广东中山市华侨中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 6.C 7.A 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.B,D 10.C,D 11.A,B,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-3 13.15.8 3)2 4(e-)+- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)x=5或5x+12y-85=0 ②)4±17 3 16.(0)2 ②3 第1页共12页 17.(1)387(克) (2)方案②获利更多 18.(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 9.)Cx2+=1:C2:g+2=1 (2)(0,2 数学参考解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1.D 【解答过程】 先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8,9,9,10,10,11,12,12,12,1 2,13,14,15,17, 又由14×80%=11.2，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14. 故选：D. 2.D 【解答过程】 y)22可得抛物线的标准方程：之三2 可知抛物线的焦点在y轴上，开口向下， 1 1 则焦点坐标为0，一2)，准线方程为y= 1 1 ∵焦点到准线距离d= 2-（)=1 故选：D 3.B 【解答过程】 因为AB=(-1,-1,2),平面的一个法向量为元=(1,2,1)， AB.元 v⑥ 所以点A到平面a的距离为 6 故选：B 4.A 【解答过程】 当直线x+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直时， a+a(a+2)=0,得a2+3a=0,解得a=0或a=-3, 第2页共12页 所以当a=-3时，直线x十ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直， 而当直线x+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直时，a=0或a=-3, 所以“a=-3”是“直线x+ay+2=0与直线ax十(a+2)y十1=0互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A 5.A 【解答过程】 由圆的方程x2+-6c=0可知，(x-3)2+y2=9, 则圆心坐标C(3,0),半径r=3, 因为(1-3)2+22=8<9 所以D(1,2)在圆(x-3)2+2=9的内部， 设圆心到直线的距离为d,则过D(1,2)的直线与圆的相交弦长|AB=2√2一d产 显然当d最大时，AB最小， 由圆的性质可知，当CD⊥AB时，d最大， 此时dmaz=CD=√(3-1)2+(2-0)2=2V2, 所以最小的弦长AB到=2V32-(（2W22=2. 故选：A. 6.C 【解答过程】 由题意可知：x,y∈{1,2,3,4,5,6}， 对于选项A:事件A=“x十y=7”，事件B=“xy为奇数”， 例如x=y=2,则x+y=4卡7，xy=4不为奇数， 即A事件和B事件可以同时不发生，所以A事件与B事件不对立，故A错误： 对于选项B:样本空间共36个样本点， 且A=,6,2),8到，4,3到.6,2,6，以，共6个样本点所以P(④=6 B={,1,(1,3),1,,3,0,33),3,5.5,1.6,3,5,5,关9个样木点，P倒- C={,)xe{4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6}，共18个样本点，P(C)=2 1 则BnC=6,,63,6,所以P(anc9)-希-立故错误 111 对于选项C:因为P(B)P(C)=星×2=g≠P(BnC),所以B与C不相互独立，故D错误： 对于选0：因为AnC-任.6，，6以.则P4nG=G6立 且PPC=言×号立可为P(anC=PAPO 所以A与C相互独立，故C正确. 故选：C. 7.A 【解答过程】 设椭圆的左焦点F,连接PF',FD,DF,FG, 由椭圆的对称性可知四边形PFDF 第3页共12页 为平行四边形， G D 因为D京.FC=0,所以DFLFG,所以可得四边形PFDF为矩形， 因为DF=4|FG引，所以PF'|=4FG, 设FG=r,则PF=4r,由椭圆的定义可知PF=2a-PF|=2a-4r, FGI=2a-FG 2a-r,PG=|PF+FG=2a-4r+r=2a-3r, 在△PGF中，|FG2=PF2+PG，即(2a-r)2=(4r)2+(2a-3r)2,整理可得：3m2=am, 所以可得-了 在△PFF吨，FFR=PFP+1PF3,即4-16r2+2a-P→a2=2, 所以离心率e= c2 V5 a-Va=3 故选：A 8.A 【解答过程】 2 由题意如图所示： 由双曲线C:x2-y2=4,知a2=b2=4, 所以c2=a2+b2=8, 所以F2(2V2,0),F1F1=2c=4V2 所以过2作垂直于x轴的直线为x=2v2, 代入C中，解出A(2V2,2),B(2V2,-2), 由题知△AF1F2,△BFF2的内切圆的半径相等， 且AF=|BF,△AFF,△BFF的内切圆圆心O1,O2 的连线垂直于x轴于点P, 设为T,在△AF12中，由等面积法得： AE+AE+国R)r-专RAAR 由双曲线的定义可知： 第4页 共12页 AF-AF2=2a=4 由AF2=2,所以AF|=6, 所以吃6+2+4②r=2×4V2×2. 解得：= 2V22√2×(2-V② 2+V2 2 1=22-2, 因为FF为△FAB的∠AFB的角平分线， 所以O3一定在FF2上，即x轴上，令圆O3半径为R, 在△AFB中，由等面积法得： (F+)4B. 又A=1BF=VEF2+|AE=V4V②)2+2=6 所时×6+6+到-R-日×4V2x4 所以R=√2， 所以PF2=r=2V2-2, O3PI=|O3-|PF2=R-r=V2-(2V2-2)=2-V2, 所以Sa00a=50,01O,P=3×2r×0P =r×103P1=(2V2-2)×(2-V②)=6V2-8, 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.B,D 【解答过程】 己知圆M:x2+y2-6y+5=0,则其标准方程为x2+(y-3)2=4, ∴.r=2,圆心M(0,3),C选项错误： 将点(4,0)到圆心M(0,3)的距离d=√(4-0)2+(0-3)2=5>， 所以，点(4,0)在圆外，A选项错误： 将圆心M(0,3)代入直线x+3y-9=0,得0+3×3-9=0，成立 所以直线过圆心，则圆M关于直线x+3y一9=0对称，B选项正确： 因为圆心M(0,3)直线V5-2y=0的距离d山=D-6 =2=T, /5+4 所以直线v5x-2y=0与圆M相切，D选项正确： 故选：BD. 10.C,D 【解答过程】 对于A:若非零向量d,石，C满足dLb,c⊥b,则a,c不一定平行，故A错误； 对于B::a,c不一定共线，则(a.)·c=a.(6.c不一定成立，故B错误： 对于：若0A、O店、o心是空间的-组基底，且0币-0A+Oi+0心， 3 3 3 则 第5页共12页 oio-(oi-oA）+(od-o)即d-a店+4d 则A,B,C,D四点共面，故C正确： 对于：：cos(，》 a.b 10x-3 a川i V2+x2.√90+x2 若x> 0,则10x-3>0,可得cos(a,6)>0, 者拉6供线，则片上=后解器红=-3<品 即当x> 3时，a,不共线， 10 (位，为锐角， 故D正确： 故选：CD. 11.A,B,D 【解答过程】 对于A:连接D1A,D1C 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC‖A1D1,BC=A1D1, 所以四边形BCD1A1为平行四边形，所以A1B‖D1C 又D1C4平面A1BC1,A1BC平面A1BC1,所以D1C平面A1BC1 同理可证：D1A平面A1BC1· 因为D1A∩D1C=D1,D1AC平面D1AC,D1CC平面D1AC, 所以平面D1AC引平面A1BC1. 因为E是直线AC上的动点，所以D1EC平面D1AC,所以D1E平面A1BC1,故A正确： D C B A B 对于B:连接B1D1. 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD, 又BB1⊥面ABCD,ACC面ABCD,所以BB1⊥AC. 因为BDC面BDD1B1,BB1C面BDD1B1,BD∩BB1=B,所以AC⊥面BDD1B1· 因为E是直线BD1上的动点，F是直线BD上的动点，所以EFC面BDD1B1· 所以AC⊥EF,故B正确： 第6页 共12页 D C 、E D月 ⊙ 对于C:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥面ABCD 对于平面ABC,DD1为垂线，D1E为斜线，DE为射影， 所以∠DED1即为直线DE与平面ABC所成角，所以tan∠DED1= DDI 1 DE DE 设AC∩BD=O,则AC⊥BD, 因为是△ABC内（包括边界）的动点，所以当E与0重合时，DE=DB=Y2 2= 2 最小， 当E与B重合时，DE=DB=√2最大， 1 V2 所以tan∠DED1= DE∈ 2V② 故C错误： D B D C B 对于D:三棱锥D1-AEC的体积VD,-AEC=VE-D,AC. 由A的证明过程可知：平面D1AC引平面A1BC1, 所以平面A1BC1内任一点到平面D1AC的距离都相等. 因为E是平面BA1C1内的动点， 1 所以EDAC=VaDA0=吻ABc定3SABC:DD,=专×X1x1x1合 凌锥D,一AEC的体积为 故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-3 【解答过程】 解，对于双青按子+器-1.所以m<0,即双曲线的标准方程为- =1, m -m 则a=1.6=V元，又双线衡+号-1的新近线方程为y=土 -, m 3 解得m=-3; 3√-m 故答案为：-3 第7页 共12页 13.15.8 【解答过程】 假设总体平均值为元，则元30×91+20×86=89. 30+20 则 2 m(s+(@-)2)+n(s号+(-2)2)30(11+(89-91)2）+20(8+(89-86)3) =15.8 m+n 30+20 故答案为：15.8. “6-}w- 【解答过程】 圆M:（x-2)2+y2=4,所以圆心为M(2,0),半径为2，设D(x,), 由线段AB的中点为D,可得MD⊥DN,即有 MD.Nb=(c-2,)·(x-1,)=(x-2)(x-1)+y·y=0, 即(- 3 2 1 32 +=所以点D的轨迹方程为(-)+=是 故答案为： 3)2 0x-5+2彡4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1) x=5或5x+12y-85=0 【解答过程】 解：圆C的圆心为C(2,3),半径为r=3. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=5,圆心C到直线的距离为3， 此时直线与圆C相切，符合题意： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-5=k(x一5)，即kc-y-5k+5=0, 由题意知，圆心C(2,3)到直线的距离等于半径， 即2张3-5水十63，解得k多可得直线的方程为5x+12y一850 vk2+1 当直线与圆C相切时，直线的方程为x=5或5x+12y-85=0. (2) 4±√17 3 【解答过程】 解：若直线与圆相交，由(1)可知，直线的斜率必定存在， 设直线的方程为y-5=m(x-5),即mx-y-5m+5=0, 则圆心C(2,3)到直线的距离d=3m+2 vm2+1 △CPQ的面积为2×d×2VP-d正-V9d-, 第8页 共12页 当d= 9 今丽△CPQ面积的最大值为号 2 即d2 -3m+2\ 9 /m2+1 ,可得9m2-24m-1=0.解得m=4±V7】 3 9 故△CPQ面积的最大值为 此时直线的斜率为4土V7 3 16.(1) 2 【解答过程】 设E=“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，则E=ABUAB, 则P同=P(i+P(A周=P(团P到+P利P(画写×专子×-号 故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为2 (2) 1-3 【解答过程】 甲两轮猜对1个灯谜的概率为2× ×日-吾甲两轮精对个灯这的概率为()】 6 111 乙两轮猜对1个灯谜的概率为2×2×豆=豆乙两轮猜对2个灯谜的概率为 ) 所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为 41411 g×2+g×4=3 17.(1) 387(克) 【解答过程】 由频率分布直方图可得这组数据的平均数为： 100×(0.0017×200+0.0020×300+0.0030×400+0.0025×500+0.0008×600)=387 (克) (2) 方案②获利更多 【解答过程】 387 方案①收入： 1000×10×10000=38700(元)： 方案②收入：由题意得低于350克的收入：(0.0017+0.0020)×100×10000×3=11100（元）： 高于或等于350克的收入：(0.0030+0.0025+0.0008)×100×10000×5=31500（元）. 故总计11100+31500=42600（元），由于42600>38700， 故种植园选择方案②获利更多. 18.(1) 证明见解析. 第9页 共12页 【解答过程】 在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，由余弦定理 得cos∠BAC=AB+ACBC-4+4BC,解得BC=2v.得BB,=V5 2AB·AC 8 在△BB1D中，BB1=BD=V3,∠DBB1=60°，则△BB1D为正三角形， 取BD的中点0，连接OB1,则OB1⊥BD,又平面CBB1C1⊥平面ABC, 平面CBB1C1∩平面ABC=BC,OB1C平面CBB1C1,所以OB⊥平面ABC. 取AB的中点E,连接OE,则OE/AD,而AD⊥BC,所以OE⊥BC, 由OE、OCC平面ABC,所以OB1⊥OE,OB1⊥OC, 以0为原点，以OE,OC,OB1所在直线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系， 孙 A B 则B0,0.AL,90.D0,o.ca2v8多 所以D--1,叭G-(1￥)a-(1》 设平面C1AD和平面B1AD的一个法向量分别为m=(c1,1,21),n=(x2,,2), 则〈 ·AD=-1=0 2,AD=-x2=0 Ad=-1+￥m+=0'.Aa=-2-学2+2=0 令班=V3,欢=V3,则x1=0,1=-3,x2=0,2=1, 所以ni=(0,√3，-3,2=(0，v3,1),所以m·n2=0, 故平面C1AD⊥平面B1AD: (2) 不存在，理由见解析。 【解答过程】 由a知，c3yo,09o.A1.3o.B0,0g.G02v- 由城，Ad郎0多=e-1lA-4得A 所以ac-1vs0ad-(L3￥5)i() 设A=XAA1(0<X<1), 则0-a9号，x4=av0. 所以0-扇+西=1v厚+g 设平面ACCA1的一个法向量为元=(c,y,2), 元.AC=-x+V3y=0 元.Ad=-x+y+号z= 0’令y=1,得=3，：=- 3 所a(a1) 第10页 共12页 B成 所以sin60°=cos(B元，) 12v3 v3 B0元 V厚V1+(+刘+（学） 2 整理，得39入2+39入+4=0，方程在0,1上无实数解， 所以在AA1上不存在点Q,使得BQ与平面ACC1A1所成角为60°. 19.(1) 、22 0:x2+y=1:0:g+=1. 【解答过程】 因为ON=1,所以N的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆， 所以曲线C1的方程为x2+y=1: 设M(ax,),N(0,0),D(t,0),-2≤t≤2， 由题意可知MiD=D,O=DN=1, (t-x,-)=(xo-t,o) （x=2t-x0 所以 x哈+=1 → y=-0, (0-t)2+6=1 （t(t-2ro)=0 由于t不恒为零，所以t=20,所以{0=专 (0=-y z- 又号+6=1，代入可得。+=1， 所以C的方程为。+=1 (2) (0,2. 【解答过程】 P 易知E(-1,0),F(1,0), 设P(c1,1),Q(2,2), 则点E到直线：y=k:+m的距离d山1=上一k+m Vk2+1 点F到直线l:y=kx+m的距离d2= k+m Vk2+1 因为与C相切，所以 Iml =1,→m2=k2+1, vV2+1 由{号+=1，消去，得1+92)r2+18km+9(m2-1)=0, ly=ka+m △=36(9k2-m2+1)=36×8k2>0,k≠0， 第11页 共12页 18km 9(m2-1) x1+x2= 1+9k2,212- 1+9k2 所以PQ=V1+11-2|=6V1+及×V92-m2+1 1+9k2 所以 Sa0SaF0=号PQ×d×P0xd=96m2-)Oe-m2+)_。72e 72k2 72 (1+9k2)2 1+9k2y1+18+8181+吉+18 由基本不等式得812+ 2+18≥2812× 1 .1 之+1836，当且仅当81k2=之之=+爱时取等 号， 所以S△EPQ·S△FPQ∈(0,2]，所以△EPQ的面积与△FPQ的面积乘积的取值范围为(0,2]. 第12页 共12页广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1.(5分)某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13,10,12,17,9,12， 8,9,11,14,15,12,10,12.这组数据的第80百分位数是() A.12 B.13 C.13.5 D.14 2,(5分)抛物线刘=一)22的焦点到准线的距离为( 1 A.2 C.2 D.1 3.5分)若平面a的一个法向量为元=(1,2,1)，AB=(-1,-1,2),AEa,B∈&，则点A到平面a的 距离为() A.1 B.v6 C.3 1 D. 6 3 4.(5分)“a=-3”是“直线+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)已知圆x2十y2-6=0,过点D(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(5分)同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设 事件A=“x+y=7”,事件B=“xy为奇数”，事件C=“x>3,则下列结论正确的是（) A.A与B对立 BP(Bng=若 C.A与C相互独立D.B与C相互独立 7.(5分)已知0为坐标原点，P(1,h)是椭圆B:之 2+=1(a>b>0)上一点(c1>0,F为右焦 62 点延长P0,PP交椭圆E于D,C两点，D2.FG=0,DF=4FC,则椭圆E的离心率为 () A.6 B.V17 c.17 D.V10 3 5 6 5 8.(5分)双曲线C:x2-y2=4的左，右焦点分别为F,2,过作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两 点，△AF乃，△BFF,△FAB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,则△O1O2O3的面积是（) A.62-8 B.6v2-4 C.8-4v2 D.6-4v2 第1页 共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(6分)已知圆M:x2+2-6y+5=0,则下列说法正确的是() A.点(4,0)在圆内 B.圆M关于直线x+3y-9=0对称 C.半径为4 D.直线5x-2y=0与圆M相切 10.(6分)下列关于空间向量的命题中，正确的是() A.若非零向量a,6,c满足dLi,c⊥，则有a‖c B.任意向量d,i,c满足(a.·c=a·(6.c) c.若oA.Oi,oC是空间的-组基底，且oi-号o1+写0店+0d,则4，BC,D 四点共面 D.已知向量ā=1,1，动五（云9以.若>品则(a,》为说角 11.(6分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是（) A.若E是直线AC上的动点，则D1E‖平面A1BC1 B.若E是直线BD1上的动点，F是直线BD上的动点，则EF⊥AC C.若E是△ABC内（包括边界）的动点，则直线D1E与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 D.若E是平面BA1C1内的动点，则三棱锥D1一AEC的体积为定值 D C A D月 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 126分)已知双自线r+需-1的葡近线方程为湖=土怎，m= m 13.(5分)某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和 方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为 m(s+(远-)2)+n(s号+（元-2）2) ·参考公式s2= m+n 14.(5分)已知圆M:(x-2)2+y2=4,过点N(1,0)的直线与圆M交于A,B两点，D是AB的中点，则 D点的轨迹方程为 第2页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆C:(x-2)2+(g-3)2=9,直线过点(5,5)： (1)若直线与圆C相切，求直线的方程： (2)若直线与圆C相交于P、Q两点，求△CPQ面积的最大值，并求此时直线的斜率. 16.(15分)甲、乙两人组成“上元队参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对 的概率为 2 1 乙每轮猎对的概率为2在每轮活动中，甲和乙猜对与香互不影响。各轮结果也互不影 响记事件A=“甲第一轮猜对”，B=“乙第一轮猜对”，C=“甲第二轮猜对”，D=“乙第二轮猜对” (1)求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率： (2)求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率. 17.(15分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在[150,250) ，[250,350),[350,450),[450,550),[550,650](单位：克)中，经统计频率分布直方图如图所 示. A频率 组距 0.0030 0.0025 0.0020 0.0017 0.0008-- 0150250350450550650质量（克） (1)估计这组数据的平均数： (2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体， 该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以10元/千克收购： 方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购. 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 第3页 共4页 18.(17分)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,∠BAC=120°，且BC=2BB1, ∠CBB1=60°，侧面BCC1B1⊥底面ABC,D是BC的中点. A C B (1)求证：平面C1AD⊥平面B1AD: (②)在棱AA1上是否存在点Q,使得BQ与平面ACCA1的所成角为60°，如果存在，请求出AQ ;如果 AA1 不存在，请说明理由 19.(17分)有一种曲线画图工具如图1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DM=DN=ON=1.当栓子D在滑槽AB 内做往复运动时，带动N绕O转动，跟踪动点N的轨迹得到曲线C1,跟踪动点M的轨迹得到曲线C2, 以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. 图1 图2 (1)分别求曲线C1和C2的方程： (2)曲线C与x轴的交点为E,F,动直线l:y=kx十m与曲线C相切，且与曲线C2交于P,Q两点， 求△EPQ的面积与△FPQ的面积乘积的取值范围. 第4页 共4页