， 所以，， ，即，解得， 所以点的坐标为. 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将原式分子与分母同除以可得，代入计算． 【详解】， 将原式分子与分母同除以，则 故答案为：． 14. 如图，在中，已知，，，且．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由题意得，的夹角为， ，则， 又，所以， 故，同理， 于是 ， . ， . . 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后利用列方程，解方程求得的值. （2）求得的坐标，利用夹角公式计算出与的夹角的余弦值，由此求得与的夹角. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以， 即， 解得； （2）由，得 ，， 所以，，， 设向量与的夹角为，则， 又因为，所以， 即向量与的夹角为. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设的垂心为，若. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理,由边化角,再根据两角和的正弦公式变换化简,求出结果. (2)根据垂心的向量性质,写出数量积的表达式,求出比值.再根据余弦定理求出结果. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即， 因为，则，故， 因为，所以. 【小问2详解】 ①因为点为的垂心，所以， 则， 得. ②因为，所以由余弦定理得，， 将代入上式，得， 所以. 17. 已知函数 （1）当时，求的值域； （2）若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式可得，再根据求解即可； （2）代入可得，进而求得零点的表达式，根据零点与区间端点的关系列式求解即可 【小问1详解】 因为 . 因为，所以，故， ， 即的值域为. 【小问2详解】 令，可得， 解得. 因为在区间上没有零点， 所以，解得， 因为，所以 又由，得，所以或 当时，； 当时， 综上所述，正实数的取值范围是. 18. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合共线列方程求出的坐标，由向量的模的公式直接计算可得；（ⅰⅰ）利用坐标表示出目标式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的最小值； （2）记的面积为，点是内一点，且，证明： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件化简得到，再由正弦定理和余弦定理，化简得到，结合基本不等式，即可求解. （2）设，，，，，的面积分别为，，， ①由余弦定理和面积公式，即可化简得到. ②由（1）中可得，得到，在，，中求得，，，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理可得， 又由余弦定理得，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. （2）设，，，，，的面积分别为，，， ①因为，所以， 又因为，所以. ②由（1）中可得，所以， 在，，中，同理可得：， 所以，，， 所以， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学期中试卷 命题人：曹玉璋 审题人：刘三红 一、单选题 1. 若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 6. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，分别为三角形ABC中角，，的对边，已知，，，则的面积等于（　　 ） A. B. C. D. 8. 如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 10. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 当时， 三、填空题. 12. 已知，，点满足，则点的坐标是_______ 13. 已知，则___________. 14. 如图，在中，已知，，，且．则________． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设的垂心为，若. ①求的值； ②求的值. 17. 已知函数 （1）当时，求的值域； （2）若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围 18. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的最小值； （2）记的面积为，点是内一点，且，证明： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $