广东广州市第六中学2026届高三下学期考前自测数学试题

**基本信息** 以核心素养为导向，融合高尔顿板概率模型、双曲线光学性质等真实情境，梯度覆盖函数、几何、统计等主干知识，创新设计“k次缠绕”新定义问题，适配高三三模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、函数导数、立体几何折叠|第8题菱形折叠结合轨迹问题，考查空间想象与数学眼光| |多选题|3/18|数列前n项和、统计量、双曲线性质|第11题以双曲线光学性质为背景，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3/15|向量投影、圆锥与球表面积、函数零点|第14题函数零点关系考查数学语言表达能力| |解答题|5/77|三角函数图像变换、三棱锥二面角、椭圆内切圆、高尔顿板概率、函数新定义|18题高尔顿板情境融合概率与数列证明，19题“k次缠绕”新定义考查创新应用与理性精神|

2026年广州六中高三三模数学试题 命题人：曹永生、杨刚；审题人：黎楚倩 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足（为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为 A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图象如右图所示，则下列选项中最有可能为图象的是 A． B． C． D． 5．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则 A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立 6．若，则 A． B． C． D． 7．已知，设函数的零点个数为，则的值为 A．120 B．210 C．75 D．240 8．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是 A． B． C． D． 10 . 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是 A．甲组中位数为3，极差为4 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为3，方差为2 D．丁组平均数为3，第65百分位数为6 11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是 A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量与与满足，且在方向上的投影向量为，则__________． 13．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为__________． 14．已知函数有三个零点（），则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 16．（15分）已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中： （1）证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值． 图1 图2 17．（15分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．、是的左、右焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值． 18．（17分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． （1）若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； （2）记的数学期望为，记， ． （i）设数列的前项和为，求证：； （ii）设与最接近的整数为，求数列的前项和． 19．（17分） 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 数学试题第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $