精品解析：广东广州市天河外国语学校2025学年第二学期期中诊断检测卷 初二年级 数学试题

广东广州市天河外国语学校2025学年第二学期期中诊断检测卷初二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息用黑色签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂考号及选择题答案，非选择题用黑色签字笔作答． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，若，，，则（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 14 D. 3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 10. 如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 14. 计算的结果为____________． 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 16. 如图，在中，是的角平分线．（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F．（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．（4）作射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．（6）连接、，分别交、于点N、P．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的是_________（填序号）． 三、解答题（共9题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中画一条长度为的线段； （2）在图②中画一个面积为5的正方形． 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 20. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 21. 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 22. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 23. 已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． （1）下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． （2）请选择一个正确选项进行证明． 24. 如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． （1）求证：四边形是菱形； （2）点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． （3）如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 25. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． （3）如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市天河外国语学校2025学年第二学期期中诊断检测卷初二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息用黑色签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂考号及选择题答案，非选择题用黑色签字笔作答． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，若，，，则（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 4. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 5. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键． 【详解】如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ，由题意得米. 米， 由勾股定理得，即 ， 解得米(负值已舍). 故选D. 6. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 8. 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 14. 计算的结果为____________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合． 16. 如图，在中，是的角平分线．（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F．（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．（4）作射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．（6）连接、，分别交、于点N、P．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的是_________（填序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】①由等腰三角形三线合一的性质即可判断；②由作图可得，，，由在中，，，可得，则，过点作于点，可得四边形是矩形，，即可判断；③利用三角形的外角定理可得和的度数，即可判断；④设，则，可得 ，即可判断． 【详解】解：①∵在中，，是的角平分线， ∴，故①正确； ②由作图可得，，， ∵在中，，， ∴， ∴， 如图，过点作于点，则， ∵在中，，，是的角平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，故③错误； ④设，则， 由②可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①②． 三、解答题（共9题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中画一条长度为的线段； （2）在图②中画一个面积为5的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）找一个长3格宽2格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可； 【小问1详解】 解：如图，， 【小问2详解】 解：如图，正方形边长为，则面积为 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 20. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，结合已知条件可得，进而得到，，再将原式变形为，代入求解即可． 【小问1详解】 解：仿照小明的做法： ， ， ， ， ， ； 仿照小丽的做法： ， 当时，原式 ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，， ． 21. 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【答案】（1）AF=DE，理由见解析 （2）四边形HIJK是正方形，图和理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE． （2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形． 【小问1详解】 解：AF=DE． ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°， ∵AE=BF， ∴△DAE≌△ABF， ∴AF=DE． 【小问2详解】 解：四边形HIJK是正方形．补全图形如图②，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点， ∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED， ∵AF=DE， ∴HI=KJ=HK=IJ， ∴四边形HIJK是菱形， ∵△DAE≌△ABF， ∴∠ADE=∠BAF， ∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠BAF+∠AED=90°， ∴∠AOE=90°， ∴∠KHI=90°， ∴四边形HIJK是正方形． 【点睛】此题主要考查正方形的判定的方法与性质和菱形的判定，及全等三角形的判定等知识点的综合运用． 22. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：． 23. 已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． （1）下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． （2）请选择一个正确选项进行证明． 【答案】（1）C； （2）见详解． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可； （2）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系证明即可． 【小问1详解】 解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、 ，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； 【小问2详解】 证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 24. 如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． （1）求证：四边形是菱形； （2）点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． （3）如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）是定值，定值为2 （3） 【解析】 【分析】（1）先由矩形性质与折叠全等，推出垂直关系与线段等量关系，证得一组对边平行且相等判定平行四边形，再结合对角线互相垂直，证出平行四边形为菱形． （2）利用菱形四边相等的特点，把大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，代入面积公式化简，消去边长后直接求出两条垂线段长度之和为定值． （3）如图所示，连接，，点在上运动时，根据折叠的性质可得，，根据点到各顶点距离最小，可知，当时，的值最小，根据（1）中菱形的性质，可得，运用含的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵与相互垂直平分，即对角线相互垂直平分， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：的值不会发生变化，为定值2． 连接 由（1）可知四边形是菱形， ． ，， ，． ， ． 又， ． 由矩形性质可知，以为底边时，这条边上的高等于， ． ． 综上，的值不变，定值为． 【小问3详解】 如图所示，连接，， 点在上运动时，根据折叠的性质可得，， ∴， ∴根据点到各顶点矩离最短，可知，当时，的值最小， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，且，， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴． 25. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． （3）如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】（1）B、D （2）①见解析；②或 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明 ，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【小问1详解】 解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； 【小问2详解】 ①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【小问3详解】 解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $