吉林长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 在正方体中，二面角的正切值为（    ） A. B. C. D. 5. 已知向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不重合的直线，，和平面，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 10. 已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个段中采取分层抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%，60%，50%，下列说法正确的是（ ） A. 体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B. 体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C. 高二段抽取了15人 D. 估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%（百分比保留一位小数） 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ） A. 取得最小值 B. 当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D. 若，则点O的轨迹长为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 13. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 14. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形边的中点M，沿折叠，将用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少______cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，M为线段的中点，，N为线段上的动点． （1）证明：； （2）当N为线段的中点时，求三棱锥的体积． 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 18. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第二学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】24 四、解答题：本题共5小题，共77分． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）或； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）48 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $