第8章 培优课 几何法求空间角 能力提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间角计算核心知识点，系统梳理异面直线所成角（平移法）、直线与平面所成角（射影法）、二面角（定义法、垂面法等）的求法，形成从基础到综合的递进式学习支架。 资料以例题解析、规律总结与分层训练结合，通过具体几何体情境（如三棱锥、正六棱柱）培养直观想象与数学运算素养，方法分类清晰助力逻辑推理，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

1.会运用平移的方法求异面直线所成的角，会求直线与平面所成的角（数学运算）. 2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小（直观想象、数学运算）. 　　 一、异面直线所成的角 【例1】　如图，已知在三棱锥A-BCD中，AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，BD＝，AC＝，求异面直线AC与BD所成角的大小. 【规律方法】 求异面直线所成的角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. 训练1　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　） A.90°　 　 B.60°　 　 C.45°　 　 D.30° 二、直线与平面所成的角 【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 【规律方法】 求直线和平面所成的角的步骤 （1）当直线是平面的一条斜线时：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；③把该角放在某个三角形中，通过解三角形求出该角. （2）当直线与平面平行（或在平面内）时，直线与平面所成的角为0°，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°. 　　提醒：一条斜线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成角中最小的，称之为最小角定理. 训练2　（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. （2）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为　　　　. 三、二面角 角度1　定义法求二面角 【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE.求平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小. 【规律方法】 利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 训练3　二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱l的距离分别为2和4，AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值. 角度2　垂面法求二面角 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 【例4】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小. 【规律方法】 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 训练4　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. （1）求证：平面MNF⊥平面NEF； （2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 角度3　垂线法求二面角 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小. 【规律方法】 如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 训练5　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值. 角度4　射影面积法求二面角 射影面积法：如果能够找到一个半平面的图形在另一个半平面内的射影图形，那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值. 【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 【规律方法】 射影面积法的应用 设二面角α-l-β的大小为θ（0°≤θ≤180°），在一个半平面上的多边形面积为S，它在另一个半平面上的射影面积为S'，则求得｜cos θ｜＝值.再由几何图形判断cos θ的正负，进而求得θ. 训练6　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 1.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　） A. B.C. D. 2.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（　　） A. B.C. D. 3.已知在如图所示的四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B-CD-A的正切值为　　　　. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知过顶点A的三条棱长分别是，，2，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ＝　　　　. 1.理清单 （1）异面直线所成的角； （2）直线与平面所成的角； （3）二面角. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时容易出错. 提示：完成课后作业　第八章　培优课 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　几何法求空间角 【例1】　解：如图，取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG.则MG􀰿BC，EM􀰿AD. 因为AD⊥BC，所以EM⊥MG. 在Rt△EMG中，有EG＝＝1. 由图可知，∠EFG（或其补角）为异面直线AC与BD所成的角. 在△EFG中，因为EF＝BD＝，FG＝AC＝，所以EF2＋FG2＝EG2， 所以EF⊥FG，即AC⊥BD，所以异面直线AC与BD所成角的大小为90°. 训练1　B　连接FE1，FD，则FE1∥BC1，故∠FE1D（或其补角）为E1D与BC1所成的角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°，∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED·cos 120°＝3，∴FD＝，在△EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝＝，∴△FE1D是等边三角形，∠FE1D＝60°.故选B. 【例2】　解：如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. 又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝，OC＝， ∴cos∠OCE＝＝＝. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 训练2　（1）A　（2） 解析：（1）取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E，BF，EF，如图所示.由正三棱柱性质易知B1E⊥平面AA1C1C，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面AA1C1C，则∠DAH即为AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝，DA＝，所以sin∠DAH＝＝.故选A. （2）画出如图所示的示意图，设底面边长为a，则塔高EF＝a，AF＝AC＝a，所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为＝＝. 【例3】　解：在平面BCEF中，过点E作BC的平行线与BF的延长线交于点G，连接AG，如图，则EG∥BC. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以EG∥AD，则平面ADEG与平面BCEG所成的角即为所求的二面角，EG即为该二面角的棱. 由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE. 又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE. 因为在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG，所以∠DEC即为平面ADE与平面BCEF所成二面角的平面角. 因为平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF＝BC，DC⊥BC，所以DC⊥平面BCEF，所以DC⊥CE，又DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形，所以∠DEC＝45°， 即平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小为45°. 训练3　解：如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足，则AC＝2，BD＝4，AB＝10. 在β内过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE， ∴四边形CEBD为平行四边形，∴BE∥l，且CE＝BD＝4，∴∠ABE为AB与棱l所成的角， ∵BD∥CE，∴l⊥CE，又l⊥AC，AC∩CE＝C，∴∠ACE为α-l-β的平面角，且l⊥平面ACE，∴∠ACE＝60°， ∴AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE ＝22＋42－2×2×4×＝12， ∴AE＝2， 又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥平面ACE，∴BE⊥AE， ∴sin∠ABE＝＝＝. ∴AB与棱l所成角的正弦值为. 【例4】　解：∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE， ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD， 而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2. ∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°. 即二面角E-BD-C的大小为60°. 训练4　解：（1）证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1. 而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN. 又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形， ∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，NF，NE⊂平面NEF， ∴MN⊥平面NEF.而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF. （2）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.如图所示. 由（1）得知MN⊥平面NEF，又NG，EF⊂平面NEF， ∴MN⊥NG，MN⊥EF. 又MN∩NG＝N，MN，NG⊂平面MNG， ∴EF⊥平面MNG， ∴EF⊥MG. ∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 设该正方体的棱长为2. 在Rt△NEF中，NG＝＝＝，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝. ∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为. 【例5】　解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足， 作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2， ∴AF＝CF＝，AE＝1，∴sin∠AFE＝＝＝，∴∠AFE＝45°. ∴二面角α-BD-β的大小为45°. 训练5　解：设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC交BC于点E，连接PE，如图所示， 由三垂线定理得，PE⊥BC，∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，AB＝2，则AE＝AB＝1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE， ∴PE＝＝， ∴cos∠PEA＝＝＝. ∴二面角P-BC-A的余弦值为. 【例6】　解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，∴cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 训练6　C　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE（图略），可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，由题意知，△A1BC在平面ABC的射影为△ABC，所以cos∠A1EA＝＝，在Rt△A1AE中，AE＝a，A1E＝＝a，所以cos∠A1EA＝＝＝.即二面角A1-BC-A的平面角的余弦值为. 随堂检测 1.D　连接BC1，由题意得BC1∥AD1，则∠A1BC1（或其补角）为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝＝. 2.A　设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝πr2h＝πr3，解得＝，所以母线与底面所成角的正切值为，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为.故选A. 3.1　解析：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝＝.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝1. 4.2　解析：如图所示，连接AC，AB1，AD1.设∠CAC1＝α，∠C1AB1＝β，∠C1AD1＝γ，AA1＝，AB＝，AD＝2，则得cos2α＋cos2β＋cos2γ＝（）2＋（）2＋（）2＝＝＝2. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $