精品解析：广东普宁市第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

普宁二中2025-2026学年度高二第二学期期中考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A. B. 5 C. 7 D. 21 4. 已知数列为等差数列，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 5. 若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 42 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则，相互独立 C. 若随机变量，则 D. 三项展开式共有项 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B. 若，，则的面积为2 C. 若，，，则内切圆的半径为 D. 若，，则椭圆的离心率为 11. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 13. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则______． 14. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，求的边上的高． 16. A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． （1）求选出的2人来自不同家庭的概率； （2）在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； （3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 17. 如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的正弦值． 18. 已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求实数的值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2025-2026学年度高二第二学期期中考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 3. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A. B. 5 C. 7 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 4. 已知数列为等差数列，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 5. 若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 7. 已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：B 8. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则，相互独立 C. 若随机变量，则 D. 三项展开式共有项 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A利用组合数的性质即可判断，对于B利用条件概率与独立性的关系即可判断，对于C利用二项分布的概率公式即可判断，对于D利用组合数即可判断. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，的展开式中每一项的指数和均是，相当于个无区别的球放入a，b，c三个不同的盒子里， 每个盒子放入的球数不限．所以展开式中不同的项数为，故D正确 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B. 若，，则的面积为2 C. 若，，，则内切圆的半径为 D. 若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，即可判断A；利用焦点三角形的面积公式求的面积，即可判断B；结合三角形面积，可求内切圆的半径，即可判断C；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，即可判断D. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：由，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于C：由，由余弦定理得： ， 所以， 所以， 设内切圆的半径为， 又， 又，所以，故C正确； 对于D：由，，得， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 所以，故D正确. 11. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，代入原点列式构造函数，求导判断函数单调和极值点，结合两端极限，判断方程两解，B选项，直线平分圆必过圆心，构造对数函数求最值，得唯一交点坐标，C选项，坐标轴弦长相等等价横纵坐标平方相等，利用不等式证无解，D选项，找曲线平行直线切点，算圆心距再减半径，得圆上点距离最小值. 【详解】动圆的圆心为，半径. 对于选项A，若圆经过原点，则，即. 令，求导得. 令，在上恒成立，故在上单调递增. 又，，由零点存在定理知，存在唯一，使得，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 当时，，，故； 当时，，，故； 且，即函数最小值小于0. 结合函数单调性与极限趋势，在上仅有两个正根，即存在两个不同的实数满足题意，选项A正确. 对于选项B，圆被直线平分等价于直线过圆心，故， 令，，在处取最大值， 故方程仅有解，圆心为，选项B正确. 对于选项C，令，圆截轴弦长为； 令，圆截轴弦长为，弦长相等等价于，即或. 令 ，则. 当 时，，递减；当 时，，递增. 所以 ，故恒成立. 所以当时，且，方程无解，故不存在使弦长相等，选项C错误. 对于选项D，设，，令得，此时圆心为， 该点到直线的距离， 则圆上点到直线的最小距离为，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据不相邻问题插空法,结合排列即可求解. 【详解】首先,将4名学生全排列,共有种方法,接下来,将2名老师安放在5个空隙中,共有种方法,故总的排法有, 故答案为:480 13. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，求随机变量的分布列，再由期望公式求期望. 方法二：通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解． 【详解】方法一：的二项展开式的通项为， 由题意，解得， 设为有理项，则能被3整除，故， 所以在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项． 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为． 则的所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以． 方法二：的二项展开式的通项为， 由题意，解得， 设为有理项，则能被3整除，故， 所以在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项． 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为． 则服从参数为，，的超几何分布，则． 故答案为： 14. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，求的边上的高． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将化为，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角， （2）由余弦定理结合已知条件可得，再利用等面积法可求出的边上的高 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又，所以． （2）由已知，， 由余弦定理得， 所以． 于是得的面积， 所以. 16. A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． （1）求选出的2人来自不同家庭的概率； （2）在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； （3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 【答案】（1） （2） （3）0.42 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解； （2）根据题意，转化为样本空间法求概率； （3）根据（1）的结果，转化为全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，则； 【小问2详解】 设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，则； 【小问3详解】 由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为0.6，所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4， 所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为． 17. 如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得，由线线平行即可推得线面平行； （2）根据题意建系，由条件求出相关点的坐标，进而求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为的中点，则， 在三棱台中，， 则，故四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面， 又平面，则平面. 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，在平面中， 过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 连接，易得，作于点， 因，是的中点，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，可取； 设平面的法向量为， 则，可取. 则， 设二面角的平面角为， 则， 即二面角的正弦值为. 18. 已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求实数的值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线方程，求得与坐标轴的交点，整理数列递推公式，结合等差数列的定义，可得答案； （2）根据指数幂运算的运算律公式，结合（1）的结论以及等比数列，可得答案， （3）根据不等式构造函数，利用导数研究函数的最值，可得答案. 【小问1详解】 证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，则，即（）， 所以数列是以为首项、为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得（）， 所以， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 其前4项的和为， 所以实数； 【小问3详解】 原不等式等价于在上恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上递减，所以， 令，则；令，则， 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 19. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）有2条，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【小问1详解】 由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． 【小问2详解】 （i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率， 所以，即直线． （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $