湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 衡阳县四中2026年高二数学期中试卷，以人工智能训练时间计算、池塘植物生长等现实情境为载体，考查复数、函数、概率等知识，注重数学眼光观察与思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、集合运算、向量化简等|结合正态分布、线性回归考查数据意识| |多选|3/18|集合关系、二项式定理、三角函数性质|设置部分选对得分，区分思维层次| |填空|3/15|向量数量积、函数单调性、排列组合|考排列组合中老师相邻女生不相邻问题| |解答|5/77|三角函数、解三角形、函数最值、立体几何、概率分布|以围建矩形场地费用优化（模型应用）、三盒取球分布列（数据分析）为主，梯度分明|

衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟，命题人：杜超群） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数,则z的虚部为(      ) A. B. C. D. 2．已知集合，，则(      ) A. B. C. D. 3．向量,化简后等于(      ) A. B.0 C. D. 4．若函数,则(      ) A. B.2 C.3 D.4 5设函数是定义在R上的奇函数,且,则(      ) A. B. C.2 D. 6．在某项测量中,测量结果服从正态分布,则(      ) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5 7．为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x（单位:）与水生植物的株数y（单位:株）之间的相关关系,收集了4组数据,如表格所示,得到y与x的线性回归方程,则(      ) x 3 4 6 7 y 2 2.5 4.5 m A.5 B.6 C.7 D.8 8．人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法,实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间（单位：h）,其中为常数.在此条件下,训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为,当训练个单位的数据量所需的时间为时,(      ) A.10000 B.15000 C.20000 D.30000 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知集合,,若,则a的取值可以是(      ) A. B.0 C.2 D. 10．在的展开式中,下列说法正确的是(      ) A.一共有5项 B.所有项的系数和为0 C. 第3项为 D.所有项的二项式系数和为32 11．已知函数，则下列结论正确的是(      ) A.函数的最小正周期为 B.将函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象 C.函数的图象关于点对称 D.函数在区间上单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，满足，，，则________. 13．若函数在区间上不是单调函数，那么实数a的取值范围是__________. 14．某演讲比赛结束后,2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念,则2位老师相邻, 且3名女同学不相邻的站法有_________种.(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知角θ的终边与单位圆相交于点. (1)的值 (2)求的值； (3)求的值. 16．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,,.求： (1)的值； (2)c的值； (3)边上的高. 17．围建一个面积为的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总费用为y. (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 18．如图在棱长为1的正方体中,E,F,G分别是,,的中点. (1) 求直线BD与所成角的余弦值 (2) 求证：CF⊥平面DEB; (3) 求三棱锥B-EFC 的体积; 19．甲盒中有3个黑球,3个白球,乙盒中有4个黑球,2个白球,丙盒中有4个黑球,2个白球,三个盒中的球只有颜色不同,其它均相同,从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数,求的分布列及数学期望. 衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学参考答案 1答案：A 解析：因为,所以z的虚部为2, 2.答案：A 解析：. 3答案：C 解析：, 4.答案：D 解析：由题意得,则. 5.答案：D 解析：函数是定义在R上的奇函数,则,且, . 6.答案：D 解析：服从正态分布,所以由正态分布的对称性知． 7.答案：C 解析：由题意可得,, 所以样本中心点为,又y与x的线性回归方程, 所以,解得. 8.答案：A 解析：依题意,得, 则有,解得,. 当训练m个单位的数据量所需的时间为时,则有,解得. 9.答案：BC 解析：因为,又,, 所以或, 解得或或, 当时,,,满足要求, 当时,,,满足要求, 当时,,与元素互异性矛盾, 10.答案：BD 解析：因为的展开式共有6项,所以A不正确; 通项公式为,令可得第三项为,C不正确; 令可得所有项的系数和为0,B正确; 所有项的二项式系数和为,D正确. 11.答案：ABC 解析：对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得到= 对于C，将代入检验可得， 因此函数的图象关于点对称，即B正确； 对于D，当时，； 易知在上不单调，所以D错误； 12.答案：1 解析： 13.答案： 解析：函数在区间上不是单调函数，说明其图象的对称轴满足，所以. 14.答案：288 解析：将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列,共有种方法, 再让3名女同学插空,有种方法,所以满足条件的站法有种. 15.解析：（1）因为角θ的终边与单位圆相交于点,所以,= (2),, 所以. (3)== 16答案：(1) (2) (3) 解析：(1)由正弦定理,得,解得. (2)由余弦定理得,即, 整理得,解得或（舍去）,所以. (3)由(2)知. 三角形面积. 又边即边,设边上的高为, 则. 故边上的高为. 17.答案：(1) (2)当时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. 解析：(1)如图,设矩形的另一边长为, 则, 由已知,得,所以.(x>2) (2), ,当且仅当时,等号成立. 即当时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. 18.解析：（2）在正方体中，DD1⊥底面ABCD, ∴DD1⊥CF 又F为BD中点，所以CF⊥DB,且BD∩D1D=D,BD,D1D在平面DEF内 ∴CF⊥平面DEF (3)VB-EFC=VE-BFC=S△FBC|DE|= 19.答案：(1) (2)分布列见解析，E()= 解析：(1)记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为,三球中至少有一球为白球记为事件M, 则；；. ； (2)由题意可知,随机变量的可能取值为0,1,2,3. , , , . 所以,随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 P ∴E()= 1 学科网（北京）股份有限公司 $