精品解析：江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，且．则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，，满足，，且，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数向右平移个单位长度后可得到的图象 11. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 设扇形的弧长为，半径为8，则该扇形的面积为____. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为________ 14. 如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，，求的值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 18. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． （1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 集合， 所以，. 2. 已知平面向量，，若，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件（数量积为），以及向量的坐标表示. 根据，的坐标，求出向量的坐标，由，则其数量积为，代入坐标即可建立之间的等量关系，从而求出的值. 【详解】由，，则， 又因为，所以， 所以，化简得， 又，因此. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：B 4. 若向量，，满足，，且，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影数量公式结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由投影数量公式得在上的投影数量为， 由题意得，，，， 而， ，故A正确. 故选：A. 5. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是边上靠近点的三等分点， 所以， 又因为， 所以. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数单调性，直接比较，由中间值，比较即可. 【详解】由单调递增，可得， 由单调递减，可得， 则. 故选：B 7. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 8. 如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 二、多选题 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数向右平移个单位长度后可得到的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】观察图象确定函数的最值，利用最值求出判断选项A，观察图象确定函数的最小正周期判断B，并利用最小正周期与的关系求出，由特殊点坐标求出的值，可得的解析式，根据正弦函数对称性判断C，再利用函数的图象变换判断D． 【详解】对于A，观察函数的部分图象， 可得函数的最大值为，最小值为，又，故，A正确； 对于B，设函数的最小正周期为， 观察图象可得，故，B正确 又，所以，故， 由，可得， 故，，又， ，所以， 对于C，令，，可得，， 取可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D错误. 11. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 又，， ，， ， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则，故B正确； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称， 所以，故C正确； 对于D，因为，，由图可知，所以， 所以， 又在上单调递增， 当时，当时， 因为，所以 所以，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12. 设扇形的弧长为，半径为8，则该扇形的面积为____. 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：由扇形的面积公式得： ． 考点：本题主要考查扇形的面积公式． 点评：简单题，扇形面积s，半径r,扇形弧长l的关系是． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 14. 如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，可得，然后结合三角函数的性质，即可求得结果． 【详解】如图所示：    连接，设，，连接，依题意得，，，， 则， 因为，所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由弦化切即可求得结果； （2）由诱导公式化简，然后由商数关系和平方和关系建立方程组，结合条件为第三象限角求得，即可求得的值． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ∵，且为第三象限角， ∴，则，即， ∴，即 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质求出参数，再通过时并结合推导出分段解析式； （2）通过分离参数将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最小值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 18. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． （1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到乙队进入决赛甲队夺冠的概率和乙队没进入决赛甲队夺冠的概率，相加即可. 【小问1详解】 设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． 【小问2详解】 由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 【答案】（1）具有性质 （2）4 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义判断即可； （2）在中取，根据数量积的坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可； （3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，. 【小问1详解】 具有性质. 因为， 所以， 若对任意，存在使得， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为，且具有性质， 所以可取， 又中与垂直的元素必有形式中的一个， 当时，由，可得，不符合题意； 当时，由，可得，符合题意； 当时，由，可得，不符合题意； 所以. 【小问3详解】 证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为1， 所以， 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，显然矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $