专题：几何法求空间角 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“几何法求空间角”为核心，通过分考点构建知识体系，将异面直线所成角、线面角、二面角及翻折问题系统梳理，每个考点包含步骤归纳、常用方法总结，并用知识框架图呈现“作-证-求-取舍”的逻辑脉络，突出空间角求解的重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如正方体中异面直线所成角余弦值计算、直三棱柱线面角正弦值求解等题型，结合“数学思维”的推理能力与“数学眼光”的空间观念，引导学生掌握平移法、补形法等技巧。基础题巩固步骤，综合题提升逻辑推理，助力不同层次学生自主复习，也为教师提供精准教学的资源支持。

专题：几何法求空间角 目目 考点01 几何法求异面直线所成角 【归纳总结】 1.求异面直线所成角一般步骤： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条 成为相交直线， (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之， 因为异面直线，所成角θ的取值范 所以所作的角为钝角 时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 2.常用平移方法 (1)平行四边形平移法 (2)中位线平移法 (3)补形后再平移 1.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所 在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点， 且AP⊥BE,则AG与BP所成角的大小为() A D B A.45 B.15 C.30 D.0 1 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CC的中 点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为() D Bu D C A E B A.青 B. c.月 D.吉 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC,则异面直线 AB1和BC1所成角的余弦值为 C B A C B 目目 考点02 几何法求线面角 1.如图，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，AB=AA1,D为BC的中点，求直线 AC1与平面AB1D所成角的正弦值 C B D 2.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B,AA1C1C均为菱形，AA1=2, ∠ABB1=∠ACC1=60,D为AB的中点. D B B (1)求证：AC1//平面CDB1; (2)若∠BAC=60°，求直线AC1与平面BB1C1C所成角的大小. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2 心 PA⊥平面ABCD,且M是PD的中点. (1)求证：PB//平面ACM (2)求证：AM1平面PCD: (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值. M B C 目目 考点03 几何法求二面角（面面角） 二面角有关概念 1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线 叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内 分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 四、求二面角大小的步骤是： (1)作：找出这个平面角； (2)证：证明这个角是二面角的平面角； (3)求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小. 1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3,AA1=6,E为AA1的 中点，则二面角A一DE一B的正弦值为 C C B B 2.如图，点P在二面角a-AB-的棱AB上，分别在C,B内引射线PM,PN, 使得PM=PN,若∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角a-AB-B 的大小为() M B 5 A.45° B.60°C.90° D.120 目目 考点04 翻折问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD/1BC,AD=AB=2,BC=4,∠BCD=45°， ∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P,且使平面 PBD⊥平面BCD D P(4) D B B (1)求证：CD⊥平面PBD; (2)求证：平面PBC⊥平面PCD. (3)求三棱锥P-BCD的体积. 6 2.如图，4BC中，∠ACB=子，4C=8C=4,R、F分别是BA、BC边上的动点， 且EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE B D (1)求证：EF⊥PC; (2)若F为BC中点，且PC=√5，求二面角P-EF-C的余弦值； (3)若D为AC中点，当点E在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥P-CDF 的体积的最大值. 专题：几何法求空间角 地 城 考点01 几何法求异面直线所成角 【归纳总结】 1.求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2.常用平移方法 （1）平行四边形平移法 （2）中位线平移法 （3）补形后再平移 1. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【解析】C 取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 2. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 3．如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结， 则易知为异面直线所成角或其补角． 设， 则，，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 地 城 考点02 几何法求线面角 1. 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，求直线与平面所成角的正弦值 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2. 如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 3. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值.    【详解】（1）证明：连接交于，连接，    是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点03 几何法求二面角（面面角） 二面角有关概念 1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 四、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 1. 如图，在长方体中，，，为的中点，则二面角的正弦值为 ． 【详解】因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 2. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 地 城 考点04 翻折问题 1. 如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 2. 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $