上海市第六十中学2025-2026学年高一第二学期5月阶段测验数学试题

**基本信息** 融合《九章算术》文化素材与雨天撑伞建模情境，通过基础题与创新题梯度设计，考查数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/32|弧度角度互化、等比中项、解三角形等|第7题以《九章算术》月收入问题考查等差数列应用| |选择题|4/14|充分必要条件、复数几何意义等|第14题结合等比数列前n项和与积考查逻辑推理| |解答题|5/54|复数、向量应用、数列、数学建模等|第18题通过撑伞模型考查数学建模，第19题新定义“长向量”考查创新思维|

2025学年第二学期5月阶段测验(2026.05.19) 高一年级数学 (满分：100分 考试时间：90分钟) 一填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 1.将弧度化为角度： 号弧度0 2.√2+1与√2-1的等比中项是 3.在△ABC中，若a=9,b=6,A=60°，则sinB= 2-时B- (06)+0-2 4.已知两个单位向量a,满足4a+=V13,则a·i= (©)0) 10 5.已知复数z=+(aeR)的虚部为4，则a=@ 3+i gy9ay 6 6.若sina+cosa= =-Sh0X.0( 7.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注： 从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱)，第3月入25贯，全年（按12个月计） 共入510贯”，则该人第10月营收贯数为马9 0y2为，Sa÷a0包=6G+F9 8.已知平面向量a=(1,2),五=3,2c=a+3b,d=a+b.若c与d的夹角为锐角， 则实数k的取值范围是1)(5+) (o,-平)，kw,k)习(t80 9.已知{an}为无穷等比数列，4=4， 专4，数列么}满足6，=4，则 +2 lim(b+b2+b+…+bn)= 没1W40a1:2求安 10.将函数f(x) 元 T:4 ) =4co2x和直线y=x-1的所有交点从左到右依次记为4,4， 什若P点的坐标为(0,5)，则PA+P4++PA的值为S凸 属+%=p呢风：，习属+*+=佩 .选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 11.在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，则“角α的终边经过点(-l,2)”是 “tana=-2的(A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.在复平面内，向量AB对应的复数为-1-8i,向量AC对应的复数为-2+3i,则向量BC 对应的复数为 t=心-属)(+i)-（H-e)=-+i+1+8i:+l川 A.-3+5i B.3-5i C.1-11i D.-1+11i 13.将函数)=s如行x+号到的图像向上平移1个单位， 得到函数y=g(x)的图像，若 g(x)+g()=4,则x-x2的最小值是 A.4元 B.3π 2元 D. 抑1怀以m音n Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 m0s=G77,1习21，f4oy2 14设等比数列0}的公比为9，其前0项鄂， (In)wx-T3onp 前n项积为T,并满足条件： 1,m凸之1，&不0，则下列结论中不正确的是 A.anAs-1<0Qr-lamh=0,y<6.是数列{z}中的最大值 XC.若T,>1,则n的最大值为4047 Vb.S2024S2025>20242 S>4-0t6+-t6a47o ar-4e6=-kmo4=225-0226=2p*0o257l 1 os8-6-0s0aQ0o-0ot1 三.解答题（本大题共5题，总分54分) S20s>S2m州7302Y 15.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 设aeR,复数z=a2-6a-7+(a2-4a-21i, (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内表示的点位于第四象限，求α的取值范围 1 SQ260-s0 若袅8-解7D) 62-0-2+0 21 aita-7301 ae(-3.-1 Q2二-a-<0 16.(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分) 己知向量m= 行02x+5s2a-0Ua-.且1. (1)求函数y=f(x)的单调递减区间； (2②)已知△ABC的三个内角分别为4，C,其对应边分别为a,6c,若有/(4-)-1， BC=7,且△ABC的面积为3N5,求AB+AC的值， f)-0习0-(u和a)09sx号 ↓：n+是，+A.k+e2) s列4过，Aeo网习4号.a5.Sa=bcM:9e=6 又26入-3rsA习7-b之bc-bc2-hc习b+c⑤ 2 ▣口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 5 17.(本题满分10分，第1小题满分 分，第2小题满分6分) 已知数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的前n项和为 $$S _ { n } ，$$ (1)若数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 是公差不为 0 的等差数列，且 $$a _ { 3 } ， a _ { 5 } ， a _ { 8 }$$ 成等比数列， 的值： (2)若 $$S _ { n } = q \cdot { 5 ^ { n - 1 } } + 4 \left( n \in { N ^ { * } } \right) ，$$ ，求当常数 a 满足什么条件时，数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 是等比数列 列 12 当 -20 时 时. 18.(本题满分1分，第1小题满分8分，第2小题满分4分) 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的 方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题，他做出了下列假设： ： 假设 1： 在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为1 170 cm n、 40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为 $$6 0 ^ { \circ }$$ 的一组平行直线； 假设 3： 伞柄 OT长为 60cm，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 1 (2)\textcircled {1} 假设4：伞面为被伞柄 OT 垂直平分的线段 AB，AB=120em. 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”； 以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀” ”.2 2x2 A A T B T C B B 图1 图2 N F (1)如图 3 在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿部分的面积(结果 精确到 $${ 0 . 1 c m ^ { 2 } } \right)$$ (2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议(无需求解改进后的模 型，如果建议超过两条仅对前两条评分) OA⋅OB， ， -A 作 AC⊥DB与C. fD ∴ ∠H 1A0=x 3 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题①满分4分，②满分6分) 对于向量集{a.a,a(n∈N且n之3)，记向量Sn=a+a2+a+…+a+a.如果存 在向量a,(pe{1,2,3.n),使得a≥，-a,那么称a,是向量集{a,a,,a}的“长向 量” (1)设向量a,=(nx+2n),n∈N°.若a,是向量集{a,a,a}的“长向量”，求实数x的 取值范围： (2)已知a,a,a均是向量集{a,a,a}的“长向量”， Ple 21 ①求证：a+a+a=0: P ②若a=(sinx,cosx),a=(2cosx,2sinx).设在平面直角坐标系xOy中的点集 {B,D,卫}，其中O死=0，OE=a,且Bk4与Bk关于点R对称，Bk+2与Bk关于点B 对称(k∈N),求B25乃26的最小值. 群.m1园31+Ya-,),à：位，Y,成36】 J9x6) 017(品*司≥(+g月 2动城高+國 同成3+2卧品+ 习产品d武】+（国房+底品+） ,成武房+成”可2+成成+d+3竭≤0 (武++d)广≤0与+t 0 叩+*：日图 脉p 成od明， @点--tàX-sX。--4及6/入 -=呢 2水0 ,4k知=3x￥)1' 凉用 利"人 刊飞= (44=2刊】+阳1、 成-xx矿+sX :了+4shX?| e）=40+州 当X=mmae2时， w)=-4t1]t6明4：4 o48 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 2025学年第二学期5月阶段测验（2026.05.19） 高一年级 数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一.填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 1. 将弧度化为角度：弧度= ． 2. 与的等比中项是________. 3. 在中，若，，，则 4. 已知两个单位向量满足则______ 5. 已知复数的虚部为4，则 6. 若，则 7. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________. 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________． 9. 已知为无穷等比数列，，数列满足，则 ． 10. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若点的坐标为，则的值为 二.选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 11. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边经过点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 13. 将函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 14. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．是数列中的最大值 C．若，则n的最大值为4047 D． 三. 解答题（本大题共5题，总分54分） 15.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 设，复数. （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 16. （本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知向量，且， （1）求函数的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 17.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知数列的前项和为， （1）若数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，求的值； （2）若，求当常数满足什么条件时，数列是等比数列. 18. （本题满分12分，第1小题满分8分，第2小题满分4分） 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题，他做出了下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的一组平行直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”； 以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． （1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿部分的面积（结果精确到）； （2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 19. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题①满分4分，②满分6分） 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）已知均是向量集的“长向量”， ① 求证：； ② 若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 3 学科网（北京）股份有限公司 $