精品解析：上海市宝山中学2024-2025学年高一第二学期第一次月考数学试题

上海市宝山中学2024-2025学年第二学期高一第一次月考 数学试卷 考生注意： 1、本试卷共4页．满分100分，考试时间90分钟 2、本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸的相应位置，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 化弧度制为角度制：___________°． 【答案】240 【解析】 【分析】由进行变形求解. 【详解】， 故答案为：240. 2. 已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同角的定义求解. 【详解】终边落在直线上，则或， 所以， 故答案为：. 3. 已知，且角是第四象限角，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角关系式求解. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 由及解得， 故答案为：. 4. 将代数式化为形式___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式变形求解. 【详解】， 故答案为：. 5. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【详解】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 6. 已知角终边上一点，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦函数的定义求解. 【详解】由题意，解得（舍去）， 故答案为：2. 7. 化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答. 【详解】， 故答案为： 8. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 故答案为： 9. 已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设半径为，表示出周长后由基本不等式得最小值，再求得结论. 【详解】设半径为，弧长为，则，， 周长为，当且仅当，即时取等号， 此时圆心角为 故答案为：2. 10. 在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆半径为， 故答案为：. 11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】问题为三角形有两个解，根据画圆法可确定，从而得到所求范围. 【详解】由题意可知三角形有两个解 由上图可知： 若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点 则，即 【点睛】本题考查三角形解的个数的问题，关键是能够将问题转化为与之间的大小关系的比较. 12. 在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积. 【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示， 其中，而，易知， 所以动线段AP所形成图形的面积. 故答案为：. 二、选择题（共4题，每题3分，满分12分） 13. 点在第二象限，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 14. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断. 【详解】，则，充分性满足， 反之，若，但，必要性不满足. 所以答案为充分非必要条件， 故选：A. 15. 下列函数，值域为R的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定各函数的值域然后判断. 【详解】的值域是，的值域是R，的值域是，的值域是， 故选：B. 16. 下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A 三．解答题（共5题，满分52分，8+10+10+12+12） 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切公式计算； （2）待求值式弦化切后代入已知求解. 【小问1详解】 由题意； 【小问2详解】 由已知. 18. 已知关于的方程的两根为， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得出，然后利用平方关系求得的值，注意一元二次有实解的条件； （２）利用（１）解方程组得，然后根据范围得出值. 【小问1详解】 由题意，解得， 又关于的方程的两根为， 所以， 所以.解得，满足题意； 【小问2详解】 由（1）得，解得或， 又，所以或. 19. 在中，， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求出，再利用二倍角正弦公式求解； （2）根据同角三角函数的平方关系求出，再利用两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 在中，，所以， 所以； 【小问2详解】 因，所以， 因为，所以B可能为锐角或钝角， 若B为钝角，则， 此时， 这与时相矛盾， 所以， 所以， 所以 . 20. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理求得，在中由余弦定理表示出，从而求得； （2）在中，用余弦定理表示出，然后结合基本不等式可得的最大值． 【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，； 在中，由余弦定理得， ， ． （2）在中，由余弦定理得：， ，， ， ， ， ．（当且仅当时取“” 21. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的最大值； （3）设（，，），若函数的值域为，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数得，由，可求出，从而可求得函数的值域， （2）等式在时恒成立，转化为在时恒成立，令，可得在上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k最大值， （3）由题意得，从而可得是方程的两个不相等的正根，令，则有，从而可求出实数t的取值范围 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以，则， 所以函数的值域为 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 所以，令， 则在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为， 所以实数k的最大值为 【小问3详解】 由题意得， 因为，所以在上单调递增， 所以， 即， 所以是方程，即的两个不相等的正根， 令，其图象开口向上，对称轴为直线，且有两个不相等的正零点， 所以，即，解得 所以实数t的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山中学2024-2025学年第二学期高一第一次月考 数学试卷 考生注意： 1、本试卷共4页．满分100分，考试时间90分钟 2、本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸的相应位置，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 化弧度制角度制：___________°． 2. 已知平面直角坐标系中，角始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 3. 已知，且角是第四象限角，则___________． 4. 将代数式化为形式___________． 5. 若，则___________． 6. 已知角终边上一点，且，则___________． 7. 化简___________． 8. 若，则___________． 9. 已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 10. 在中，，则其外接圆的半径为___________． 11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________ 12. 在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为_______ 二、选择题（共4题，每题3分，满分12分） 13. 点在第二象限，则角终边在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 下列函数，值域为R的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三．解答题（共5题，满分52分，8+10+10+12+12） 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知关于的方程的两根为， （1）求的值； （2）求的值． 19. 在中，， （1）求的值； （2）求的值． 20. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 21. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式在时恒成立，求实数k最大值； （3）设（，，），若函数的值域为，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $