精品解析：2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟 数学

淮阴中学初中集团校2025—2026学年度中考第一次模拟 数学 一、选择题：（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（ ） A. 10.1千克 B. 9.7千克 C. 11.2千克 D. 9.2千克 2. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 2026年元旦假期期间，淮安东站发送的旅客超11.67万人次．数据“11.67万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ） A. 55° B. 26° C. 34° D. 36° 8. 如图所示，已知菱形，点C在x轴上，直线经过点A，菱形的面积是，若反比例函数的图像经过点B，则此反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 10. __________． 11. 在平面直角坐标系中，将向右平移3个单位后，得到的点的坐标为__________． 12. 如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______． 13. 若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 14. 如图，在中，点E是边上一点，，的延长线与边的延长线相交于点F．若，则线段的长为__________． 15. 已知两点，，一次函数（k为常数，且）的图像经过点且与线段有公共点，则k的取值范围是__________． 16. 如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 18. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 19. 如图，在中，点E、G、H、F分别是边上的点，且，．求证：． 20. 随着淮安文旅的蓬勃发展，西游乐园、方特东方欲晓、熊出没乐园相继开园．小弘、小毅周末都有想去参观游玩的打算． （1）若小弘随机选择其中一个地点游玩，则选择西游乐园的概率为__________； （2）利用列表或画树状图的方法，求小弘、小毅两人选择同一地点的概率． 21. 第十四届全国运动会将于2023年8月16日在陕西省举行，安徽省射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩复式条形统计图如图所示（单位：环）． 甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 （1）已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则 a＝ ，b＝ ，c＝ ．并请补全复式条形统计图； （2）若射击成绩超过8环的为优秀等级，请估计乙射击100次，获得优秀等级的次数； （3）现要从甲、乙中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应该选谁？请说明理由． 22. 如图，在中，，点O为边上一点，平分．以点O为圆心，为半径的与边相交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． （1）试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； （2）如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ （3）若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 24. 仅用无刻度直尺完成下列画图： （1）如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； （2）如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； （3）如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 25. 已知二次函数 （m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 26. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、及的端点A、C、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（ ）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架的长度，支架端点A、C的距离以及支架AB与BC的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0.8，取0.6） 图③是甲组的设计示意图，其中，，米． 图④是乙组的设计示意图，其中米，的大小及的长度可适当调节，但始终保持． 【问题解决】 （1）请求出甲组设计的雨棚所需挡雨板的面积． （2）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装时甲组所设计的雨棚时，点A离地面距离不能超过多少米？ （3）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装时乙组所设计的雨棚时，点A离地面距离不能超过多少米？点A离地面距离最远时，的度数为多少？ 27. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图①，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1）如图②，为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形为凸四边形，．在边上取点P，连接，交BD于点Q，且． 求证：． （3）如图④，四边形为单直邻等四边形，，，连接．若，，作，且．连接并延长交于点F，交于点M．求的长． 【解决问题】 （4）如图⑤，射线于点C，，．点A在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，．的角平分线交线段于点P，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮阴中学初中集团校2025—2026学年度中考第一次模拟 数学 一、选择题：（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（ ） A. 10.1千克 B. 9.7千克 C. 11.2千克 D. 9.2千克 【答案】A 【解析】 【分析】先根据标识求出合格面粉的质量范围，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵面粉的质量标识为千克， ∴合格面粉的最大质量为千克， 合格面粉的最小质量为千克， 即合格质量的范围是9.8千克面粉质量 10.2 千克， ∵，其余选项质量均不在该范围内， ∴10.1千克的面粉合格． 2. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A旋转后不能与原图形完全重合，故不是中心对称图形，不符合题意． B绕中心旋转后能与原图形完全重合，故是中心对称图形，符合题意； C旋转后不能与原图形完全重合，故不是中心对称图形，不符合题意． D旋转后不能与原图形完全重合，故不是中心对称图形，不符合题意． 3. 2026年元旦假期期间，淮安东站发送的旅客超11.67万人次．数据“11.67万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：11.67万． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，A错误； 对于选项B，∵ 积的乘方等于各因式乘方的积， ∴，B错误； 对于选项C，∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，C错误； 对于选项D，∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，D正确． 5. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：B． 6. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可． 【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 7. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ） A. 55° B. 26° C. 34° D. 36° 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点P作， 由已知，， 则， ∴， 由已知，， ∴， ∵， ∴． 8. 如图所示，已知菱形，点C在x轴上，直线经过点A，菱形的面积是，若反比例函数的图像经过点B，则此反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点坐标为，利用菱形四边相等得，结合菱形面积建立方程求出，再由菱形对边平行且相等求出点坐标，最后代入反比例函数解析式求． 【详解】解：设点坐标为，其中， 点在直线上， ， ， 四边形是菱形，点在轴上， ， ， 菱形的面积为， ， 即， ， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标与点相同，为， 点的横坐标为， ， 设反比例函数解析式为， 反比例函数图像经过点， ， 反比例函数表达式为． 二、填空题：（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】要使解：y解：要使分式有意义，则 ， 解得． 10. __________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 在平面直角坐标系中，将向右平移3个单位后，得到的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标与图形平移的规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标平移过程中保持不变，据此计算即可得到结果． 【详解】解：将点向右平移3个单位，平移后点的横坐标为，纵坐标不变，仍为，因此得到的点的坐标为． 12. 如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接BO，CO，OA． 由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形， ∴∠AOB=∠OBC=60°， ∴， ∴△OBC的面积=△ABC的面积， ∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= （）． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型． 13. 若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由已知，， 解得，． 14. 如图，在中，点E是边上一点，，的延长线与边的延长线相交于点F．若，则线段的长为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 15. 已知两点，，一次函数（k为常数，且）的图像经过点且与线段有公共点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数过点得到与的关系，再求出直线分别过线段端点、时对应的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 将代入得：， 解得， 一次函数解析式为， 当直线经过点时，代入坐标得 ， 解得， 当直线经过点时，代入坐标得 ， 解得， 直线与线段有公共点， 的取值范围是． 16. 如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形翻折问题中的动点轨迹与最值问题．解题的关键在于利用相似三角形发现折痕与对角线的交点为定点，进而利用翻折的对称性得出点在以为圆心的定圆上运动，最后利用圆外一点到圆上点的距离最值求解． 【详解】解：设， ∵ 点的运动速度为点运动速度的倍， ∴ ， ∵ 四边形为矩形， ∴ ， 设 直线与交于点，连接， ∴ ， ∴ ， ∴ 点为上的定点，且， ∵ 矩形沿翻折，点的对应点为点， ∴垂直平分， ∵ 点在上， ∴ ， ∴ 点在以为圆心、为半径的定圆上运动， ∵为定点到定点的距离， ∴ 当点落在线段上时，最小，此时、、三点共线， ∴ ， 过点作于点，于点， ∵ 在上，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）4 （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 不等式①得：， ， ∴， 解不等式②得：， ， ， ∴， ∵没有数同时满足和 ∴不等式组无解. 18. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，可得，，， 得，，， 因此，能取， 将代入得，原式． 19. 如图，在中，点E、G、H、F分别是边上的点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形性质证明，再结合全等三角形性质即可证明． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 20. 随着淮安文旅的蓬勃发展，西游乐园、方特东方欲晓、熊出没乐园相继开园．小弘、小毅周末都有想去参观游玩的打算． （1）若小弘随机选择其中一个地点游玩，则选择西游乐园的概率为__________； （2）利用列表或画树状图的方法，求小弘、小毅两人选择同一地点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有3种等可能的选择结果.符合要求的结果有1种.根据概率公式直接计算即可． （2）利用列表法列出所有等可能的结果，找出两人选择同一地点的结果数，再根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：由题意可知，一共有3个等可能被选择的地点，选择西游乐园的情况只有1种，因此选择西游乐园的概率为； 【小问2详解】 解：将西游乐园记为A，方特东方欲晓记为B，熊出没乐园记为C，列表如下： 小弘\小毅 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中小弘、小毅两人选择同一地点的结果有3种，因此两人选择同一地点的概率为． 21. 第十四届全国运动会将于2023年8月16日在陕西省举行，安徽省射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩复式条形统计图如图所示（单位：环）． 甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 （1）已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则 a＝ ，b＝ ，c＝ ．并请补全复式条形统计图； （2）若射击成绩超过8环的为优秀等级，请估计乙射击100次，获得优秀等级的次数； （3）现要从甲、乙中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应该选谁？请说明理由． 【答案】（1）8；8；2.8；见解析 （2）20次 （3）选乙加比赛，见解析 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的公式可得a的值，根据众数的定义可得b的值，根据方差的公式可得c的值，根据题意分别求出甲和乙的第三次测试成绩，进而补全复式条形统计图； （2）用100乘乙近五次选拔测试成绩超过8环所占比例即可； （3）根据方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 乙近五次选拔测试成绩中，8出现的次数最多，故众数， ， 由题意可知，甲第三次测试成绩为8，乙第三次测试成绩为：， 补全复式条形统计图如下： 故答案为：8；8；2.8； 【小问2详解】 解：（次）， 答：估计乙射击100次，获得优秀等级的次数大约为20次； 【小问3详解】 解：选乙加比赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，更稳定，所以选乙加比赛． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的定义与计算公式． 22. 如图，在中，，点O为边上一点，平分．以点O为圆心，为半径的与边相交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质定理可得，从而可得是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得是的切线，则，，设的半径为，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点， ∵平分．， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得是的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴的半径为． 23. 开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． （1）试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； （2）如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ （3）若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 【答案】（1）； （2）860； （3）函数关系式为，至少生产50件 【解析】 【分析】（1）首先根据总成本固定成本可变成本，得到第一问的函数关系式； （2）再代入已知总成本，解方程得到第二问的生产数量； （3）最后根据利润=总收入-总成本得到利润函数，利用不亏本即利润不小于0，解不等式得到最低生产数量． 【小问1详解】 解：由题意可知，固定成本为3000元，生产n件玩具的可变成本为元， 因为总成本固定成本可变成本，所以． 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， 答：这一天生产了860件该种玩具． 【小问3详解】 解：由题意，总收入为元，总成本为元， 利润总收入总成本， 因此， 不亏本时需要满足，即， 解得， 答：利润关于的函数关系式为，这一天至少生产50件该种玩具才能不亏本． 24. 仅用无刻度直尺完成下列画图： （1）如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； （2）如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； （3）如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，得到，过作交于点，得到，结合圆的特点可知，进而得到，即可使得； （2）由（1）同理推出，即垂直平分，连接交于点，连接并延长交于点，由于得到，进而即可推出； （3）连接，结合格点特点得到垂直平分线，可知圆的直径在该垂直平分线上，由圆的对称性可知关于垂直平分线的对称点为，则四边形为等腰梯形，则，即可推出． 解题的关键在于熟练掌握圆周角定理，等腰三角形性质，以及垂径定理． 【小问1详解】 解：所画点E如图所示： 【小问2详解】 解：所画点F如图所示： 【小问3详解】 解：所画点G如图所示： 25. 已知二次函数 （m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解： ，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 26. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、及的端点A、C、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（ ）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架的长度，支架端点A、C的距离以及支架AB与BC的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0.8，取0.6） 图③是甲组的设计示意图，其中，，米． 图④是乙组的设计示意图，其中米，的大小及的长度可适当调节，但始终保持． 【问题解决】 （1）请求出甲组设计的雨棚所需挡雨板的面积． （2）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装时甲组所设计的雨棚时，点A离地面距离不能超过多少米？ （3）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装时乙组所设计的雨棚时，点A离地面距离不能超过多少米？点A离地面距离最远时，的度数为多少？ 【答案】（1）平方米 （2）点A离地面距离不能超过米 （3）点A离地面距离不能超过米， 【解析】 【分析】（1）因为，已知长度和的值，所以过B作的垂线，利用直角三角形三角函数关系和勾股定理求出的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知长度为矩形另一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积； （2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B点且落在O点，据此建立几何关系，过B作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角，利用直角三角形三角函数求出B点到地面的高度，再求出A点的最大高度； （3）由于，且可知，点B的轨迹为一个圆，根据角度可求出轨迹圆的半径，结合雨滴下落的临界条件，得到B点位置为与圆相切，此时点A离地面距离最远，根据三角函数和勾股定理可求得最远距离，利用四边形内角和以及同弧所对圆周角是圆心角的一半求得的度数． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴在中，， ∴， ∴， ∴所需挡雨板的面积为（平方米）． 【小问2详解】 连接， 若， 则在中，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴点A离地面距离不能超过米． 【小问3详解】 作的外接圆，过点作于，过点作与相切，连接，， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵由题可得，当与相切时，点A离地面距离最远，且确保雨点不落在墙面上， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴（米）， ∵在四边形中，，， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、锐角三角函数、解直角三角形、矩形面积计算、三角函数与几何最值分析的知识点，其中结合雨滴不落在墙面的要求确定临界位置，利用三角形边角关系推导线段长度是解题的关键． 27. 【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图①，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1）如图②，为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形为凸四边形，．在边上取点P，连接，交BD于点Q，且． 求证：． （3）如图④，四边形为单直邻等四边形，，，连接．若，，作，且．连接并延长交于点F，交于点M．求的长． 【解决问题】 （4）如图⑤，射线于点C，，．点A在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，．的角平分线交线段于点P，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质，通过角度的和差得到，再用证明，结合等边三角形的性质，进而推出； （2）先证明 ，得到， ，从而证明 ，故有 ，再用角度的和差和三角形内角和证得结论； （3）先证推出，根据等腰三角形的性质得到；结合第(2)问结论得，从而为中点；最后通过构造交延长线于，利用四边形内角和证得，根据对应边成比例结合勾股定理求解即可； （4）过点作于点，过点作于点，在中利用设，，得到从而．再证明，则，设，，求出，进而，；由勾股定理求；然后分别讨论当点在线段上和延长线上时情况，解得求出的长． 【小问1详解】 证明：绕点E顺时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ∴，， ，即， 在和中， ， ， ， ∵点E在的角平分线上， ， ， 且， 四边形是单直邻等四边形； 【小问2详解】 证明：∵， ， ∴ ， ∴， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ； 【小问3详解】 解：连接，过点C作交延长线于点N， 则 ， ∴ ，即 ， ∵，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ，即， ∵等腰三角形和等腰三角形的顶角相等， ∴两个三角形的底角相等，即， 则由（2）同理可证，， ∵， ∴M为中点， ∴，， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴， 即 ∴， 在中， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：过点作于点，过点作于点， 如图，当点在线段上时， 点在射线上，， 在中，设，， ∴ ，， ， ∵， ，， ∵的角平分线交线段于点P， ∴P，H，B共线， ； ，， ， ， ， ∴ ∴， ∴设 ，则 ， ∴ ， ， ， 在中， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴的长为； 如图，当点A在延长线上时， 则 ， 解得， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴的长为； 综上所述，的长为25或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $