23.4 实际问题与一次函数 第3课时 利用一次函数解决含多个变量的方案问题 课件 -2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“利用一次函数解决含多个变量的方案问题”，通过租车实例导入，先回顾一次函数定义与性质，再引导分析人数、费用等变量关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，通过“析、列、求、选”四步流程培养数学思维，结合租车、进货等实例发展模型意识与应用意识。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助分层练习与中考对接优化教学。

第二十二章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第3课时 利用一次函数解决含多个变量的方案问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 利用一次函数解决含多个变量的方案问题 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 7. 对接中考 能从实际问题中提取关键信息，建立一次函数模型，通过分析函数的变化规律，找到最省钱、最合理的实际方案，提升用数学解决生活问题的能力. 学习目标 知识回顾 一次函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 一次函数的性质 1. 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 2. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. 新课导入 学校要组织 234 名学生和 6 名教师一起去参加实践活动，现在有两种车可以选 —— 甲种车能坐 45 人，租金 400 元；乙种车能坐 30 人，租金 280 元. 而且要求每辆车上至少有 1 名老师，总费用还不能超过 2300 元. 大家想想，这种既要算人数、又要控预算的问题，我们该怎么一步步规划出最省钱的方案呢？今天这节课，我们就来学习如何用一次函数的知识，解决这类生活里最常见的 “最优方案” 问题. 探究 新课讲解 知识点 利用一次函数解决含多个变量的方案问题 探究 租车方案有哪几种？ 解：①单独租用甲种客车；②单独租用乙种客车；③同时租用甲种客车和乙种客车. 如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 解：若单独租用甲种客车，则需要240 ÷45=5，即至少需要6辆； 若单独租用乙种客车，则需要240 ÷30=8，即至少需要8辆. 又每辆汽车上至少要有 1 名教师，共6名教师，所以最多租用汽车6辆， 综上，合租车辆为6辆. 思考1 思考2 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 新课讲解 探究 请给出最节省费用的租车方案. 解：设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆，租车总费用为 y 元. 由题意可得， ，解得4≤ x ≤ 5. 虽然 4≤ x≤ 5，但是根据实际意义，x只能取4或5. 由题意可得 y=400x+280(6-x)=120x+1680(x=4或5) 方案一：当 x=4 时，即需租用甲种客车 4 辆, 乙种客车 2 辆. 此时 y=1204+1 680=2 160元. 方案二：当 x=5 时，即需租用甲种客车5 辆, 乙种客车 1 辆. 此时 y=1205+1 680=2 280元. 综上，选择方案一更划算. 思考3 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 分析： 从人数上：6 名教师和 234 名学生共计 240 人，所以甲种客车和乙种客车总共的载客量要≥240. 从费用上：学校计划的费用是 2 300 元，所以甲种客车和乙种客车总共的费用要≤2 300. 新课讲解 由 y=120x+1680 (x=4或5) ，可以看出函数值 y 随着自变量 x 的增大而增大. 因为 5>4，所以当 x=4 时，费用更少. 可通过一次函数的性质来判断 选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函数之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳方案；学习函数之后，我们可以利用函数的性质，直接求出最佳方案. 新课讲解 解决含有多个变量的问题的方法 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳 用一次函数选择最佳方案的一般步骤 1.析：分析题意，弄清数量关系. 2.列：列出函数解析式、不等式或方程. 3.求：求出自变量取不同值对应的函数值的大小，或函数的最大（小）值. 4.选：结合实际需要选择最佳方案. 新课讲解 例 1. 某商场计划购进两种服装共100 件，甲种服装进价为160 元/ 件，售价为(220－a )元/ 件；乙种服装进价为(124－a)元/ 件，售价为160 元/ 件. 设购进甲种服装 x 件，两种服装全部售完，商场获得最大利润为4950元，则a的值为_____(其中0<a<20 且a ≠ 12，60 ≤ x ≤ 75)． 9 解：购进甲种服装x 件，则购进乙种服装(100－x)件，设商场获得的利润为y 元. 由题意，得： y＝(220－a－160)x＋(160－124＋a)(100－x)，整理，得y＝(24－2a)x＋3 600＋100a. ∵ 0＜a＜20且a ≠ 12，60 ≤ x ≤75，∴ 当24－2a＜0，即12＜a＜20 时，y随x的增大而减小， 当x＝60 时，商场获得最大利润，即60(24－2a)＋3 600＋100a＝4 950，解得a＝4.5(舍去). 当24－2a＞0，即0＜a＜12时，y随x的增大而增大，当x＝75时，商场获得最大利润， 即75(24－2a)＋3 600＋100a＝4 950，解得a＝9. 新课讲解 例 2. 某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1 950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2 300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润． (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共99台，其中B型空调的进货量不超过 A 型空调的2倍，设购进A型空调x台，这99台空调的销售总利润为y元，则该商店购进A型、B型空调各多少台时销售总利润最大？最大利润为多少元？ (2) 由题意，得y＝100x＋150(99－x)＝－50x＋14850. ∵ 99－x≤2x，∴ x≥33. ∵ －50<0，∴ y随x的增大而减小， ∴当x＝33时，y最大＝－50×33＋14 850＝13200，99－x＝66. 答：该商店购进33台A型空调和66台B型空调时销售总利润最大，最大利润为13200元． 解：(1) 设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元， 根据题意，得 ∴ 答：每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元． 新课讲解 例 2. 某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1 950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2 300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润． 每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元 (3)实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m(50<m<90)元，且限定商店最多可购进A型空调66台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这99台空调销售总利润最大的进货方案． 解：由题意，得y＝(100＋m)x＋150(99－x)＝(m－50)x＋14 850. ∵当50<m<90时，m－50>0，∴y随x的增大而增大． ∵33≤x≤66，∴当x＝66时，y取得最大值，99－x＝33. ∴商店购进66台A型空调和33台B型空调的销售总利润最大. 新课讲解 练一练 1. 某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个．在某体育用品店，每个篮球80元，每个足球60元，在该校购买期间，足球打八折促销．设该校要购买m(0＜m＜30)个篮球，购买篮球和足球的总费用为w元． (1)w与m之间的函数解析式为______________； (2)若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则当学校购买_____个篮球时总费用最少，w的最小值为________． w＝32m＋1 440 20 2 080 解：(1) 根据题意可得w＝80m＋0.8×60(30－m)＝ 80m＋48(30－m)＝80m＋1 440－48m ＝32m＋1 440，即w与m之间的函数解析式为w＝32m＋1 440. (2) 由题意得m≥2(30－m)，解得m≥20.对于w＝32m＋1 440， ∵k＝32＞0，∴w随着m的增大而增大． ∴当m＝20时，w有最小值，此时w＝32×20＋1 440＝2 080， 即当学校购买20个篮球时总费用最少，w的最小值为2 080. 新课讲解 练一练 2. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品. 已知购买3 个A 奖品和2 个B 奖品共需120 元；购买5 个A 奖品和4 个B 奖品共需210 元. (1)求A，B 两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共30 个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的. 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 解：(1) 设A奖品的单价为x 元，B奖品的单价为y 元. 根据题意，得解得 答：A 奖品的单价为30 元，B 奖品的单价为15 元. 新课讲解 练一练 2. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品. 已知购买3 个A 奖品和2 个B 奖品共需120 元；购买5 个A 奖品和4 个B 奖品共需210 元. (1)求A，B 两种奖品的单价； A 奖品的单价为30 元，B 奖品的单价为15 元. (2)学校准备购买A，B两种奖品共30 个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的. 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 解：(2) 购买A奖品8 个，购买B 奖品22 个时最省钱. 理由：设购买A奖品a个，购买奖品的花费为W元，则购买B 奖品(30－a)个. 由题意可知，W＝30a＋15(30－a)＝15a＋450. 因为15>0，所以W随a的增大而增大，故当a取最小值时，W有最小值. 由a ≥ (30－a)，解得a ≥ . 又因为a为正整数，所以当a＝8 时，W有最小值，此时30－8＝22. 因此，购买A奖品8 个，购买B 奖品22 个时最省钱. 需考虑实际问题中的自变量的取值范围 课堂小结 根据函数最值选择最佳方案 (1)利用不等式（组）确定自变量的取值范围； (2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值. 当堂小练 1. 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100 台.若所采购的计算器能全部 售出，给出利润最大的进货方案，并 求出最大利润是多少. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 解：设购进 A 型号计算器x台，则购进 B 型号计算器 (100-x) 台. 由题意，得22x+19(100-x)≤2 000，解得33. ∵  取正整数， ∴  最大为 33. 设全部售出的利润为 y 元，则y=(32-22)x+(25-19)(100-x)=4x+600. ∵ k=4>0，∴ y随x的增大而增大. 故当 x=33 时，y 最大，此时 y=732. 故利润最大的进货方案是进A型号的计算器33台，B型号的计算器67台，最大利润是732元. 当堂小练 2. 已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部 运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两 地的路程和运费如下： 设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元. (1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. (2)若要使总运费不超过37160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？ 解：(1) ∵甲仓库运往A地的生活物资为xt， ∴甲仓库运往B地的生活物资为(100-x)t； 乙仓库运往A地的生活物资为(70-x)t； 乙仓库运往B地的生活物资为80-(70-x)=(10+x)t. 运输总费用为：y=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39200. ∵70-x≥0，x≥0，100-x≥0，∴0≤x≤70. 因此，y关于x的函数解析式为y=-30x+39 200(0≤x≤70). 当堂小练 2. 已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部 运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两 地的路程和运费如下： 设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元. (1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. y=-30x+39 200(0≤x≤70). (2)若要使总运费不超过37160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？ 解：(2) 根据题意，得-30x+39 200≤37 160， 解得x≥68. ∵0≤x≤70，∴68≤x≤70. ∵x为整数，∴x=68或69或70，故有三种运送方案. ∵-30<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=70时，y有最小值. ∴当甲仓库运往A地的生活物资为70t，运往B地的生活物质为30t，乙仓库运往A地的生活物资为0t，运往B地的生活物质为80t时，总运费最少，最少为-30×70+39 200=37100(元). 当堂小练 3. 某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示． 设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)如果该批发商最多投入的成本为29000元， 那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最 大？并求出最大利润． 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 解：(1) 根据题意，得y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)＝30x＋4 000， ∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000. (2) 根据题意，得400x＋300(80－x)≤29 000，解得x≤50. ∵y＝30x＋4 000，30>0，∴y随x的增大而增大， ∴当x＝50时，y有最大值，最大值为30×50＋4 000＝5 500. 答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5 500元． 当堂小练 4. 已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游．在“十一”期间，酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在10月2日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房(三人间、双人间均有租住)． (1)如果租住的每间客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6 300元．则租住了三人间客房_____间，双人间客房_____间； (2)设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，y关于x的函数关系式为_________________，自变量的取值范围为________； (3)一天6 300元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 8 13 y＝－50x＋7 500 0<x<50 解：对于y＝－50x＋7 500，∵－50<0，∴y随x的增大而减小， ∴当x满足，为整数，且最大时，即x＝48时，住宿费用最低，此时y＝－50×48＋7500＝5 100<6 300， ∴一天6 300元的住宿费不是最低，且住宿费用最低的设计方案为：48人住三人间，2人住双人间，最低费用为5 100元． 对接中考 1. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140 元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 解：(1) 设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，则解得 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60 元、80 元. (2) 设购买甲种路灯m盏，则m ≤ (40－m)，解得m ≤ 10. 设购买费用为n 元，根据题意，得n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200. 因为－20<0，所以当m取得最大值10 时，n取得最小值3 000. 此时，40－m＝30. 因此，购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少. 对接中考 2. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2 箱甲种苹果和3 箱乙种苹果的售价之和为440元；4 箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800 元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12 箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数． 求该公司最少需花费多少元． (2) 根据题意，得12－a≤a，解得a≥6. 设该公司需花费w元，则w＝100a＋80(12－a)＝20a＋960. 因为20>0，所以w随a的增大而增大．当a＝6时，w取最小值，为20×6＋960＝1 080. 因此该公司最少需花费1 080元． 解：(1) 设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元． 根据题意，得 ，解得 . 所以甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元． 拓展与延伸 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800 元购买A 种帐篷的数量与用3000 元购买B 种帐篷的数量相等，且B 种帐篷的单价比A 种帐篷的单价多400 元． (1)求A，B 两种帐篷的单价各多少元. (2)若该景区需要购买A，B 两种型号的帐篷共20 顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B 两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 解：(1) 设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元． 由题意得＝，解得x＝600. 经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意． 所以x＋400＝1 000. 所以A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1 000元． 拓展与延伸 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800 元购买A 种帐篷的数量与用3000 元购买B 种帐篷的数量相等，且B 种帐篷的单价比A 种帐篷的单价多400 元． (1)求A，B 两种帐篷的单价各多少元. A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元． (2)若该景区需要购买A，B 两种型号的帐篷共20 顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B 两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 解：(2) 设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷(20－m)顶，总费用为W元． 由题意得20－m≥m，解得m≤15. 又两种型号的帐篷均需购买，所以0<m≤15. W＝600m＋1000(20－m)＝－400m＋20000. 因为－400<0，所以W随m的增大而减小． 当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20 000＝14000，此时20－m＝5. 因此，当购买A种帐篷15顶、B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． $