江西南昌市第五高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

南昌五中2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 命题人：尤伟峰审题人：宋姿翰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.★已知向量=(3,1)，元=(1,1)，则元·（杭-列）= () A.3 B.4 c.5 D.6 2.★★★设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2B乎，则 A.PA+PB=0 B.PC+PA=0 C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 3.★★若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是 Asin号>0 &c0s号>0 c.tam号>0 Dsin号cos号<0 4★★已知向量d,满足a=1,=1,且a+=,则与的夹角为 R号 C.5π 6 .3 5.★★已知d=(-1,3),6=(1,2),则d在6方向上的投影向量为 A.(-1,1) B.(1,2) C.(2,1) 卫（号】 6.★★★如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每5s转一圈.则该质点到 x轴的距离y关于时间t的函数解析式是 () -2 4 By=2sin(答+》 c.y-2n答t y=sm(4- 7.★★★★设非零向量云，的夹角为6，若a=2,且不等式2+列≥a+对任意6恒成立，则实数入的取值 范围为 () A.[-1,3] B.[-1,5] C.[-7,3] D.[5,7] 8.★★★★半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+A店+AC=0,点P是圆内一点，则P·P6+P方. PC的取值范围为 () A.[-4,14) B.[0,4) ·1 C.[4,14] D.[4,16] 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.★★下列说法中正确的是 ( A.对于非零向量a,若a·b=a·c,则b=c B.若a十b=|a-b,则a⊥b C.已知点P=(1,2)向量m=(-1,1),过点P作以向量m为方向向量的直线l,则点A(3,1)到直线l的距离为 √2 2 D.已知A,B,C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,4),则△ABC为钝角三角形 10.★★★四边形ABCD是边长为1的正方形，M是线段CD上的动点（包括端点C、D),则 () A.AM.BC=1 B.当AD+MC=AM时，M为CD中点 C.MA+MB的最小值为√ D.MA+MB的最大值为√5 11★★★★已知函数@)=s(@>0,若日，∈D(大到，f十2十于十22，则下列命题为真 1 1 命题的是 () A.若D=R,则f()=f(c)=-1 B.若D=0,2x,则0的取值范围为（号，+∞ C.若D=R,则|2元一wx1-ωx的最小值为元 D若D=ax,2an,则的取值范国为9,9]u[罗+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.★★★已知点O(0,0),向量OA=(2,3),OB=(6,-3),点P是线段AB上靠近A点的三等分点，求点P的坐 标· 13.★★★函数fx)=lg(2sinc-1)+√4-x2的定义域为 Inx+x,x>0 14.★★★★若函数f(x)= sin(wz-号)， 一元≤r≤0有4个零点，则正数ω的取值范围是 A[号) a[号号] c停] n[房剖 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.★在平行四边形ABCD中，设AB=d,AD=i,点E是边BC的中点，点F在BD上，且BF=2FD. (1)用a,表示向量A五和AF (2)判断A,B,F三点是否共线？请说明理由。 2证-号五+8-号{+号)=号正…A,B,F三点线 30 ·2 16.★★已知向量d=(1,x),=(2,3). (1)若36⊥（d-,求x的值； (2)若c=(-3,-4),∥(a+),求36+c与a的夹角的余弦值 1R.*★★大函数Fe)=3sin(cx+(o>0.0<9<受)的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点r(0,3)， 与x轴交于点B,C,M为最高点，△MBC的面积为3π， 4 M BO (1)求函数f(x)的解析式： (2若对任意的x∈[0，号]，都有f)+31og,≤3，求实数k的取值范围. 3· 18.★★★如图，圆C的半径为3，其中A、B为圆C上两点 G (1)若cosLCAB=1 ,当为何值时，AC+2A与k4C-AB垂直2 (2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P,交边AC于点Q,且AP=AB,AQ=uAC,求A+u 最小值 (3)若AC+tAB的最小值为1，求AB的值 19.★★★对于分别定义在D1,D2上的函数f(x),g(x)以及实数k,若任取1∈D,存在∈D2,使得f(c1)+ g(x2)=k,则称函数f(c)与g(x)具有关系R().其中c称为1的像 (1)若f(x)=2sinc,x∈R;g(c)=3cosx,x∈R,判断f(x)与g(x)是否具有关系R(15),并说明理由； 2)若f)=2sim(2a+号），e[0,号]：9四)=3v5os(3x+若)，x∈[0，利，且f()与gm具有关系 R),求=看的像： (3)若f()=2sin(2x+5).∈[-至，看]：gm)=-2sin2+asinz+2,eR,且f(o)与go)具有关系 R(5),求实数a的取值范围. ·4 参考答案 1.【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得： 【详解】由元=(3,1)，元=(1,1)，可得元-元=(2,0)， 则元·（元-元)=3×2+1×0=6. 故选：D 2.【答案】B 【详解】B乙+BA=2BP移项得BC+BA-2BP=P乙+PA=0.故选B 3.【答案】C 【分析】根据α的范围求得号是第一、三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断， 【详解】因为u在第一象限，所以2m<u<号+2km,k∈乙， 所以x<号<至+k缸，k∈乙，所以号是第、三象限角， 当号是第象限角时，sin号>0，cos号>0，tan号>0，sin号c0s号>0： 当号是第三象限角时，n号<0，cos号<0，tan号>0，sin号c0s号>0： 综上，an号>0一定成立 故选：C 4.【答案】B 【分析】先根据a+=计算出a.6=子，然后结合向量数量积的公式云6=acos<a,6>求解出cos<a ,>的值，则a与的夹角可求 【详解】由题意得a+6=+2a6+=1+2a6+1=3,所以6=， 即a-6=|os<a,6>-号，所以cos<a,6>3,所以<a,6>-号 故选：B. 5.【答案】B 【分析】根据投影向量公式结合数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为a=(-1,3),6=(1,2), 在5防6的a为原x普-1,3 武 故选：B. 6.【答案】C 【分析】根据题意求出∠PO”=-一工+平七，根据正弦的概念求解点P的纵坐标，即可得解 4 5 【详解】由题意，T=5,所以@=答，所以点P逆时针运动s时，∠P01=一子+夸， 5 所以点P的纵坐标为2sin子+号.所以该质点到轴的距离g-psn(等4-升 故选：C 7.【答案】A 根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为(13-)+(8-4)cos0≥0恒成立，然后结合函数的恒成 立，列出不等式组，即可求解 【详解】由题意，非零向量à，的夹角为6，且a=2, 则ai=|·cos0=26cos0, 不等式2d+≥a+对任意0恒成立， ·5 所以(2d+2≥(d+62,即42+4d.6+≥2+21a.6+, 整理得(13-2)+(8-4)c0s0≥0恒成立， 因为a9e1.,8+8-0即上，可得1s3 即实数A的取值范围为[-1,3]. 故选：A. 8.【答案】A 【分析】设OA与BC交于点D,由OA+AB+AC=0得四边形OBAC是菱形，D是对角线中点，PA,PO: PB,PC用PD和其他向量表示并计算数量积后可得P4·PO+P元.P乙=2P元-4，由点与的位置关系可得 PD的取值范围，得结论 【详解】如图，OA与BC交于点D,由OA+AB+AC=0得：OB+AC=0, D 所以四边形OBAC是菱形，且OA=OB=2,则AD=OD=1,BD=DC=√3， 由图知PB=PD+DB,PC=PD+DC,而DB=-DC, :.P2.P元=P-D=|PD2-D2=|P-3, 同理PA=P元+DA,PO=P元+Dd,而DA=-DO .P4·P6=P-D6=|PD-|D0P=|PD2-1, .PA.PO+PB.PC=2PD2-4, :点P是圆内-点，则0≤P⑦<3，-4≤PPO+P.P元<14， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题关键是是利用线段的中点的性质，把PA,PO,PB, PC用PD和其他向量相加，然后求数量积可化化简. 9.【答案】BC 【详解】略ab=a·c→a·(b-c)=0,即a⊥(b-c)b=c. :cP=5,aP=10,bP=5..△ABC为直角三角形 10.【答案】ABD 【分析】以A为原点，分别以AB,AD所在直线为c,y轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合 向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以A为原点，分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系， B 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，M是线段CD上的动点（包括端点C、D) 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D0,1),设M(x,1)(0≤x≤1)， ·6… 对于A,A=(x,1),BC=(0,1),所以·BC=1,故A选顶正确； 对于B,AD=(0,1),M元=(1-x,0),A=(x,1,由于AD+MC=A, 所以1-a=2,解得云=，则1为CD中点，故B选项正确， 对于C,MA=（-,-1),M厉=(1-x,-1),则MA+厉=(1-2c,-2), 所以☑+=√1-2+4，则当x=之时，+远的最小值为2，故C选项不正确： 对于D,当x=0或1时，MA+M的最大值为√5，故D选项正确： 故选：ABD 11.【答案】ACD 【分析】对A: 1 十 =2可化为[2f(c1)+3]·[2f(c)+3]=1,结合正弦函数值域可得存在c1≠ f(c1)+2f(x2)+2 x2,使得f(c1)=f()=-1,即可得A;对B:结合定义域与正弦函数图像计算即可得；对C:表示出ωxc1十ωx2 w2元≤-5+2k元 后代入计算即可得；对D:结合正弦函数图像可得 -受+2(k+1)r≤2x' 再分k的不同取值计算即可得 【详据1对由+2+万- 1 =2, 则f(x)+2+f()+2=2[f()+2][f(c)+2], 化简得[2f(x)+3]·[2f(x2)+3]=1, 由f(x)=sinwx∈[-1,1]，则2f(x)+3∈[1,5]、2f(ax2)+3∈[1,5]， 则恒有2f(c1)+3=2f(c2)+3=1,即f(c1)=f(x)=-1,故A正确； 对B:若D=[0,2r),需存在c1≠0，使得f(如)=f(c)=-1, 当ae0,2x)时，0ee[0,2w.有2ax>受+2x, 解得o>子，即的取值范围为（子，+∞，故B错误； 对C:由fo)=f)=-l,则u=受+2kxk:e2列， 0=-号+2ksx(ke2列，且k:≠e, 则wm1十wx2=-元十2(61十)元，1≠且1，EZ, 故|2元-wc1-wx=|3π-2(k1+2)x≥3元-2x=元， 当且仅当1十k=1时，等号成立，故C正确； 对D:若D=[w元，2wr],则wx∈[w元，2w2元]， 则/o元≤-号+2m -号+2k+1)x≤2x'k∈Z, 即隋k+圣≤o≤}+2k,k∈2， 有+呈≤号+2水，解得无≥呈即≥2， 若k=2,则生≤a≤子，又w>0,解得T≤u≤： 2 若k=3,则中≤w<号，又w>0,解得变≤w≤ 2 又k≥1时，有k+星-[-号+2k-]=星-k<0,即k+星<-号+2k-1, 故仙≥⑤时，符合要求； 综上所述：的取值范围为[四，]u[西+，故D正确 故选：ACD, 12答案1(9,1) ·7 【分析】由题AB=3AP,设P(x,y),代入坐标运算解方程求出点P的坐标 【详解】由题AB=3AP,设P(x,), 所以OB-OA=3(OP-OA),即(4，-6)=3(-2，y-3), 所3解器片. (y=1 所以点P的坐标为(9 故答案为：(9，) 13答案】（石2] 【分析】要使函数有意义，则有 2二0，可得不等式组的解集，即得原函如的定义域 4-x2≥0 (2sina-1>0 详解1要使原函故有意义，必须有≥。即n> -2≤x≤2 解集为 ∫2km+吾<x<2km+警，(k∈Z) -2≤x≤2，(k∈Z) 取交集可得原函数的定义域为（看，2习 故答案为：（石2] 1答案】[号号) 【分析】首先判断分段函数在x>0部分单调且仅有一个零点，因此f(c)在区间[-元，0]上需有3个零点，将区间 [一元，0]代入si(x一号)，令其泡含正弦函数的三个零点但不包含第四个，得到关于知的不等式组，通过求解该 不等式组确定ω的取值范围，结合单调性与零点分布求出ω的取值范围. 【详解】函数y=lnc,y=c在(0，+∞)上单调递增， 则函数g()=nx十x在0，+0)上单调递增，而g)=-1+0,g1)=10, 则存在∈（日，1.使得=0，函数fe在(0，+w上有1个零点 由函数fo)有1个零点，则函数fa)=simm-号)在[-元，0有3个零点， 由-x≤≤0,0>0，得-0-5≤m-号≤-行， 则 /-πω-5>-4玩 w-≤-3π 解得？≤a<号，所以正数仙的取值范围是[骨，号 3 故答案为： 「811〉 3’3 15答案】1=号：2 【详解】 (1)如图：A 由题意：A应=4正+丽=A店+子BC=à+6. 正=店+B丽=丽+}而=丽+}（厨+0）=号店+号心=号五+}3 16【答案】z=号 ·8 (2)417 17 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算，即可求解； (2)根据向量平行的坐标运算求出x,再根据向量夹角的坐标运算可得结果 【详解】(1)由361（a-),可得36.(d-=0,即a.-=0: 又a=(1,x),6=(2,3),所以d6=2+3,=|=2+32=13, 所以2+3-13=0，解得。=号 (2)因为a=(1,x),c=(-3,-4),所以d+c=(-2,x-4), 又∥（a+),所以-2×3-2(x-4)=0,解得x=1,所以d=(1,1). 又36+=(3,5)， (36+)d 所以cos(36+c,a)= 3×1+5×1 8=7 36+d:a V3+5+平2 17 所以36+与à的夹角的余弦值为y7 17 17.【答案】(1fo)=3sim(2x+5） 2[3] 【分析】(1)根据三角形BC的面积求得BC,进而求得w,利用点F求得P,从而求得f(x)的解析式， (2)先求得f(如)在区间[0，]的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式f(m)+31gk≤3，根据恒成立 问题以及对数不等式等知识求得正确答案 【详解】（①由题意可知：△MBC的面积S=号×3BC=3红，可得BC=乏， 所以周期T=元=2红，则w=2, 由f0=3mg=3,得smp=9,又0<9<受，于是g=号， 所以f()=3sin(2m+): 3 2)由x∈[0，号]，则(2x+5）e[背小，得0≤3sin2x+5)≤3， 即0≤f(x)≤3.由f(x)+3logk≤3，得-3≤f(x)+3log3k≤3， 即-3-fx)≤3logk≤3-f()在x∈[0,5]上恒成立， 亦银即[-3-f(x)]max≤3logk≤[3-f(c)]min, 因为[-3-f(x)]max=-3,[3-f(w)]min=0, 所以-3≤31ogk≤0，解得号≤k≤1， 即实数k的取值范围是[号，1] 【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数f(x)=si(wz+p)的解析式，其中w往往是通过周期，用 T=2红来进行求解，”往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解求解不等式恒成立问题可转化为函数的最 值来进行求解 18.【答案】(1)k=1 13 2晴 (3AB=4W2 【分析】(1)利用余弦定理求出AB的长，利用平面向量数量积的定义可求出AB·AC的值，由已知可得出 (AC+2AB)·(kAC-AB)=0,利用平面向量数量积的运算性质可得出关于k的等式，解之即可； …9 2)由垂心的性质推号得出AG=吉A+吉AC,由P、G、Q三点共线，推导出片+是=3，将代数式+u 与号（分+）相乘，展开后利用基本不等式可求得1+：的最小值； 3)设AB=m(m>0),推导出A店.Ad=|A正，利用平面向量数量积的运算性质可得出正+tAC= √mt+分+g-T,再结合二次函数的基本性质可求出4店+tA到的最小值为1可求得m的值，即为所求 【详解】(1)因为CA=CB=3,cos∠CAB= 3 所以由余弦定理得CB2=AC°+AB2-2AC·AB·cOs∠CAB, 即9=9+AB-2×3×AB×分，即AB-2AB=0,解得AB=2, 由平面向呈数呈积的定义可得A店.AC-,ACos∠BAC=2×3×号=2， 若AC+2AB与kAC-AB垂直，则(AC+2AB)·(kAC-AB)=0, 所以kC+(2k-1.AC-2=0,所以k+22k-)-8=13k-10=0,解得k=吕， 即当k=吕时，C+2店与kC-丽垂直 2因为G为△A4BC的心，所以G-号·号（花+A0-号丽+号4C, 又因为示-d0-A记，所以AG-专品+号4C-品示+0， 由于P、G、Q三点共线，所以存在实数t使得PG=tP风， 所以AG-AP=(A@-AP),化简为AG=(1-t)A下+tA, 因为AP、AQ不共线，所以， ∫a=1-t 金：，所似品+品-L所以片+士8 显然>0，>0则+=吉a+只+)-号（2+发+分)≥号(2+2√偿）=青 [A=兰 当且仅当+-3时，即当=4=号时，+取最影小值青 A>0,4>0 (3)设AB=m(m>0),取线段AB的中点E,连接CE,则CE⊥AB, 则AdA店=(A+Ed·A店=A正店+Ed.A店=A, 又AC+tA=√(AC+tAB=VAC+2tAB.AC+tAB=√9+tA+eA =v0+m+m-√mt++g-四， 所以当=-号时，AC+t有最小值√9-Y,所以V9-四=1，解得m=4W2, 即AC+tA取最小值1时，A=4W2. 19.【答案】(1)不具有，理由见解析； 2或号或： (3)a≥6或a≤-6， ·10 【分析】(1)根据具有关系(15)的定义及三角函数的值域判断即可； ②)根据具有关系风)及三角函数如的性质计算即可： (3)利用三角函数的性质先确定f(x1)∈[-1,2]，根据具有关系R(5)的定义得出5-g()2[-1,2],再根据二次 函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【详解】(1)f(x)与g(x)不具有关系R(15), 理由如下：x∈R时，f(x)=2sin∈[-2,2]，g(x)=3cos∈[-3,3]，所以f(c1)+g(c∈[-5,5]<15， 则f(x)与g(x)不具有关系R(15);: (2)由题意可知f)+g-52-2sim2×若+后)+35cos3+若) 2 =v5+3v5co3m+6, 所以co3a+若-23+若=+肾+2， 又e[0,所以3+吾[后g], 解之得=后或号或， 即的一看的悠为语或号或竖： 3)对于x∈[-，]，则2x+号∈[-石，]，所以f)=2sn(2x+行)e[-1,2], 即ve[-若]fae[-1,2, 因为f(x)与g(x)具有关系R(5), 所以要满足题意需彐x2∈R,使得[-1,2]二5-g(x)即可. 令5-g(x)=2sin'x-asinz+3(x∈R), 令t=sinr,则t∈[-1,1]，设h(t)=2t-at+3(te[-1,1]), ①若是≤-1，即a≤-4时，h(t)e[h(-I,h(1]=[5+a,5-al, 则5+821a-6 ②若是≥1，即a≥4时，ht)eh(1,h(-1]=[5-a,5+a], 则/5+a≥2 5-a≤-19a≥6， ®若-1<是≤0，即-4<a≤0时，h∈[h),h1]=[3-8,5-a], -号≤181g或a3 则 5-a≥2、a≤3 a≤-V2,显然无解， ④若0<9<1，即0<a<4时，h团c[h),h(-1]-[3-g,5+a], 2高2黑 则 综上所述：a≥6或a≤-6， ·11