精品解析：广东中山市华侨中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17， 又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14. 故选：D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程，从而可得焦点到准线距． 【详解】由可得抛物线的标准方程：， 可知抛物线的焦点在轴上，开口向下， 则焦点坐标为，准线方程为， 焦点到准线距离， 故选：D． 3. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量求法即可求解. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 4. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可. 【详解】当直线与直线互相垂直时， ，得，解得或， 所以当时，直线与直线互相垂直， 而当直线与直线互相垂直时，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解. 【详解】由圆的方程可知，， 则圆心坐标，半径， 因为 所以在圆的内部， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长. 显然当最大时，最小， 由圆的性质可知，当时，最大， 此时， 所以最小的弦长. 故选：A. 6. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. A与对立 B. C. A与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：事件“”，事件“为奇数”， 例如，则，不为奇数， 即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误； 对于选项B：样本空间共个样本点， 且，共个样本点，所以， ，共个样本点，， ，共个样本点，， 则，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 所以与相互独立，故C正确． 故选：C． 7. 已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，，，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再由及椭圆的定义，可得，，，的关系，在两个直角三角形中可得，的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】设椭圆的左焦点，连接，，，， 由椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 因为,所以，所以可得四边形为矩形， 因为，所以， 设，则，由椭圆的定义可知， ，， 在中，，即，整理可得：， 所以可得， 在△中，，即， 所以离心率， 故选：A 8. 双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】由题意如图所示： 由双曲线，知， 所以， 所以， 所以过作垂直于轴的直线为， 代入中，解出， 由题知的内切圆的半径相等， 且，的内切圆圆心 的连线垂直于轴于点， 设为，在中，由等面积法得： 由双曲线的定义可知： 由，所以， 所以， 解得：， 因为为的的角平分线， 所以一定在上，即轴上，令圆半径为， 在中，由等面积法得： ， 又 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆关于直线对称 C. 半径为4 D. 直线与圆相切 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆M的一般方程转化为标准方程，可知圆心和半径，判断C选项正误，利用点到圆心的距离和半径比较，可知点与圆的位置关系，判断A选项正误，利用圆的对称直线过圆心，判断B选项正误，利用圆心到直线的距离等于半径表示直线与圆相切，判断D选项正误. 【详解】解：已知圆，则其标准方程为， ，圆心，C选项错误； 将点到圆心的距离， 所以，点在圆外，A选项错误； 将圆心代入直线，得，成立 所以直线过圆心，则圆关于直线对称，B选项正确； 因为圆心直线的距离， 所以直线与圆相切，D选项正确； 故选：BD. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则有 B. 任意向量，，满足 C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 已知向量，，若，则为锐角 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C；根据空间向量的夹角判断D． 【详解】对于A：若非零向量，，满足，，则，不一定平行，故A错误； 对于B：∵，不一定共线，则不一定成立，故B错误； 对于C：若、、是空间的一组基底，且， 则，即， 则四点共面，故C正确； 对于D：∵， 若，则，可得， 若共线，则，解得， 即当时，不共线， ∴为锐角，故D正确； 故选：CD. 【点睛】本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角 ，属于基础题． 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. 若E是直线AC上的动点，则平面 B. 若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则 C. 若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 D. 若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质即可证明；对于B：连接，证明出面，利用线面垂直的性质即可证明；对于C：判断出即为直线与平面ABC所成角，得到，求出的范围，即可求出的范围，即可判断；对于D：利用等体积法转化得到，即可求得. 【详解】对于A：连接. 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面,平面，所以平面. 同理可证：平面. 因为，平面,平面, 所以平面平面. 因为E是直线AC上的动点，所以平面，所以平面，故A正确； 对于B：连接. 因为为正方体，所以， 又 面面ABCD，所以. 因为面,面,，所以面. 因为E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，所以面. 所以，故B正确； 对于C：在正方体中，面. 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABC所成角，所以. 设，则. 因为E是内（包括边界）的动点，所以当E与O重合时，最小， 当E与B重合时，最大， 所以，故C错误； 对于D：三棱锥的体积. 由A的证明过程可知：平面平面， 所以平面内任一点到平面的距离都相等. 因为E是平面内的动点， 所以. 即三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 13. 某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．参考公式 【答案】 【解析】 【分析】先求出总体平均值，再用计算方差. 【详解】假设总体平均值为，则， 则. 故答案为：. 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率. 【答案】（1）或 （2）面积的最大值为，此时直线的斜率为. 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证直线与圆的位置关系；当直线直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，计算出圆心到直线的距离为，利用勾股定理结合三角形的面积公式可求得面积的最大值及其对应的的值，可得出关于实数的方程，解之即可得解. 【小问1详解】 解：圆的圆心为，半径为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，可得直线的方程为， 当直线与圆相切时，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：若直线与圆相交，由（1）可知，直线的斜率必定存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离. 的面积为， 当时，面积的最大值为， 即，可得，解得， 故面积的最大值为，此时直线的斜率为. 16. 甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”. （1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率； （2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，结合对立事件概率公式求解即可； （2）分别求出甲、乙两轮猜对1个灯谜和猜对2个灯谜的概率，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件加法公式求解即可. 【小问1详解】 设“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，则， 则， 故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为. 【小问2详解】 甲两轮猜对1个灯谜的概率为，甲两轮猜对2个灯谜的概率为， 乙两轮猜对1个灯谜的概率为，乙两轮猜对2个灯谜的概率为， 所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为. 17. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示． （1）估计这组数据的平均数； （2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以10元/千克收购； 方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购． 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 【答案】（1）387（克） （2）方案②获利更多 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图分析数据，直接求平均数； （2）分别求出方案①和方案②的收入，进行比较，下结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这组数据的平均数为： （克）； 【小问2详解】 方案①收入：（元）； 方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）； 高于或等于350克的收入：（元）． 故总计（元），由于， 故种植园选择方案②获利更多． 18. 已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求得.由面面垂直的判定定理、线面垂直的性质即可证得两两垂直，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可证明； （2）由（1），设，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理， 得，解得，得. 在中，，则为正三角形， 取BD的中点O，连接，则，又平面平面， 平面平面平面，所以平面. 取的中点E，连接OE，则，而，所以， 由平面，所以， 以O为原点，以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则， 令，则， 所以，所以， 故平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，，，，， 由，即，得， 所以，设， 则，又， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以， 整理，得，方程在上无实数解， 所以在上不存在点Q，使得与平面所成角为. 19. 有一种曲线画图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动，跟踪动点的轨迹得到曲线，跟踪动点的轨迹得到曲线，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （1）分别求曲线和的方程； （2）曲线与轴的交点为，，动直线与曲线相切，且与曲线交于，两点，求的面积与的面积乘积的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由点的轨迹和圆的定义可确定曲线的方程；由待定系数法可知，设，结合已知，解出，代入圆方程可得曲线的方程. （2）由点到直线的距离公式求出到直线的距离，因为与相切，得到的关系，直线与联立，结合韦达定理表示出，进而得到面积的代数式，再求出面积乘积的范围即可. 【小问1详解】 因为，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆， 所以曲线的方程为； 设， 由题意可知， 所以， 由于不恒为零，所以，所以， 又，代入可得， 所以的方程为. 【小问2详解】 易知， 设， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 因为与相切，所以， 由，消去，得， ， ， 所以， 所以 ， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 所以，所以的面积与的面积乘积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1）求点的轨迹方程一般用轨迹方程和定义或待定系数法； （2）圆锥曲线中求面积的最值通常用基本不等式求解，具体为：直曲联立，用韦达定理表示出面积的表达式，注意表示式中只能含有一个未知数，然后再结合变量的范围和基本不等式求最值，注意取等号的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 4. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. A与对立 B. C. A与相互独立 D. 与相互独立 7. 已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆关于直线对称 C. 半径为4 D. 直线与圆相切 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则有 B. 任意向量，，满足 C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 已知向量，，若，则为锐角 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. 若E是直线AC上的动点，则平面 B. 若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则 C. 若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 D. 若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 13. 某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．参考公式 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率. 16. 甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”. （1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率； （2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率. 17. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示． （1）估计这组数据的平均数； （2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以10元/千克收购； 方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购． 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 18. 已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 19. 有一种曲线画图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动，跟踪动点的轨迹得到曲线，跟踪动点的轨迹得到曲线，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （1）分别求曲线和的方程； （2）曲线与轴的交点为，，动直线与曲线相切，且与曲线交于，两点，求的面积与的面积乘积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $