精品解析：上海市第六十中学2025-2026学年高一第二学期5月阶段测验数学试题

2025学年第二学期5月阶段测验（2026.05.19） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一．填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 1. 将弧度化为角度：弧度=___________． 【答案】20° 【解析】 【详解】弧度 . 2. 与的等比中项是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的定义即可求解. 【详解】设与的等比中项是， 则， 即， 解得：， 故答案为： 3. 在中，若，，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理得到：， 即. 4. 已知两个单位向量满足则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方，结合数量积运算公式得到 【详解】因为，所以， 即，即， 解得. 5. 已知复数的虚部为4，则___________ 【答案】14 【解析】 【分析】先求得，再结合题意解方程即可 【详解】由题意得， 因为复数的虚部为4， 所以，解得，所以. 6. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】， . 7. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________. 【答案】60 【解析】 【分析】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程求解，再计算即可. 【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则， ∴，， 解得：， . 故答案为：60 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】; 【解析】 【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【详解】由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 9. 已知为无穷等比数列，，数列 满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的性质及求和公式，结合已知条件构造方程，求出，进而求出，再利用无穷等比数列的求和公式计算求解． 【详解】设的公比为， 为无穷等比数列，则当时，， ， ，化简整理得，解得或（，舍去）， ， ，是首项 ， 公比的无穷等比数列， ． 故答案为：． 10. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】画图像可知，与交点为个，且和,和关于对称，所以，即可得出的值. 【详解】 由题意，做出图象，可得函数 和直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知， 直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知，和,和关于对称， ∴则 故答案为: . 二．选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 11. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可判断. 【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立； 当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立. 所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 12. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法法则得到，再将对应复数相减，最后按复数减法运算法则计算得出结果. 【详解】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为： . 13. 将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移规律得到的表达式，再结合 分析与的关系，进而求出的最小值. 【详解】函数 向上平移1个单位，根据平移规则得： ， 因为正弦函数 ，因此 的值域为， 由于的最大值为2，要使 ，则，  当时， ，即 ， 根据正弦函数性质可得： ， 化简得： ，设 ， ， 所以， ，因为， 所以当 时，取得最小值为. 14. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 是数列中的最大值 C. 若，则n的最大值为4047 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，，故A正确； 对于B：根据题意可知，所以是数列中的最大项，故B正确， 对于C：由， 可知，故C错误； 对于D，数列各项均为正值，则，必有， 由B的分析可知， 故，故D正确. 三． 解答题（本大题共5题，总分54分） 15. 设，复数． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)若复数为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，结合条件求解即可； (2)若复数在第四象限，则实部大于0，虚部小于0，求解即可. 【小问1详解】 ，若为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 若在复平面内表示的点位于第四象限，则，解得，则的取值范围为. 16. 已知向量，且， （1）求函数的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算性质结合辅助角公式化简得到的解析式，再根据正弦函数的单调区间求解； （2） 先由 求出角，再结合面积公式求出，最后用余弦定理推导的值。 【小问1详解】 因为，所以 ， 即 ，  整理得， 令，则，  解得， 即的单调递减区间为； 【小问2详解】   ，  即， 因为为三角形内角，故，则， 因此，解得， 由题意知，三角形面积， 由面积公式 ，代入得 解得， 由余弦定理，代入已知条件得：  ， 整理得，因此 ，， 即 . 17. 已知数列的前项和为， （1）若数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，求的值； （2）若，求当常数满足什么条件时，数列是等比数列． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 结合等差数列通项公式、等比中项性质推导首项与公差的关系，代入前n项和与通项公式计算比值; (2) 利用 ()求通项，根据等比数列定义要求首项满足时的通项公式求解参数. 【小问1详解】 设等差数列首项，公差，由成等比数列， 得， ， 展开得 化简得 （） 所以； 【小问2详解】 因为 ， 当， ， 当， = , 因为是等比数列，则 ，解得， 当 时，， ， 此时是，公比的等比数列. 18. 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． （1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； （2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，先求出，在中，利用正弦定理求得，再根据求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）可以从行进的视线，伞面面积等角度入手，建议只要合理即可. 【小问1详解】 如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接， 由题意， 因为为的中点，所以， 又，所以， 又， 由正弦定理，所以， 又，所以， ， 所以， 所以 ， 所以阴影部分面积为； 【小问2详解】 ①雨伞不遮挡人行进的视线； ②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积； ③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可） 19. 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；(ii)4048 【解析】 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）(i)结合“长向量”的概念，根据向量模的公式，数量积的运算法则得，进而得，即可得到； (ii)设，由得，，设，由对称得到方程组，求出，再根据，即可得结果. 【小问1详解】 解：因为向量，， 所以，，， 因为是向量集的“长向量”， 所以，由题意可得：，即，解得：. 所以实数x的取值范围为 【小问2详解】 (i)证明：因为均是向量集的“长向量”， 所以，由题意得，，即，即， 同理， 三式相加并化简得：， 所以，即， 所以 ，即，证毕. (ii)设，因为，， 所以，即， 因为，，所以， 设，因为与关于点对称，与关于点对称 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， …… ， 以上k个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，当时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期5月阶段测验（2026.05.19） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一．填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 1. 将弧度化为角度：弧度=___________． 2. 与的等比中项是________. 3. 在中，若，，，则___________ 4. 已知两个单位向量满足则___________ 5. 已知复数的虚部为4，则___________ 6. 若，则___________ 7. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________. 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 9. 已知为无穷等比数列，，数列 满足，则__________． 10. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为_________ 二．选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 11. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 13. 将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 14. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 是数列中的最大值 C. 若，则n的最大值为4047 D. 三． 解答题（本大题共5题，总分54分） 15. 设，复数． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 16. 已知向量，且， （1）求函数的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 17. 已知数列的前项和为， （1）若数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，求的值； （2）若 ，求当常数满足什么条件时，数列是等比数列． 18. 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． （1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； （2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 19. 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $