湖南衡阳市耒阳市第二中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

HUN202605 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自已的个人信息填写在答题卡上，并将条形码光贴在答通卡上的指定 位置。 2.回答选举题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题耳的答案标号涂黑。如霄 改动，用搀皮擦干净后，再进涂其他答策标号。回答非进择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.1+2i -1+i= A2- B2+宁 C. D+2 2若集合A=-x-6≤0，B={x≤0}，则AnB= A.[1,3) B.[1,3] C.[3,5) D.1-2,5) 3.函数(x)=2-x的图象在x=1处的切线在y轴上的截距为 A.2 13.2ln2 C.2ln2-2 1D.2-2ln2 4.已知向量m=(3,-1),n=(1,2),p=(-2,4),若(2m+n)∥(p-k},则实数k的值为 A.1 B.1o C.-2 D.2 5.为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演.现有4架不同型号 的四旋辩无人机和3架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示.要求任 意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有 A.72种 B.144种 C.I440种 D.5040种 数学第1页（共4页） 6.如图，圆台O,0的高为√15，QP是母线.0，Q=3.0P=QP.现在将圆台的侧面沿QP剪开， 并展开成平面图形，点P在侧而展开图中对应的点为P,P,则线段P,P2的长度为 A.162 B.16 G.8v2 D.8 7.甲、乙两人进行抛股子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向 上点数相等为平局)，然后蛛续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮垃掷后 游戏结束的概率为 照 B器 c照 路 8若a,be(0,),且口：血（0b=1,则下列名式一定成立的是 6 A.b>a B.b<a C.b=a D.a+b<l 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.大量临床数据显示，某年胺段人群空腹血耕检测值X(单位：mml/T.)近似服从正态分布 N(5.2,0.32),则 参考数据：若X~N(,σ2），则P(u-2o写Xu+2g)0.9545,P(u-3σX+30） 0.9973. A.该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 .该年龄段人样空腹血糖檢测值的力差为0.3 C,该年龄段人群空腹血糖检测值在4.6~5.8的比例约为95.45% D.该年龄段人群空腹血糖检测伉高于6.1的比例约为0.27% 10.已知双曲线C关于x轴、y轴均对称，若C过点(2,3)，则C的离心率可能为 2 C.2/13 5 D.5 数学第2页（共4页） 11.在锐角△ABC中.内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,记△ABC的面积为S,周长为L,重 心为6，若ac a+c+b= 3,c=2,则 .-a+c-6 A.B=3 .S的取值范商是停 C.L的取值范周是(3+3,6+23) D.4G的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在等比数列引a|中，a1=4,a4=2,则a5= 13.已知抛物线G:2=4x的焦点为F,准线为，点P在C上Π位于第-象限，0为坐标原点. 设∠PFO的平分线交C于点M,交1于点N,若IWF=3MFI,则IPFI= 14如图，点1，B.C是函数)=n(ar+o(。>0)的图象与直线于-亭的相邻的三个交点。 D0,-}是)的图象与y箱的交点若BC1-h81=胃，则-引- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知等差数列：a,}的前n项和为S.,5S4=0,a。=1-2a1- (1)求an与S: 《2)若6，=1+。求16，的前n项和1 0e-l4n+2 16.(15分) 已知国G号+号=1(a>60)的离心率为要.且C的能点与双自线G号-y=1 的焦点重合 (1)求C,的方程： (2)若过点M(1,0)且与C2的一条渐近线平行的直线与C,交于A,B两点，0为坐标原 点，求△OAB的面积 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四校锥P-ABCD中，侧而PAD1底而ABCD,△PA是边长为2的等边二们形，四 边形ABCD为直角梯形，且BC∥ADAB⊥AD,AB=BC=1,E是棱PD上一动.点： (1)若E为棱PD的中点，证明：CE∥平面PAB: (2)若E为校PD上苹近P点的二等分点，求平而EBC与平而ABCD夹角的众弦值. 18.(17分) 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加.考虑一个由两个纠缠量子比特构成的 系统，对其进行投影测量.每个量子比特的测量结果记为0或1.已知第一个量子比特测显 结朵为0的概率为p(0<p<1),测承结朵为1的概率为1-p.若第一个量子比特测量结 果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为9：若第一个量子比特测量结果为1，则 第二个量子比特测量结果为0的概率为2· (1)在两个量子比特测量结果柑同的条件下，求第一个量子比特测量结朵为0的概率， (2)设=2，随机变量X表示两个量子比特的测量结果之和， (i)求X的分布列； (ⅱ)在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变 9:,92,且91,92∈(0,1》，91+2=1，D(X)<0.4,求1的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=反+是-2c,a∈R (I)讨论(x)的单调性： (2)若方程)=：有实根，求a的取值范围： (3)若函数(x)=八)+2al血x+2c有2个极值点药西，证明：()+()>6-16血2 数学第4页（共4页）HUN202605 高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题透析本题考查复数的运算， 解析 12+20》0n÷2-分2 -1+i 2 2 2.答案B 命题透析本题考查集合的交运算. 解析由题意得A=[-2,3],B=[1,5),因此A∩B=[1,3]. 3.答案D 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析由)=2-，得了()=2h2-1,设切线在)销上的截距为6，则2。=了(，即=2h2 1,解得b=2-2ln2. 4.答案D 命题透析本题考查平面向量的坐标运算和两向量平行的等价条件. 解析因为2m+n=(7,0),p-kn=（-2-k,4-2k),又(2m+n)∥(p-kn),所以7×(4-2k)-0×(-2 k)=0,解得k=2. 5.答案B 命题透析本题考查排列组合的应用. 解析先排列4架四旋翼无人机，有A:=24种方法，再在这4架无人机形成的3个空隙中（不含两端）排列3 架六旋翼无人机，有A=6种方法，故不同的飞行队形有24×6=144种. 6.答案A 命题透析本题考查圆台的结构特征及相关计算， 解析如图1，在圆台的轴截面中作QH⊥OP于点H.设HP=x,由题意得OP=QP=3+x,QH=√I5,由勾股定 理可得15=(3+x)2-x2,解得x=1,所以0P=QP=4.侧面展开图如图2，Q,Q2的长为6π，P,P2的长为8π，所 0-=子又AQ=4,所以4机=6，所以P=音=子所以RA==6a 一1一 0 0 0 Q p 图1 图2 7.答案C 命题透析本题考查概率的计算 感解折每轮游戏甲件或乙胜的概率均为。X6·平局的概率为假设第3轮抱郑后游戏结束第轮 胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为7×音×音-院同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜 的概率也为73所以所求概率为82 864 8.答案B 命题透析本题考查构造函数、利用导数研究函数的单调性，证明不等式， 解析由已知可得cosa=a,sin(cosb)=b,设f(x)=x-sinx(0<x<1),则f'(x)=1-cosx>0,f(x)在(0,1） 上单调递增，所以f(x)=x-sinx>f(0)=0,即x>sinx,所以b=sin(cosb)>sinb,所以sin(cosb)-sinb>0= sina-sina=sin(cosa)-sina.令g(x)=sin(cosx)-sinx,则g(b)>g(a),易知g(x)在(0,1)上单调递减，所 以b<a. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案AC 命题透析本题考查正态分布： 解析对于A,由题知u=5.2,故A正确； 对于B,由题知σ2=0.32，即方差为0.32，故B错误； 对于C,P(4.6≤X≤5.8)=P(u-2o≤X≤4+2σ)≈0.9545=95.45%，故C正确； 对于D,P(X>6.1)=-P(L-30≤X≤L+30≈1-0,973=0.135%，故D错误 2 2 10.答案BCD 命题透析本题考查双曲线的几何性质。 解析者编点作销上设双商候方君为号-专1，代入(2,3)，整理可得心兰g所以。=。+ 6+36,从而离心率e=√。=√4 b2+9 、B+3、少若焦点在y轴上，设双线方程为2 的-=1，代入(2,3)， 一2 11.答案ACD 命题透析本题考查獬三角形 +-at与白，可得(a+eP-=3c,即心+d-公=c,由余孩定理可得sB: 解析对于A,由，c 正公-宁又△M0C为钱角三角形所以B=号，故A正确： 2ac 对于B,由正弦定理，可得a=4_2如(T-号-C 23 2sin C sin C sin C sin C sin C 0<6<, BcC+sinC】+台C因为△ABC为锐角三角形，所以 sin C 解得石<C<受，则amC>马 3) <-c< 0<品。，故a=1,4)所以S 2 acsin B=3 的取值范围为 2)故B错误： 对于C,由余弦定理可得b2=a2+4-2a=(a-1)2+3,由对B的分析可知ae(1,4),所以b2∈(3,12)，且b2随a的 增大而增大，则b∈(3,23)，所以a+b+c的取值范围为(3+√3,6+23)，故C正确； 对于D,设BC的中点为D,因为G是△ABC的重心，所以AG=号AD,在△ABD中，由余弦定理可得AD=2+ (受)-2c·号·cosB=女2-a+4=子(a-2)2+3,故当a=2时，4D取得最小值5，此时Ac的最小值为 ，故D正确 23 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案1 命题透析本题考查等比数列的基本运算. 解析由题意知a2,a4,a6成等比数列，所以a6=1. 13.答案4 命题透析本题考查抛物线的方程与几何性质. 解析由题不妨设IMFI=m(m>0),则IMNI=2m.过点M作MH⊥l于点H,则IMFI=IMHl=m,所以cos∠NMH= =,则LNMH=60°，所以∠NPO=∠NPP=LNMH=60,过点P作PDLU于点D,则APDF是等边三 角形，∠PFD=∠PFV,则N点与D点重合，所以IPFI=INFI=4IOFI=4. 14.答案5 2 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. —3 解折令s)=m(o+p)=马，可得am+p=号+2红或等+2m,ke乙，由题图可知，a此，+p= 3,rB+ Fae+p-所以1Bc-貂.lMB1=元因为Ic1-1hBl=号故e=4因为0)=-令.即np 3w ,又因为点0在单调递减区间上所以e可取-则风)=m4k-）,从面人-）-受 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查等差数列的通项公式与数列求和. 解析(1)设{an}的公差为d. 4a1+6d=0, 由S4=0,a6=1-2a1,得{ 解得a1=-3,d=2,… (3分) la1+5d=1-2a1, 所以an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5,…(4分） 8=matnDd=12n4n 2 2 (6分) (2)由(1)得an+1=2n-3,n+2=2n-1,…（7分） 1 所以&=1+2a-2n-d=1+2a-32）: (9分) 所以.=n+2(-1-1+1-分+号-方*…+232 =a+2（-1-2n)=32n9 2n2-2n … (13分) 16.命题透析本题考查椭圆与双曲线的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系. 解析(1)由题意知G:号-y=1的焦点坐标为（±2,0）， 所以C1中c2=02-b2=4,… (2分) 由℃，的离心率为5得e=片=。- 5 …(4分）》 a 所以a=√5，a2=5,b2=1, 的方程为ty三l.… (6分) (2)由题知C,的新近线的斜率为±，设A(,),B(), 由对称性，不妨设直线B的方程为y三名(x-1),即元=3y+,…… (8分) 与号+=1联立消去，得4+-2=0， 一4 所以+为= 1 4%=- 2 (11分) 所以-⅓1=+⅓-方√后+2-， 3 4 (13分) 所以△048的面积S=之10M1l-=子×1×至=图 4 8 …(15分) 17.命题透析本题考查线面平行的证明及利用空间向量求两平面的夹角. 解析（1)如图，取PA的中点F,连接BF,EF. 由E为PD的中点，F为PA的中点，BC∥AD,且AD=2,BC=1, 可得EF∥AD/BC,BF=2A0=1=BC. (2分) 所以四边形BCEF为平行四边形，故CE∥BF. (4分) 又BFC平面PAB,CE平面PAB,所以CE∥平面PAB.… (5分) (2)取AD的中点0，连接P0,OC. 由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以P0⊥平面ABCD.…（7分) 由AO=BC=1,A0∥BC,得四边形ABC0是平行四边形， 于是OC∥AB,又AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两互相垂直.…(8分) 以0为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 42 D 则B1,-1,0,c1,0.0),001,0),P0.05).032） (9分) 所以成=01,0)成=(-1，号，2） (10分)》 设平面EBC的法向量为n=（a,b,c), rm·BC=0, b=0, 则 即 m·B2=0, ,,2 -a+ 3 3℃=0， -5 令c=1,可得m=(20, （12分) 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1): (13分) 设平面EBC与平面ABCD的夹角为O, 则cos0= lm·l 111 lml·lnl 7 3+12 2 所以平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值为2I 7 (15分) 18.命题透析本题考查条件概率和离散型随机变量的分布列与数学期望. 解析（1)记事件A=“第一个量子比特测量结果为0”，事件B=“第二个量子比特测量结果为0”，事件C= “两个量子比特测量结果相同”， 则C=AB+AB, …(2分) P(C)=P(AB+AB)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=pq,+(1-p)(1-q2), P(AC)=P(AB）=p91,… (4分) 所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为 风a10)%号-网+I- p91 (6分) (2)(1)X的所有可能取值为0,1,2，… (7分) P(X=0)=P(AB)=g,=号 2… (8分) P(X=1)=P(AB+AB)=p(1-q1)+(1-P)9= 1-91+92 2 …（10分) 1-92 P(X=2)=P(AB)=(1-p)(1-9)=2, (11分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1-91+92 1-92 2 2 2 …(12分） (i)(i)得，(X0=0×号+1×1-丝42×122.3-0+2-3号=1,14分) 2 2 2 所以D(X0=0-1炉×号+(1-12x-g+2+(2-1×1+92=9<04,…(16分) 2 2 所以91的取值范围是(0,0.4).… …(17分)》 6 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值点问题. 解析(1)由题知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 1 a_x-a 22x2x (2分) 若a≤0，则f'(x)>0f(x)单调递增， 若a>0,当xe(0,a)时，f'(x)<0f(x)单调递减，当xe(a,+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增 综上，当a≤0时f(x)在(0，+o)上单调递增，当a>0时f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增 …（5分) (2)由)-22=0，得a0-x+2e压 (6分) 2x 设g(x)=是-x+2eE,则g()=2-血生+e=区 2x 4x 当x∈(0，e2)时，2-lnx>0,e-E>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，当xe(e2,+0)时，2-lnx<0,e-E<0, g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(e2)=e+L e, …(9分) 又x0+时，g(x)→-∞， 所以a的取值范国是(-，子+} (10分) (3)由题可()=6+会+2h,则()=，+会-+医=4， …（11分) 2E2x√R'2x2x√E 由题知x1,2是方程x+a:-a=0,即()2+a√c-u=0的两个根， 所以a2+4a>0,x,+√x=-a>0,x·√2=-a>0, 所以a<-4,xx2=a2,x1+x2=(√+√)2-2√x·x=a2+2a,…(13分) 所以F()+F(好)=，+，+a(++aln(,) x,2 =2+2a+a2+20】+aln2=d2+3a+2+2an(-）.… (15分) 2 设G(a)=a2+3a+2+2aln(-a),则G'(a)=2a+2ln(-a)+5, 设Ha)=C(a),则(a)=2+2-2a+山>0在(-0，-4)上恒成立， a 所以C(a)在(-0，-4)上单调递增，6(@)<G(-4)=-3+2n4=h<0, 所以G(a)在(-∞，-4)上单调递减，G(a)>G(-4)=6-16n2, 所以F(x)+F(x3)>6-16ln2. (17分)》 7