精品解析：湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期中质量监测试卷高二数学

湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期中质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 198 2. 设为虚数单位，则的展开式中含的系数为（ ） A. B. 20i C. -15 D. 15 3. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 4. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. B. C. D. 5. 若实数，则等于(　　) A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 6. 4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　) A. B. C. D. 7. 下列说法正确的个数为（ ） ①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 ②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 ④有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 某公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润/亿元 2 3 4 5 7 利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该公司第7年的利润约为9亿元 11. 下列结论正确的有（ ） A. 若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4 B. 若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C. 若，，，则 D. 在的展开式中，项的系数为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____________． 13. 随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且，则期望___________． 14. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动． （1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ （3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 16. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数最大. 17. 某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 （1）若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； （2）若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 18. 2021年3月北京市政府为做好“两会”接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响． （1）求该海产品不能销售的概率； （2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损元（即获利元）．已知一箱中有该海产品件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望． 19. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期中质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 198 【答案】B 【解析】 【详解】 . 2. 设为虚数单位，则的展开式中含的系数为（ ） A. B. 20i C. -15 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中含的系数为 . 3. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以 考点：二项分布 【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 4. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为商品销售量与销售价格负相关，所以排除B，D选项， 将代入可得，不符合实际．故A正确． 考点：线性回归方程． 【方法点睛】本题主要考查线性回归方程，属容易题．线性回归方程当时负相关；当时正相关． 5. 若实数，则等于(　　) A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得： 本题选择A选项. 6. 4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题由题，先求得第一次取得合格的第二次也取得合格的，再利用条件概率 求得答案即可. 【详解】记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}， 事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}． 由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9， 所以P(B|A)＝. 故选B 【点睛】本题考查了条件概率，熟悉条件概率的定义和性质是解题的关键，属于较为基础题. 7. 下列说法正确的个数为（ ） ①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 ②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 ④有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合知识，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行求解 【详解】①将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种选择，不同的投法共有种，①正确； ②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是，②错误； ③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法，③错误； ④由题意可知，3个房间中的人数安排为， 若甲单独住在一个房间，剩余4人平均分为两组，故共有种选择， 若乙单独住在一个房间，同理，有种选择， 若甲，乙均不单独住，则将3人中的两人分别与甲，乙分在一起，第3人单独住一间，有种选择， 再分别安排到3个房间，故有种选择， 则不同的住宿安排有种，④正确， 正确的个数为2. 8. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 某公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润/亿元 2 3 4 5 7 利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该公司第7年的利润约为9亿元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归方程判断与成正相关，即可判断A；求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断BC；令求出，即可预测第7年的利润，即可判断D. 【详解】因为回归直线方程为，且，所以与成正相关，故A正确； 由题意可得：，， 因为回归直线方程为必过样本中心点，故B错误； 则，解得，故C正确； 当时，，即该公司第7年的利润约为9亿元，故D正确. 11. 下列结论正确的有（ ） A. 若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4 B. 若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C. 若，，，则 D. 在的展开式中，项的系数为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方差的线性变换性质判断A，根据60%分位数的定义和计算方法验证B，利用条件概率和独立事件的性质计算C，用二项式展开的通项公式求指定项系数D. 【详解】对于选项A，已知，， 则，故A错误； 对于选项B，数据共个，，因此60%分位数为第、个数的平均值， 将数据从小到大排列后，第3、4个数的平均值为8， 当时，数据排序后为3，6，7，9，12， 此时第3、4个数的平均值为，满足条件，故B正确； 对于选项C，因为，则 ， 所以，即独立， ，故C正确； 对于选项D，展开式的通项为：， 的通项为：， 令，即，且. ：系数， ：系数， 总系数为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____________． 【答案】180 【解析】 【分析】将改写成，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，则， 故答案为为：180. 13. 随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且，则期望___________． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，由方差，，列出方程组求出，由此能求出期望． 【详解】设群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立， 设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数， 则， 方差，， ，解得， 期望． 故答案为：4 14. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④. 【解析】 【分析】①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果； ③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果. 【详解】①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确； ②从中有放回的取球次，每次任取一球， 取到红球次数，其方差为，故②正确； ③从中不放回的取球次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有个红球个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为， 至少有一次取到红球的概率为，故④正确，故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动． （1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ （3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）21；（2）336；（3）146. 【解析】 【分析】(1)根据条件利用分类加法计数原理即可计算得解； (2)根据条件利用分步乘法计数原理即可计算得解； (3)先分三类，再将每一类分两步用分步乘法计数原理求出对应结果，然后将各类的计算结果相加即得. 【详解】（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级 选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法， 由分类加法计数原理，知共有种不同的选法； （2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级 选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法， 由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法； （3）分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法， 第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法， 第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法， 由分类加法计数原理，知共有种不同的选法． 16. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数最大. 【答案】（1） （2） （3）第5项 【解析】 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用赋值法计算即可求解； （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值； （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数； 【小问1详解】 因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 令，； 【小问2详解】 令，得. 令，得， 所以； 【小问3详解】 展开式的通项. 由得 因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数最大. 17. 某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 （1）若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； （2）若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 【答案】（1），78 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算样本中心点 ，再通过公式计算回归系数 ，进而求得截距 ，最后代入 进行预测. （2）先计算每个数据的“即时均值”并四舍五入取整，再用组合数计算从5个数据中任选2个的总情况数，最后找出和小于8的情况数，利用古典概型公式计算概率. 【小问1详解】 由题可得， 则， . 所以. 当时，. 【小问2详解】 5个“即时均值”分别为3，3，5，6，4. 从5个“即时均值”中任选2个，共有（种）情况， 其中2个数据之和小于8的有，，共3种情况， 所以这2个数据之和小于8的概率为. 18. 2021年3月北京市政府为做好“两会”接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响． （1）求该海产品不能销售的概率； （2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损元（即获利元）．已知一箱中有该海产品件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，40. 【解析】 【分析】（1）由题意，不能销售指两轮检测，至少有一轮不合格，就不能销售，利用对立事件计算概率； （2）首先求随机变量的可能取值为，，，，，再根据（1）的结果求概率，即可求得分布列，再根据期望公式，计算期望. 【详解】（1）记“该海产品不能销售”为事件， 则． 所以，该海产品不能销售的概率为． （2）由已知，可知的可能取值为，，，，． ， ， ， ， ． 所以的分布列为 数学期望． 19. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）求:需分析的比赛过程，即前两球各得1分，后两球连胜，分别计算概率再相乘. （2）为甲胜，即两球甲全胜，为甲胜，因无法领先2分，概率为0， 先分析比赛过程，得到，然后求出即可. 【小问1详解】 由题可得：事件“”表示在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或均由乙得分， 【小问2详解】 ①由题意可知， 事件“且甲获胜”为不可能事件，所以. ②由比赛规则可知： 当时，事件“且甲获胜”为不可能事件，则， 当 时，事件“且甲获胜”，就是在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球， 且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第个球均由甲得分；记“比赛2球结果为平局”为事件B，则. 则， 又，. 综上， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $